资源简介 (共68张PPT)复习讲义第一篇 吃透考点专题三 函数第12讲 反比例函数聚焦核心1.反比例函数(1)定义:一般地,形如_ _为常数,且 的函数称为反比例函数,其中自变量 的取值范围是不等于___的一切实数.(2)表现形式:①为常数,且 ;②为常数,且 ;③为常数,且 .02.反比例函数的图象与性质(1)反比例函数的图象是________.双曲线(2)反比例函数 的图象与性质:的取值图象 ________________________________ ______________________________________所在象限 图象分布在第一、三象限 图象分布在第二、四象限增减性 在每个象限内,随 的增大 而______ 在每个象限内,随 的增大而______对称性 关于直线, 成轴对称,关于原点成中心对称 减小增大第12讲 反比例函数案例分析考点一 反比例函数的图象和性质名师指导比较反比例函数图象上的点的纵坐标的大小,要先判断各点是否在同一象限内.同一象限内的点,可根据函数的增减性进行比较;不同象限内的点,可根据纵坐标的正负性进行比较.更直观的方法是利用函数图象进行比较.例1 (2023·浙江嘉兴·中考)已知点,, 均在反比例函数的图象上,则,, 的大小关系是( ).A. B. C. D.提示:(方法一)因为点,, 均在反比例函数的图象上,所以,,.因此 .(方法二)因为在反比例函数中, ,所以该函数图象位于第一、三象限,且在每个象限内,随 的增大而减小.因为点,,均在反比例函数 的图象上,所以点A,B位于第三象限,点C位于第一象限.所以,, .图7又,所以.因此 .(方法三)如图7,作出反比例函数 的大致图象,并描出点A,B,C的大致位置.由图象知,.【答案】B思路点拨 思路一:已知反比例函数解析式,只要将,,三点的横坐标分别代入解析式,求出 ,, 的值进行比较即可.思路二:利用反比例函数的增减性进行判断.先判断,, 三点所在的象限,然后对同一象限内的点,利用反比例函数的增减性进行比较.思路三:画出反比例函数图象的草图,在草图上大致描出,,三点,由点的位置高低,判断 ,, 的大小.图7考点专练1.关于反比例函数 ,下列结论错误的是( ).CA.图象位于第二、四象限B.图象与坐标轴没有公共点C.图象所在的每一个象限内,随 的增大而减小D.若图象经过点,则2.若点,,在反比例函数 的图象上,则,, 的大小关系是( ).CA. B. C. D.3.开放性题(2024·江苏无锡·中考改编)某个函数的图象关于原点对称,且当时,随 的增大而增大.请写出一个符合上述条件的反比例函数解析式:_ _____________________.(答案不唯一)考点二 确定反比例函数的解析式名师指导1.因为反比例函数的解析式中只有一个待定系数,所以只需一个条件(一个点的坐标或一组对应值)即可求出反比例函数的解析式.2.求反比例函数中的值,最简单的方法是利用求解.例2 (2025·陕西·中考模拟)已知点 在一个反比例函数图象上,点与点关于轴对称.若点在正比例函数 的图象上,则这个反比例函数的解析式为_ _______.提示:因为点与点关于轴对称,所以点的坐标为 .因为点在正比例函数的图象上,所以.因此点 的坐标为.设这个反比例函数的解析式为 .因为该反比例函数的图象经过点,所以 .因此这个反比例函数的解析式为 .思路点拨 只要求出点 的坐标,就可以利用待定系数法求出反比例函数的解析式.根据点与点关于轴对称,点在正比例函数 的图象上,可先求出点的坐标,再求出点 的坐标,则问题可解.考点专练4.(2025·江苏盐城·中考模拟)已知反比例函数的图象经过点 ,则该反比例函数的解析式为______.5.(2024·广西柳州·模拟改编)已知是的反比例函数,且当 时,.(1)求关于 的函数解析式.解:因为是的反比例函数,所以设关于的函数解析式为 .因为当时,,所以.因此关于 的函数解析式为.(2)当时,求 的值.解:当时, .考点三 反比例函数中 的几何意义名师指导在反比例函数的图象上任取一点.(1)如图1(或图2),过点作轴(或轴)的垂线,垂足为点,则.