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　随机变量及其分布
随机变量及其分布列、均值和方差
命题角度：(1)分布列的性质及应用；(2)离散型随机变量的分布列及数字特征；(3)均值与方差中的决策问题．
典例1　(2024·新高考Ⅱ卷T18)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
命题立意 审题指导
本题属于生活实践情境．以生活中常见的投篮比赛为背景，考查对立事件的概率，相互独立事件的概率，分布列与数学期望．判断两队的取舍等，体现了数据分析，数学运算等核心素养． 信息提取 思维导图
(1)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汏，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分． (2)该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． (3)甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)已知条件―→甲、乙至少投中1次得解． (2)(ⅰ)分析成绩为15分的情形分别求概率得解． (ⅱ)确定甲先乙后比赛成绩X的所有可能取值―→对应概率―→数学期望―→求出乙先甲后比赛成绩的数学期望得解．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率． 第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率． 第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)(ⅰ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率． 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率． 第3步：比较p1与p2的大小． 第4步：做决策． (ⅱ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 第3步：比较E(X)与E(Y)的大小． 第4步：做决策． 解：(1)设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”， 则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784， 设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”， 则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875， 设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”， 则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686． (2)(ⅰ)比赛成绩为15分时，先投者3次投篮中至少投中1次，后投者3次投篮全中． 分两种情况：甲先乙后、乙先甲后． 甲先乙后比赛成绩为15分的概率p1＝[1－(1－p)3]q3＝3pq3－3p2q3＋p3q3， 乙先甲后比赛成绩为15分的概率p2＝[1－(1－q)3]p3＝3qp3－3q2p3＋p3q3， 则p1－p2＝3pq(q2－p2)－3p2q2(q－p)＝3pq(q－p)[1－(1－p)(1－q)]＞0， 所以p1＞p2， 所以应该由甲参加第一阶段比赛． (ⅱ)甲先乙后比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15． P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3](1－q)3， P(X＝5)＝q(1－q)2， P(X＝10)＝q2(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]q3， 故E(X)＝[1－(1－p)3][15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝15q(3p－3p2＋p3)． 乙先甲后比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15， 同理可得，E(Y)＝[1－(1－q)3][15p(1－p)2＋30p2(1－p)＋15p3]＝15p(3q－3q2＋q3)． 因为E(X)－E(Y)＝15pq(q－p)(3－p－q)＞0， 所以应由甲参加第一阶段比赛． (1)当求解问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题． (2)关键：把要求概率分拆成相互独立事件的积． (3)第(2)问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并分解因式从而比较出大小关系，最后得到结论． (4)切入点：X的取值情况． (5)难点：分辨概率的概型，求随机变量取每个值的概率．
归纳总结：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产生活中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决策．
　　　　二项分布、超几何分布与正态分布
掌握二项分布、超几何分布与正态分布的性质，进行相关的应用．
典例2　(多选)(2024·新高考Ⅰ卷T9)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　)
A．P(X>2)>0.2　　B．P(X>2)<0.5　　C．P(Y>2)>0.5　　D．P(Y>2)<0.8
命题立意：本题以生活实际为情境，考查正态分布，体现了数据分析、数学运算等核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：由X～N(1.8，0.12)知对称轴为x＝1.8，故P(X＞1.8)＝0.5． 第2步：计算P(X＞2)，并作出判断． 第3步：计算P(Y＞2)，并作出判断． 解：由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X＞2)＜P(X＞1.8)＝0.5，P(X＜1.9)≈0.841 3，所以P(X＞2)＜P(X≥1.9)＝1－P(X＜1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y＜2.2)≈0.841 3，P(Y＞2)＞P(Y＞2.1)＝0.5，所以P(2＜Y＜2.1)＝P(2.1＜Y＜2.2)＝P(Y＜2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y＞2)＝P(2＜Y＜2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3＞0.8，(另解：P(Y＞2)＝P(Y＜2.2)≈0.841 3＞0.8)所以C正确，D错误． 综上，选BC． (1)正态分布是对连续型曲线而言的． (2)易错：忽视正态分布的对称性致误，本题对称轴为x＝1.8，y＝2.1．
归纳总结：解决正态分布问题的四个关键点 (1)对称轴x＝μ； (2)标准差σ； (3)分布区间．利用对称性求指定范围内的概率值，由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率； (4)正态曲线与x轴之间的区域面积为1．
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