母题必读 命题区间19随机变量及其分布--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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母题必读 命题区间19随机变量及其分布--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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 随机变量及其分布
随机变量及其分布列、均值和方差
命题角度:(1)分布列的性质及应用;(2)离散型随机变量的分布列及数字特征;(3)均值与方差中的决策问题.
典例1 (2024·新高考Ⅱ卷T18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
命题立意 审题指导
本题属于生活实践情境.以生活中常见的投篮比赛为背景,考查对立事件的概率,相互独立事件的概率,分布列与数学期望.判断两队的取舍等,体现了数据分析,数学运算等核心素养. 信息提取 思维导图
(1)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汏,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分. (2)该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. (3)甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (1)已知条件―→甲、乙至少投中1次得解. (2)(ⅰ)分析成绩为15分的情形分别求概率得解. (ⅱ)确定甲先乙后比赛成绩X的所有可能取值―→对应概率―→数学期望―→求出乙先甲后比赛成绩的数学期望得解.
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步:计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率. 第2步:计算乙在第二阶段至少得5分的概率. 第3步:计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)(ⅰ)第1步:计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率. 第2步:计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率. 第3步:比较p1与p2的大小. 第4步:做决策. (ⅱ)第1步:计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望. 第2步:计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望. 第3步:比较E(X)与E(Y)的大小. 第4步:做决策. 解:(1)设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”, 则P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784, 设A2=“乙在第二阶段至少得5分”, 则P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875, 设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”, 则P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686. (2)(ⅰ)比赛成绩为15分时,先投者3次投篮中至少投中1次,后投者3次投篮全中. 分两种情况:甲先乙后、乙先甲后. 甲先乙后比赛成绩为15分的概率p1=[1-(1-p)3]q3=3pq3-3p2q3+p3q3, 乙先甲后比赛成绩为15分的概率p2=[1-(1-q)3]p3=3qp3-3q2p3+p3q3, 则p1-p2=3pq(q2-p2)-3p2q2(q-p)=3pq(q-p)[1-(1-p)(1-q)]>0, 所以p1>p2, 所以应该由甲参加第一阶段比赛. (ⅱ)甲先乙后比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15. P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3, P(X=5)=q(1-q)2, P(X=10)=q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]q3, 故E(X)=[1-(1-p)3][15q(1-q)2+30q2(1-q)+15q3]=15q(3p-3p2+p3). 乙先甲后比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15, 同理可得,E(Y)=[1-(1-q)3][15p(1-p)2+30p2(1-p)+15p3]=15p(3q-3q2+q3). 因为E(X)-E(Y)=15pq(q-p)(3-p-q)>0, 所以应由甲参加第一阶段比赛. (1)当求解问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词时,常常考虑其对立事件,通过求其对立事件的概率,然后转化为所求问题. (2)关键:把要求概率分拆成相互独立事件的积. (3)第(2)问的关键是计算出相关概率和期望,采用作差法并分解因式从而比较出大小关系,最后得到结论. (4)切入点:X的取值情况. (5)难点:分辨概率的概型,求随机变量取每个值的概率.
归纳总结:随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产生活中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决策.
    二项分布、超几何分布与正态分布
掌握二项分布、超几何分布与正态分布的性质,进行相关的应用.
典例2 (多选)(2024·新高考Ⅰ卷T9)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3)(  )
A.P(X>2)>0.2  B.P(X>2)<0.5  C.P(Y>2)>0.5  D.P(Y>2)<0.8
命题立意:本题以生活实际为情境,考查正态分布,体现了数据分析、数学运算等核心素养.
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步:由X~N(1.8,0.12)知对称轴为x=1.8,故P(X>1.8)=0.5. 第2步:计算P(X>2),并作出判断. 第3步:计算P(Y>2),并作出判断. 解:由题意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.841 3,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2,所以A错误,B正确.因为Y~N(2.1,0.12),所以P(Y<2.2)≈0.841 3,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.841 3-0.5=0.341 3,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.341 3+0.5=0.841 3>0.8,(另解:P(Y>2)=P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8)所以C正确,D错误. 综上,选BC. (1)正态分布是对连续型曲线而言的. (2)易错:忽视正态分布的对称性致误,本题对称轴为x=1.8,y=2.1.
归纳总结:解决正态分布问题的四个关键点 (1)对称轴x=μ; (2)标准差σ; (3)分布区间.利用对称性求指定范围内的概率值,由μ,σ分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率; (4)正态曲线与x轴之间的区域面积为1.
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