图1图2(2)如图3,过点分别向轴、轴作垂线,垂足分别为点, ,则 .图3注意:在选择题和填空题中,可直接利用上述公式求解;在解答题中,不能直接利用上述公式,要写出公式的推导过程.图4例3 (2024·广西钦州·模拟改编)如图4,点 在反比例函数的图象上,点 在反比例函数的图象上.连接与轴交于点 ,且轴,,是轴上一点,连接 ,,则 的面积为__.提示:连接,,设,,因为 轴,且点在反比例函数 的图象上,所以,点的坐标为, .因为,所以.所以 .图4思路点拨 由轴,可知轴, 轴,从而可以通过连接,构造和 ,这两个三角形都可以通过反比例函数中 的几何意义求出面积,且由轴可知 .因此只需求出的值即可求出 的面积.考点专练图56.如图5,反比例函数 的图象经过矩形的对角线的中点.若矩形 的面积为16,则 的值为( ).A. B.4 C. D.8提示:过点D分别向轴, 轴作垂线,垂足分别为点,,因为,且D为矩形 对角线的中点,所以, . 所以 .因为反比例函数图象在第二象限,所以 .A7.(2024·广西河池·中考模拟)图6是反比例函数 的图象的一部分,点在该函数的图象上,轴,垂足为点.若 ,则这个反比例函数的解析式为_ _______.图6考点四 一次函数与反比例函数的综合题名师指导1.一次函数与反比例函数的综合题多与交点有关.利用直线与双曲线的交点坐标求函数解析式是解题的关键.因此解题时要充分挖掘与交点有关的已知条件.2.关于求一次函数与反比例函数组成的不等式的解集的问题,首先从两个函数图象的交点入手,这是两个函数值相等的情况,还要注意0,然后根据图象的高低,确定不等式的解集.例4 (2024·广西柳州·中考模拟)如图7,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于, 两点.图7图7(1)求一次函数和反比例函数的解析式.解:将代入,得.解得 .所以反比例函数的解析式为.将 代入,得.解得.因此点 的坐标为.因为一次函数 的图象也经过,两点,所以 解得所以一次函数的解析式为 .(2)点在轴上,位于原点的右侧,且,求 的面积.图7解:因为,所以,点到 轴的距离为4.因为,所以.所以 的面积= .图7思路点拨(1)根据反比例函数 的图象经过点,,可先后求出, 的值.再根据一次函数的图象经过点, ,利用待定系数法求出一次函数的解析式.(2)观察图象,的一边在 轴上,因此考虑以为底边求的面积,边上的高等于点到 轴的距离.解题的关键是求出的长,根据,已知点 的坐标,可利用勾股定理求得的长,进而得出 的长.考点专练8.已知正比例函数的图象与反比例函数 的图象相交于点,则下列说法正确的是( ).CA.正比例函数与反比例函数都随着 的增大而增大B.两个函数图象的另一个交点的坐标为C.当或时,D.反比例函数的解析式是图89.(2025·广西贵港·中考模拟)如图8,直线 与反比例函数的图象相交于点 和点,与轴的正半轴相交于点 .(1)求 的值.解:因为点在反比例函数 的图象上,所以.解得 .(2)连接,,已知点为线段的中点,求 的面积.图8解:一题多解 因为点是线段 的中点,所以点的纵坐标为4.因为点在反比例函数 的图象上,令,则,所以点的坐标为 .(方法一)设直线对应的函数解析式为,将 ,代入,得解得所以直线 对应的函数解析式为.令,得.所以.因为点 是线段 的中点,所以 .(方法二)因为是的中点,,, .所以,,.则 .故 .图8考点五 反比例函数的应用名师指导应用反比例函数知识解决实际问题常见的三种题型:(1)建立反比例函数模型,求反比例函数解析式;(2)利用反比例函数的图象和性质(如增减性)解决实际问题,它常与方程(组)或不等式一起考查;(3)利用反比例函数的图象描述事物的变化规律,常涉及分段函数问题.图9例5 跨学科题(2025·山东德州·中考模拟)已知蓄电池的电压为定值,使用该蓄电池时,电流(单位: A)与电阻(单位: )是反比例函数关系,它的图象如图9所示.(1)请求出这个反比例函数的解析式.解:因为电流与电阻是反比例函数关系,所以设 .因为函数图象经过点,所以.解得.所以 .(2)蓄电池的电压(单位: )是多少 图9解:蓄电池的电压是 .