第一篇 吃透考点 专题三 函数 第12讲 反比例函数 2026年中考数学复习讲义课件(共68张PPT)

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第一篇 吃透考点 专题三 函数 第12讲 反比例函数 2026年中考数学复习讲义课件(共68张PPT)

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复习讲义
第一篇 吃透考点
专题三 函数
第12讲 反比例函数
聚焦核心
1.反比例函数
(1)定义:一般地,形如_ _为常数,且 的函数称为反比例
函数,其中自变量 的取值范围是不等于___的一切实数.
(2)表现形式:
①为常数,且 ;
②为常数,且 ;
③为常数,且 .
0
2.反比例函数的图象与性质
(1)反比例函数的图象是________.
双曲线
(2)反比例函数 的图象与性质:
的取值
图象 ________________________________ ______________________________________
所在象限 图象分布在第一、三象限 图象分布在第二、四象限
增减性 在每个象限内,随 的增大 而______ 在每个象限内,随 的增大
而______
对称性 关于直线, 成轴对称,关于原点成中心对称 减小
增大
第12讲 反比例函数
案例分析
考点一 反比例函数的图象和性质
名师指导
比较反比例函数图象上的点的纵坐标的大小,要先判断各点是否在
同一象限内.同一象限内的点,可根据函数的增减性进行比较;不同象
限内的点,可根据纵坐标的正负性进行比较.更直观的方法是利用函数
图象进行比较.
例1 (2023·浙江嘉兴·中考)已知点,, 均在反
比例函数的图象上,则,, 的大小关系是( ).
A. B. C. D.
提示:(方法一)因为点,, 均在反比例函数
的图象上,所以,,.因此 .
(方法二)因为在反比例函数中, ,所以该函数图象位
于第一、三象限,且在每个象限内,随 的增大而减小.因为点
,,均在反比例函数 的图象上,所以点A,B
位于第三象限,点C位于第一象限.所以,, .
图7
又,所以.因此 .
(方法三)如图7,作出反比例函数 的大致图
象,并描出点A,B,C的大致位置.由图象知,
.
【答案】B
思路点拨 思路一:已知反比例函数解析式,只要
将,,三点的横坐标分别代入解析式,求出 ,
, 的值进行比较即可.
思路二:利用反比例函数的增减性进行判断.先判
断,, 三点所在的象限,然后对同一象限内的点,
利用反比例函数的增减性进行比较.
思路三:画出反比例函数图象的草图,在草图上
大致描出,,三点,由点的位置高低,判断 ,
, 的大小.
图7
考点专练
1.关于反比例函数 ,下列结论错误的是( ).
C
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴没有公共点
C.图象所在的每一个象限内,随 的增大而减小
D.若图象经过点,则
2.若点,,在反比例函数 的图象上,
则,, 的大小关系是( ).
C
A. B. C. D.
3.开放性题(2024·江苏无锡·中考改编)某个函数的图象关于原点对称,
且当时,随 的增大而增大.请写出一个符合上述条件的反比例函
数解析式:_ _____________________.
(答案不唯一)
考点二 确定反比例函数的解析式
名师指导
1.因为反比例函数的解析式中只有一个待定系数,所
以只需一个条件(一个点的坐标或一组对应值)即可求出反比例函数的
解析式.
2.求反比例函数的值,最简单的方法是利用
求解.
例2 (2025·陕西·中考模拟)已知点 在一个反比例函数图象上,点
与点关于轴对称.若点在正比例函数 的图象上,则这个反
比例函数的解析式为_ _______.
提示:因为点与点关于轴对称,所以点的坐标为 .因
为点在正比例函数的图象上,所以.因此点 的坐
标为.设这个反比例函数的解析式为 .因为该反比例函数的图
象经过点,所以 .因此这个反比例函数的解析
式为 .
思路点拨 只要求出点 的坐标,就可以利用待定系数法求出反比例函数
的解析式.根据点与点关于轴对称,点在正比例函数 的图
象上,可先求出点的坐标,再求出点 的坐标,则问题可解.
考点专练
4.(2025·江苏盐城·中考模拟)已知反比例函数的图象经过点 ,则该反
比例函数的解析式为______.
5.(2024·广西柳州·模拟改编)已知是的反比例函数,且当 时,
.
(1)求关于 的函数解析式.
解:因为是的反比例函数,所以设关于的函数解析式为 .因为
当时,,所以.因此关于 的函数解析式为
.
(2)当时,求 的值.
解:当时, .
考点三 反比例函数中 的几何意义
名师指导
在反比例函数的图象上任取一点.
(1)如图1(或图2),过点轴(或轴)的垂线,垂足为点
.
图1
图2
(2)如图3,过点分别向轴、轴作垂线,垂足分别为点, ,则 .
图3
注意:在选择题和填空题中,可直接利用上述公式求解;在解答题中,不能直接利用上述公式,要写出公式的推导过程.
图4
例3 (2024·广西钦州·模拟改编)如图4,点 在反比
例函数的图象上,点 在反比例函数
的图象上.连接与轴交于点 ,且
轴,,是轴上一点,连接 ,
,则 的面积为__.
