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　直线与圆锥曲线的位置关系
　　　　直线与圆锥曲线的位置关系、中点弦问题
命题角度：(1)直线与圆锥曲线相交；(2)直线与圆锥曲线相切；(3)直线与圆锥曲线相离；(4)中点弦问题．
典例1　(2024·新高考Ⅰ卷T16)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a＞b＞0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
命题立意 审题指导
本题属于课程学习情境．以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式以及三角形面积公式，考查数形结合思想、函数与方程思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养． (1)A，P为C上两点关于a，b的方程组→a，bc→离心率． (2)方法一：l的斜率不存在→|PB|＝3→S△ABP＝不满足题意；l的斜率存在→设l的方程为y＝k(x－3)＋|PB|k→直线l的方程． 方法二：已知A，P坐标→直线AP的方程，|AP|d1设过点B的直线l′B方程为y＝－x＋m，m＜0m→直线l′B的方程B的坐标→直线l的斜率→l的方程．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：代入A，P坐标求解a，b． 第2步：根据a，b，c的关系求解c，得出C的离心率． (2)方法一 第1步：首先考虑直线PB斜率不存在情况，再设直线PB的方程． 解：(1)由已知得 所以 所以c2＝a2－b2＝3， 所以e＝＝＝． (2)法一：当l的斜率不存在时，l的方程为x＝3， 则B，|PB|＝3，此时S△ABP＝×3×3＝，不满足题意． (1)将点的坐标代入曲线方程求参数的难点是“运算关”． (2)易错①：设直线方程时，需考虑特殊直线，如斜率不存在情况，斜率为0情况．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第2步：利用弦长公式得到|PB|． 第3步：利用点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式进而得到答案． 方法二 第1步：求解|AP|． 第2步：以AP为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离． 当l的斜率存在时， 设l的方程为y＝k(x－3)＋，B(x2，y2)， 联立 消去y，整理得(3＋4k2)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0， 所以Δ＝36(4k2＋12k＋9)＞0，即k≠－， 所以 所以|PB| ＝ ＝ ＝6 ＝6 ＝6． 设点A到l的距离为d，则d＝， 所以S△ABP＝·|PB|·d＝×6，即＝9， 所以|4k2＋8k＋3|＝8k2＋6，所以k＝或k＝， 所以l的方程为x－2y＝0或3x－2y－6＝0． 法二：由A(0，3)，P知， 直线AP的方程为y＝－x＋3，|AP|＝， 设点B到直线AP的距离为d1，则S△ABP＝·|AP|·d1＝9，所以d1＝． (3)易错②：涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ＞0易漏掉． (4)难点：求解第(2)问的关键是借助图形求出斜率和点的坐标，体现了面积转化为长度，长度转化为坐标的处理思路． (5)小提示：三角形面积为底乘高除以2．
第3步：利用平行线距离公式得到平移后的直线方程． 第4步：联立椭圆方程得到B点坐标． 第5步：求直线l的方程． 平移直线AP使其经过点B，得到直线l′B， 设l′B的方程为y＝－x＋m，m＜0， 设点A到直线l′B的距离为d2，由平行线间的距离处处相等知 d1＝d2＝＝，解得m＝－3或m＝9(舍)， 所以l′B的方程为y＝－x－3． 联立得4x2＋12x＝0，解得x＝0或x＝－3， 所以B(0，－3)或B， 所以直线l的斜率k＝或k＝， 所以l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0． (6)联立直线与圆锥曲线方程得到关于x，y的方程组，消去y(或x)得到一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点横(纵)坐标．
归纳总结：利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)； (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断； (3)列出根与系数的关系； (4)将所求问题或题中的关系转化为含x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的式子，进而求解即可．
　　　　弦长、面积问题
命题角度：(1)弦长问题；(2)面积问题．
典例2　(2023·全国甲卷理T20文T21)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且＝0，求△MFN面积的最小值．
命题立意 审题指导
本题以抛物线为载体，考查抛物线方程及直线与抛物线的位置关系，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，属于课程学习情境． (1)一元二次方程―→判别式及根与系数的关系―→弦长公式列方程―→p值． (2)一元二次方程M，N坐标关系式S△MFN的表达式―→(S△MFN)min．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：设点A，B的坐标． 第2步：联立直线与抛物线方程，得出关于y的一元二次方程． 第3步：写出判别式及根与系数的关系． 第4步：根据弦长公式列方程并求解，得出结果． (2)第1步：设点M，N的坐标及直线MN的方程，并写出点F的坐标． 第2步：联立直线MN的方程与抛物线方程，得出关于y的一元二次方程． 第3步：写出根与系数的关系． 第4步：写出的表达式并结合抛物线定义化简整理． 第5步：写出S△MFN的表达式并化简整理． 第6步：得出结论． 解：(1)由题设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x整理得y2－4py＋2p＝0， 由Δ＝16p2－8p＞0，得p＞， 则y1＋y2＝4p，y1y2＝2p， 所以|AB|＝＝4， 即2p2－p－6＝0，解得p＝2或p＝－， 又p＞0，故p＝2． (2)由(1)得，y2＝4x，F(1，0)， 设直线MN方程为x＝my＋b，M(x3，y3)，N(x4，y4)， 联立消去x得y2－4my－4b＝0， 则y3＋y4＝4m，y3y4＝－4b，x3＋x4＝4m2＋2b，x3x4＝b2． 又＝(x3－1，y3)，＝(x4－1，y4)． 则＝1－(x3＋x4)＋x3x4＋y3y4＝0， 代入整理得4m2＝b2－6b＋1． 因为S△MFN＝|MF|·|NF|， 且由抛物线定义可得|MF|＝x3＋1，|NF|＝x4＋1， 所以|MF|·|NF|＝x3x4＋x3＋x4＋1＝b2＋4m2＋2b＋1＝2b2－4b＋2＝2(b－1)2， 故S△MFN＝(b－1)2，又4m2＝b2－6b＋1≥0， 则b≥3＋2或b≤3－2． 所以(S△MFN)min＝12－8． (1)直线与抛物线方程联立，消元一次项可简化运算． (2)设直线斜截式方程时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况． (3)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线焦点，若过抛物线焦点(设焦点在x轴正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则可用弦长公式． (4)易错：忽略b的范围致误．
归纳总结：解决直线与抛物线的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，要点如下： (1)设直线与抛物线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与抛物线的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．
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