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高考试题(年份/卷别/题号) 新高考全国卷 新高考地方卷
命题区间 计 数 原 理 与 概 率 计数原理、 排列、组合 2024新高考Ⅰ卷T14Ⅱ卷T14 2023新高考Ⅰ卷T13Ⅱ卷T3 2022新高考Ⅱ卷T5 2024上海卷T10
二项式定理 2022新高考Ⅰ卷T13 2024北京卷T4　2024上海卷T6 2023北京卷T5 2023天津卷T11 2023上海卷T10 2022浙江卷T12 2022北京卷T8
概率 2024新高考Ⅰ卷T14T19Ⅱ卷T18 2023新高考Ⅰ卷T21Ⅱ卷T12 2022新高考Ⅰ卷T5T20Ⅱ卷T19 2024天津卷T13　2024上海卷T8 2024北京卷T18　2023天津卷T13 2023北京卷T18　2023上海卷T19 2023上海(春季)卷T5T10 2022北京卷T18
随 机 变 量 及 其 分 布 离散型随机 变量及其 分布列 2024新高考Ⅱ卷T18 2023新高考Ⅰ卷T21 2024北京卷T18 2023上海卷T19 2022北京卷T18
正态分布 2024新高考Ⅰ卷T9 2022新高考Ⅱ卷T13
统 计 与 统 计 案 例 统计图表 2024新高考Ⅱ卷T4 2023新高考Ⅱ卷T19 2022新高考Ⅱ卷T19 2023上海卷T9 2023上海(春季)卷T7
回归分析 2024天津卷T3　2024上海卷T13 2023天津卷T7　2023上海卷T14
独立性检验 2022新高考Ⅰ卷T20 2024上海卷T19
命题分 析与备 考策略 1．规律小结 (1)从近三年高考情况来看，本部分为高考热点，主要以课程学习情境和生活实践情境来考查，小题以选择题或填空题为主，全国甲、乙卷难度较小，新高考Ⅰ、Ⅱ卷难度适中，解答题难度有所提高． (2)高考必备内容，排列组合、二项式定理、抽样方法、古典概型、用样本估计总体等主要以选择、填空题考查，解答题则以利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、条件概率、二项分布和正态分布等问题为主，注重概率和其他知识的综合考查． 2．考点频度 (1)高频考点：随机事件与概率，统计图表，用样本估计总体． (2)中频考点：两个基本计数原理，排列组合，二项式定理，一元线性回归模型，2×2列联表，离散型随机变量及其分布列，随机事件的条件概率． (3)低频考点：随机事件的独立性，正态分布，随机抽样，成对数据的统计相关性，与数列、导数等其他知识的结合． 3．考前备考策略 (1)注重基础，回归教材 本专题主要考查排列组合，二项式定理，随机抽样，用样本估计总体，变量的相关性，随机事件的概率，古典概型，回归分析，独立性检验，离散型随机变量的分布列、期望、方差、正态分布等内容．用样本估计总体，古典概型，离散型随机变量的分布列、期望、方差是考查的重点，考查的是应用回归分析与独立性检验思想方法解决简单实际问题的能力．高考试题重视应用性，以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查统计与概率的思想和考生的数据处理能力及应用意识．考生在复习过程中，要立足于课本基础知识，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果． (2)注重题意分析，提高阅读分析能力 本专题题目多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文字信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系．应用题的考查，加大了对考生阅读能力的要求，对题目的准确理解，找到数学模型，是解答题目的关键．考生应该把近几年各地高考及模拟题归类分析，强化训练． (3)关注素材，注重图表 图表语言是数学语言的一种形式，具有直观、简洁、信息量大等特点，试题经常以图表作为情景材料呈现，这样做既能避免冗长的文字表述，又能更好的考查读表(图)，识表(图)和用表(图)的能力，使考生从图表中获取有效信息，灵活运用图表信息作出统计推断和决策． (4)全面复习，综合提高 纵观近三年的高考试题，知识点考查全面，主干知识又被重点考查，因此考生复习时要全面，重点知识要重点复习，同时不留死角，不能忽视如正态分布、条件概率、相关系数、残差图、拟合效果等知识的复习． (5)关注生活，注重应用 多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，并从中提炼出具有社会价值的数学应用背景．注重培养考生的数据处理能力、数学建模能力，使考生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流．引导考生认真分析题意，抽象出其中的数量关系，转化为数学问题，再利用有关的数学知识加以解决，培养学生“用数据说话”的理性思维． (6)重视交汇，提升能力 统计与概率具有广泛应用性．一方面，统计和概率，计数原理等知识可以有机整合，即以统计知识为背景，以频率来估计概率或计数为基础，过渡到概率问题；另一方面，统计与概率可以和其他数学内容相结合，如可以和函数、数列、不等式等结合．因此在复习备考中，可以针对统计与概率和其他内容相结合的问题进行训练，让考生感受和体验专题间的综合．
　计数原理、二项式定理、概率
　　　　计数原理
命题角度：(1)两个计数原理的应用；(2)排列问题；(3)组合问题；(4)排列与组合的综合应用．
典例1　(2023·新高考Ⅰ卷T13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
命题立意：本题以学生选课为载体，考查有限制条件的组合问题，属于生活实践情境，体现了数学运算的核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