图9(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过 ,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围?解:因为,,所以 ..故用电器的可变电阻应不小于 .图9思路点拨(1)已知反比例函数图象经过点 ,将其代入函数解析式即可求解.(2)根据“电压 电流×电阻”,进行列式计算.(3)“限制电流不能超过”表示,将用关于 的式子表示,就可求出 的取值范围.考点专练10.(2025·山东临沂·中考模拟)临滕高速是山东省“十四五”重点建设项目.一段工程施工需要运送的土石方总量为,设土石方日平均运送量为(单位: ),完成运送任务所需要的时间为 (单位:天),则与 满足( ).AA.反比例函数关系 B.正比例函数关系C.一次函数关系 D.二次函数关系11.跨学科题(2024·湖北恩施·中考)如图10,取一根长 的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点处,并将其吊起来,在中点 的左侧距离处挂一个重的物体,在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,弹簧秤与中点 的距离(单位:)及弹簧秤的示数(单位:)满足.则关于的函数图象大致是( ).图10A. B. C. D.图10提示:根据题意得,,即.所以 是关于的反比例函数.又因为 ,所以函数图象经过点.故选项B中的图象可表示关于 的函数关系.【答案】B12.跨学科题(2025·广西南宁·模拟)有一个寓言故事:青年用木柴烧水时,由于木柴不足,水没有烧开,重新找木柴的时间水已变凉,而新找的木柴也不够将水重新烧开,很是气馁.有人提醒他,木柴不够,可以将水倒掉一部分.青年听后,茅塞顿开,把水烧开了.根据物理学公式 (表示水吸收的总热量;表示水的比热容,为常数; 表示水的质量;表示水的温差),得 .当木柴质量确定时,提供给水吸收的总热量随之确定,为定值,水上升的温度(单位: )与水的质量(单位: )成反比例关系.(1)已知现有木柴可以将温度为的水加热到 ,请求出这种情形下的值及关于 的函数解析式.解:根据题意可知,当 时,,将它们代入,得.解得.故 关于的函数解析式为 .(2)在(1)的情形下,现有的木柴可将多少千克温度为 的水加热到 解:将代入,得.解得 .故现有的木柴可将温度为的水加热到 .第12讲 反比例函数靶向锤炼靶向练1.(2023·云南·中考)若点是反比例函数 图象上的一点,则常数 的值为( ).AA.3 B. C. D.2.跨学科题(2025·广西南宁·模拟)已知某蓄电池的电压(单位: )为定值,使用该蓄电池时,电流(单位:A)与电阻(单位: )是反比例函数关系,它的图象如图1所示,则该蓄电池的电压是( ).D图1A. B. C. D.图23.(2023·浙江宁波·中考)如图2,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于,两点,点 的横坐标为1,点的横坐标为,当时, 的取值范围是( ).BA.或 B.或C.或 D.或4.(2023·江苏常州·中考)若矩形的面积是10,相邻两边的长分别为, ,则关于 的函数解析式为_______.5.跨学科题(2023·浙江温州·中考)在温度不变的条件下,通过一次又一次对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强 与汽缸内气体的体积成反比例,关于 的函数图象如图3所示.若压强由加压到 ,则汽缸内气体的体积压缩了____ .20图36.反比例函数 的图象如图4所示,有下列关于该函数图象的四个结论:;②当时,随 的增大而增大;③该函数的图象关于直线对称;④若点 在该反比例函数的图象上,则点也在该函数的图象上.其中正确的结论是________.(填序号)②③④图47.(2024·江苏常州·中考)如图5(见下页),在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数 的图象分别相交于点, .