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　圆锥曲线的综合问题
最值、范围问题
命题角度：(1)最值问题；(2)范围问题．
典例1　(2024·天津卷T18)已知椭圆＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
命题立意：本题以椭圆为载体考查椭圆方程、几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积，不等式恒成立问题等，体现了基础性、综合性、创新性的考查要求．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：用c表示a和b． 第2步：用c表示出S△ABC，并求出c． 第3步：求出a和b，并写出椭圆方程． (2)第1步：设点的坐标，并讨论直线PQ斜率不存在的情况． 第2步：讨论直线PQ斜率存在的情况，设出直线方程． 第3步：联立方程，判断判别式符号，写出根与系数的关系． 第4步：表示出，代入根与系数的关系并化简． 第5步：求出m的范围． 第6步：得出结论． 解：(1)由离心率可得＝，所以a＝2c，则b＝＝c，又S△ABC＝·a·b＝ab＝，所以c2＝，所以c＝，则a＝2，b＝3，所以椭圆的方程为＝1． (2)假设存在点T(0，m)，使得≤0恒成立．记过点的动直线为l，当直线l的斜率不存在时，易得m∈[－3，3]．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立y＝kx－和＝1，可得(4k2＋3)x2－12kx－27＝0，Δ＝144k2＋4×27(3＋4k2)＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝－，则y1＋y2＝k(x1＋x2)－3＝－3，y1y2＝＝k2x1x2－(x1＋x2)＋＝－＝．因为＝(x1，y1－m)，＝(x2，y2－m)，所以＝x1x2＋(y1－m)(y2－m)＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2＝－－m＋m2≤0，所以(4m2－36)k2＋3m2＋9m－≤0恒成立，所以4m2－36≤0，3m2＋9m－≤0，解得－3≤m≤．综上，点T的纵坐标的取值范围为． (1)第(1)问，利用三角形的面积求椭圆方程，较为简单，不易失分． (2)易错1：混淆椭圆与双曲线中参数的关系式，椭圆中的关系式为c2＝a2－b2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2． (3)第(2)问，对运算求解能力要求较高，要加强计算能力的训练． (4)易错2：设直线方程时，需考虑斜率不存在的情况． (5)求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
定点、定值问题
命题角度：(1)定点问题；(2)定值问题．
典例2　(2022·新高考Ⅱ卷T21)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x．
(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0．过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．
命题立意 审题指导
本题属于探索创新情境题．本题以双曲线为载体，考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． (1)y＝±x→的值求解a，b→C的方程． (2)设直线PQ的方程→与C的方程联立→一元二次方程―→根与系数的关系―→设M的坐标代入求解M的坐标． 选择①②：设AB的方程及A，B的坐标→联立得方程组→求解A，B的坐标→M的坐标与A，B坐标的关系→得证． 选择①③：讨论AB的斜率→设AB的方程及A，B的坐标→联立得方程组→求解A，B的坐标→斜率的关系→得证． 选择②③：设AB的方程及点A，B的坐标→联立得方程组→求解A，B的坐标→设AB的中点坐标→表示出中点坐标线段AB中垂线的方程→联立得方程组→M点的坐标→得证．
思维拆解 (1)求方程． 利用渐近线方程和c2＝a2＋b2求出双曲线方程． (2)第1步：求轨迹方程． 根据条件设出PQ的方程，与双曲线C的方程联立、消元，并结合根与系数的关系及题设条件求出点M的轨迹方程．
解题思路 解：(1)由题意可得＝＝2，解得a＝1，b＝，因此C的方程为x2－＝1． (2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)，将直线PQ的方程代入x2－＝1可得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，故Δ>0，即b2＋3－k2>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，3－k2＜0，所以|x1－x2|＝＝．设点M的坐标为(xM，yM)，则两式相减可得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，因为y1－y2＝k(x1－x2)，所以＝(x1＋x2)＋k(x1－x2)，解得xM＝．两式相加可得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b，所以2yM＝(x1－x2)＋k(x1＋x2)＋2b，解得yM＝，所以yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率．
名师点拨 (1)难点：圆锥曲线问题巧在“设”，难在“算”．在解答圆锥曲线的问题时，要注意简化运算． (2)易错1：混淆椭圆与双曲线中参数的关系式，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2．
思 维 拆 解 第2步：选择①② ③；①③ ②；②③ ①这三个组合中的一个组合进行解答． (ⅰ)选择①② ③．设直线AB的方程，联立得方程组，求得M点的坐标，可得M为AB中点，即可证得|MA|＝|MB|． (ⅱ)选择①③ ②．分直线AB的斜率是否存在两种情况讨论．当AB的斜率存在时，设直线AB的方程，联立得方程组，求出M点的坐标，根据斜率的关系判断PQ与AB的位置关系． (ⅲ)选择②③ ①．设直线AB的方程，联立得方程组，求出AB中点C的坐标，结合|MA|＝|MB|，得线段AB中垂线的方程，与M的轨迹方程联立得点M的坐标，可得点M恰为AB的中点，即可证得点M在直线AB上．
解 题 思 路 选择①②：设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，不妨设点A在y＝x上，则解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝，所以x3＋x4＝，y3＋y4＝，此时点M的坐标满足解得xM＝＝(x3＋x4)，yM＝＝(y3＋y4)，所以M为线段AB的中点，即|MA|＝|MB|． 选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时不在直线y＝x上，矛盾；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，不妨设点A在y＝x上，则解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝－，此时xM＝(x3＋x4)＝，所以yM＝(y3＋y4)＝，由于点M同时在直线y＝x上，即6m＝·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB． 选择②③：设直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，不妨设点A在y＝x上，则解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝－，设AB的中点C(xC，yC)，则xC＝(x3＋x4)＝，yC＝(y3＋y4)＝，由于|MA|＝|MB|，故点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)上，将该直线方程与y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为线段AB的中点，故点M在直线AB上．
名 师 点 拨 (3)易错2：本题为“结构不良”试题，既有灵活性，又具有开放性，若选①②为条件，则③为结论；若选①③为条件，则②为结论；若选②③为条件，则①为结论．在解答时只需选择一个组合进行解答，切不可三个组合一一解答． (4)易错3：设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线斜率不存在，斜率为0等情况．
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