方法一：直接法． 方法二：间接法． 解：法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)． 法二：选课方案可以分成两类：第一类，选修2门，总的方案减去不符合要求的，有＝16(种)；第二类，选修3门，有＝48(种)．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)． (1)关键：理清要做的事情是需要分步还是分类，或分步分类同时进行，分多少步或分多少类． (2)在解决“至多”“至少”类排列组合问题时，一般有两种方法，一是分类，即先把问题分成若干类，然后算出每类的方法数，最后相加在一起；二是排除，即用总的方法数减去不符合条件的方法数．
归纳总结：排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题要先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．
二项式定理
命题角度：(1)通项公式的应用；(2)二项式系数与项的系数问题；(3)二项式定理的综合应用．
典例2　(2023·上海卷T10)已知(1＋2 023x)100＋(2 023－x)100＝，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak<0时，k的最大值为________．
命题立意：本题以二项展开式为载体，考查某一项系数的求解，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，属于课程学习情境．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：由二项展开式的通项求ak． 第2步：由ak<0求出k的取值范围，得到k的最大值． 解：xk的系数为ak＝2 023100-k(－1)k＝2 023k[1＋2 023100-2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak<0，则k必为奇数，且>1，所以100－2k>0，即k<50，所以k的最大值为49． 二项展开式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝an－k·bk为第k＋1项，利用它可求展开式中的特定项．
典例3　(2022·新高考Ⅰ卷T13)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________．(用数字作答)
命题立意：本题立足教材，设计与二项式定理、二项式系数相关的问题，以两个二项式的乘积为载体，考查某一项系数的求解，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于课程学习情境．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：写(x＋y)8的通项． 第2步：分类． 分类讨论求x2y6的系数． 第3步：合并求解． 解：(x＋y)8的展开式为x8-kyk，k＝0，1，…，7，8． 由题意可得有两种情况： ①当k＝6时x2y6＝28x2y6； ②当k＝5时x3y5＝－56x2y6． 综上可得，(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8的展开式中，x2y6的系数为28－56＝－28． 易错：容易忽略展开式中x2y6的系数由两项组成而得到错误结果．
归纳总结：(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
概率
命题角度：(1)古典概型；(2)条件概率；(3)相互独立事件的概率．
典例4　(2022·新高考Ⅰ卷T5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　
C．　　　　　　　　　 D．
命题立意：本题属于课程学习情境．以随机取两个不同的数为载体，考查组合数的概念和古典概型的计算，体现了数据分析、数学运算等核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
方法一：直接法 第1步：求出所有基本事件数． 第2步：列举出满足条件的基本事件． 第3步：求概率． 用古典概型的概率公式计算得答案． 方法二：间接法 第1步：求出所有基本事件数． 第2步：列举出2个数不互质的基本事件． 第3步：求概率． 解：法一：从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有＝21(种)结果，其中，取得的2个数互质的情况有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为＝．故选D． 法二：从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有＝21(种)结果，其中这两个数不互质的结果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为＝．故选D． (1)难点：准确判断概率模型． (2)易错1：基本事件总数计算错误． (3)易错2：基本事件列举不全致错． (4)列举基本事件要按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
归纳总结：求解古典概型的关键 (1)理解古典概型的两个特征：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等． (2)掌握古典概型的概率计算公式P(A)＝，常用列表法、图示法、列举法、排列组合等方法求基本事件数．
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