图5图5(1)求一次函数,反比例函数 的解析式.解:将代入,得 .故反比例函数的解析式为.将代入 ,得.故点的坐标为 .将,代入 ,得解得故一次函数的解析式为 .图5(2)连接,,求 的面积.解:设直线与轴交于点.对于 ,当时,,所以.故 的面积 .攻坚练图68.(2023·广西贺州·中考)已知一次函数 的图象如图6所示,则与 的图象为( ).AA. B. C. D.图79.(2024·广西桂林·模拟)如图7,的顶点 在第一象限,顶点在轴上,反比例函数 的图象经过点.若,的面积为8,则 的值为( ).CA.32 B.16 C.8 D.4提示:过点作于点A,因为,所以 .所以.根据反比例函数的几何意义,得 ,即.因为反比例函数的图象在第一象限,所以 .图810.(2023·湖南湘西·中考)如图8,点 在函数的图象上,点在函数 的图象上,且轴,轴于点,则四边形的面积为( ).BA.1 B.2 C.3 D.4提示:延长交轴于点D.因为轴,所以 轴.因为点A在函数的图象上,点B在函数 的图象上,所以, .所以.11.某隧道建设的首期工程共需挖掘土石方60万立方米,设计划平均每天挖掘土石方万立方米,总共需要时间 天,且完成首期工程限定时间不超过600天.(1)求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围.解:由题意知,,即.因为,所以 解得,即自变量的取值范围是 .(2)由于工程进度的需要,实际平均每天挖掘土石方比计划多0.02万立方米,首期工程比计划提前了100天完成.求实际挖掘多少天完成首期工程.解:设实际挖掘天完成首期工程.由题意,得 .,(舍去).经检验, 是原分式方程的解,且符合题意.答:实际挖掘500天完成首期工程.12.(2025·山东泰安·中考模拟)如图9,直线 与反比例函数的图象相交于点,,与轴交于点 .图9(1)求直线 对应的函数解析式.解:分别将点,点 代入,得,.解得 ,.故点的坐标为,点 的坐标为.将,代入 ,解得故直线 对应的函数解析式为 .(2)请直接写出当时, 的取值范围.图9解:当时,或 .图9(3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点,求 的面积.解:对于,当时, .所以点的坐标为.对于,当 时,.所以点的坐标为, .由此可得,.故 .拔尖练图1013.(2023·湖南郴州·中考)在实验课上,小明做了一个实验.如图10,在仪器左边托盘 (固定)中放置一个物体,在右边托盘 (可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为 .在容器中加入一定质量的水,使仪器左右平衡.改变托盘与点的距离 ,记录容器中加入的水的质量,得到下表.托盘与点的距离 30 25 20 15 10容器与水的总质量 10 12 15 20 30加入的水的质量 5 7 10 15 25图11把表中的与 各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图11所示的关于的函数图象.(1)请在图11的平面直角坐标系中作出关于 的函数图象.解:作出关于 的函数图象如图4.图4图11(2)观察函数图象,并结合表中的数据,解决下列问题:①猜测与之间的函数关系,并求关于 的函数解析式.解:观察图象与表格数据可知,是的反比例函数,设 ,将代入,得.解得.所以关于 的函数解析式是 .②求关于 的函数解析式.解:因为,所以,即 .③当时,随的增大而______(填“增大”或“减小”), 随的增大而______(填“增大”或“减小”),的图象可以由 的图象向____(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到.减小减小下(3)若在容器中加入的水的质量满足,求托盘 与点的距离 的取值范围.解:因为,,所以 .所以2.所以 . 展开更多...... 收起↑ 资源预览 当前文档不提供在线查看服务,请下载使用!