提示:连接,,设,,因为 轴,且点在反比例函数 的图象上,所以,点的坐标为, .因为,所以.所以 .
图4
思路点拨 由轴,可知轴, 轴,
从而可以通过连接,构造和 ,这
两个三角形都可以通过反比例函数中 的几何意义求
出面积,且由轴可知 .因此只
需求出的值即可求出 的面积.
考点专练
图5
6.如图5,反比例函数 的图象经过
矩形的对角线的中点.若矩形 的面积为
16,则 的值为( ).
A. B.4 C. D.8
提示:过点D分别向轴, 轴作垂线,垂足分别为点
,,因为,且D为矩形 对角线的中点,所以, . 所以 .因为反比例函数图象在第二象限,所以 .
A
7.(2024·广西河池·中考模拟)图6是反比例函数 的图象的一部分,点
在该函数的图象上,轴,垂足为点.若 ,则这
个反比例函数的解析式为_ _______.
图6
考点四 一次函数与反比例函数的综合题
名师指导
1.一次函数与反比例函数的综合题多与交点有关.利用直线与双曲线
的交点坐标求函数解析式是解题的关键.因此解题时要充分挖掘与交点
有关的已知条件.
2.关于求一次函数与反比例函数组成的不等式的解集的问题,首先
从两个函数图象的交点入手,这是两个函数值相等的情况,还要注意
0,然后根据图象的高低,确定不等式的解集.
例4 (2024·广西柳州·中考模拟)如图7,在平面直角坐标系中,一次函数
的图象与反比例函数 的图象相交于
, 两点.
图7
图7
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
解:将代入,得.解得 .
所以反比例函数的解析式为.
将 代入,得.
解得.
因此点 的坐标为.
因为一次函数 的图象也经过,两点,所以 解得所以一次函数的解析式为 .
(2)点在轴上,位于原点的右侧,且,求 的面积.
图7
解:因为,所以,点到 轴的距离为4.
因为,所以.
所以 的面积= .
图7
思路点拨(1)根据反比例函数 的图象经过点
,,可先后求出, 的值.再根据一
次函数的图象经过点, ,利用待定系
数法求出一次函数的解析式.
(2)观察图象,的一边在 轴上,因此考
虑以为底边求的面积,边上的高等于点到 轴的距
离.解题的关键是求出的长,根据,已知点 的坐标,可利
用勾股定理求得的长,进而得出 的长.
考点专练
8.已知正比例函数的图象与反比例函数 的图象相交于点
,则下列说法正确的是( ).
C
A.正比例函数与反比例函数都随着 的增大而增大
B.两个函数图象的另一个交点的坐标为
C.当或时,
D.反比例函数的解析式是
图8
9.(2025·广西贵港·中考模拟)如图8,直线 与反比例
函数的图象相交于点 和点
,与轴的正半轴相交于点 .
(1)求 的值.
解:因为点在反比例函数 的图象上,所
以.解得 .
(2)连接,,已知点为线段的中点,求 的面积.
图8
解:一题多解 因为点是线段 的中点,所以点的纵坐标为4.
因为点在反比例函数 的图象上,令,则,所以点的坐标为 .
(方法一)设直线对应的函数解析式为,将 ,
代入,得解得
所以直线 对应的函数解析式为.
令,得.所以.
因为点 是线段 的中点,所以 .
(方法二)因为是的中点,,, .
所以,,.
则 .
故 .
图8
考点五 反比例函数的应用
名师指导
应用反比例函数知识解决实际问题常见的三种题型:(1)建立反比
例函数模型,求反比例函数解析式;(2)利用反比例函数的图象和性质
(如增减性)解决实际问题,它常与方程(组)或不等式一起考查;(3)
利用反比例函数的图象描述事物的变化规律,常涉及分段函数问题.
图9
例5 跨学科题(2025·山东德州·中考模拟)已知蓄电池的电
压为定值,使用该蓄电池时,电流(单位: A)与电阻
(单位: )是反比例函数关系,它的图象如图9所示.
(1)请求出这个反比例函数的解析式.
解:因为电流与电阻是反比例函数关系,所以设 .
因为函数图象经过点,所以.解得.所以 .
(2)蓄电池的电压(单位: )是多少
图9
解:蓄电池的电压是 .
图9
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能
超过 ,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围?
解:因为,,所以 .
.
故用电器的可变电阻应不小于 .
图9
思路点拨(1)已知反比例函数图象经过点 ,将
其代入函数解析式即可求解.(2)根据“电压 电流
×电阻”,进行列式计算.(3)“限制电流不能超过
”表示,将用关于 的式子表示,就可求
出 的取值范围.
考点专练
10.(2025·山东临沂·中考模拟)临滕高速是山东省“十四五”重点建设项目.一
段工程施工需要运送的土石方总量为,设土石方日平均运送量为
(单位: ),完成运送任务所需要的时间为 (单位:天),则与 满
足( ).
A
A.反比例函数关系 B.正比例函数关系
C.一次函数关系 D.二次函数关系
11.跨学科题(2024·湖北恩施·中考)如图10,取一根长 的匀质木
杆,用细绳绑在木杆的中点处,并将其吊起来,在中点 的左侧距离
处挂一个重的物体,在中点 的右
侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,弹簧秤与中点 的距离
(单位:)及弹簧秤的示数(单位:)满足.则关于
的函数图象大致是( ).
图10
A. B. C. D.
图10
提示:根据题意得,,即.所以 是关
于的反比例函数.又因为 ,所以函数图象经过
点.故选项B中的图象可表示关于 的函数关系.
【答案】B
12.跨学科题(2025·广西南宁·模拟)有一个寓言故事:青年用木柴烧水时,由于木柴不足,水没有烧开,重新找木柴的时间水已变凉,而新找的木柴也不够将水重新烧开,很是气馁.有人提醒他,木柴不够,可以将水倒掉一部分.青年听后,茅塞顿开,把水烧开了.根据物理学公式 (表示水吸收的总热量;表示水的比热容,为常数; 表示水的质量;表示水的温差),得 .当木柴质量确定时,提供给水吸收的总热量随之确定,为定值,水上升的温度(单位: )与水的质量(单位: )成反比例关系.
(1)已知现有木柴可以将温度为的水加热到 ,请求出这
种情形下的值及关于 的函数解析式.
解:根据题意可知,当 时,,将它们代入,得.
解得.
故 关于的函数解析式为 .
(2)在(1)的情形下,现有的木柴可将多少千克温度为 的水加热

解:将代入,得.
解得 .
故现有的木柴可将温度为的水加热到 .
第12讲 反比例函数
靶向锤炼
靶向练
1.(2023·云南·中考)若点是反比例函数 图象上的一
点,则常数 的值为( ).
A
A.3 B. C. D.
2.跨学科题(2025·广西南宁·模拟)已知某蓄电池的电压(单位: )
为定值,使用该蓄电池时,电流(单位:A)与电阻(单位: )是
反比例函数关系,它的图象如图1所示,则该蓄电池的电压是( ).
D
图1
A. B. C. D.
图2
3.(2023·浙江宁波·中考)如图2,一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于,两点,点 的横
坐标为1,点的横坐标为,当时, 的取
值范围是( ).
B
A.或 B.或
C.或 D.或
4.(2023·江苏常州·中考)若矩形的面积是10,相邻两边的长分别为, ,
则关于 的函数解析式为_______.
5.跨学科题(2023·浙江温州·中考)在温度不变的条件下,通过一次又一次对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强 与汽缸内气体的体积成反比例,关于 的函数图象如图3所示.若压强由加压到 ,则汽缸内气体的体积压缩了____ .
20
图3
6.反比例函数 的图象如图4所示,有下列关于该函数图象的
四个结论:;②当时,随 的增大而增大;③该函数的图
象关于直线对称;④若点 在该反比例函数的图象上,则点
也在该函数的图象上.其中正确的结论是________.(填序号)
②③④
图4
7.(2024·江苏常州·中考)如图5(见下页),在平面直角坐标系中,一
次函数的图象与反比例函数 的图象分别相交于点
, .
图5
图5
(1)求一次函数,反比例函数 的解析式.
解:将代入,得 .
故反比例函数的解析式为.
将代入 ,得.
故点的坐标为 .将,代入 ,得
解得
故一次函数的解析式为 .
图5
(2)连接,,求 的面积.
解:设直线与轴交于点.
对于 ,当时,,所以.
故 的面积 .
攻坚练
图6
8.(2023·广西贺州·中考)已知一次函数 的
图象如图6所示,则与 的图象为
( ).
A
A. B. C. D.
图7
9.(2024·广西桂林·模拟)如图7,的顶点 在第
一象限,顶点在轴上,反比例函数 的图象经过
点.若,的面积为8,则 的值为
( ).
C
A.32 B.16 C.8 D.4
提示:过点作于点A,因为,所以 .所以
.根据反比例函数的几何意义,得 ,即
.因为反比例函数的图象在第一象限,所以 .
图8
10.(2023·湖南湘西·中考)如图8,点 在函数
的图象上,点在函数 的图
象上,且轴,轴于点,则四边形
的面积为( ).
B
A.1 B.2 C.3 D.4
提示:延长交轴于点D.因为轴,所以 轴.因为点A在函
数的图象上,点B在函数 的图象上,所以
, .所以
.
11.某隧道建设的首期工程共需挖掘土石方60万立方米,设计划平均每天
挖掘土石方万立方米,总共需要时间 天,且完成首期工程限定时间不
超过600天.
(1)求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围.
解:由题意知,,即.
因为,所以 解得,即自变量的取值范围是 .
(2)由于工程进度的需要,实际平均每天挖掘土石方比计划多0.02万立
方米,首期工程比计划提前了100天完成.求实际挖掘多少天完成首期工程.
解:设实际挖掘天完成首期工程.
由题意,得 .
,(舍去).
经检验, 是原分式方程的解,且符合题意.
答:实际挖掘500天完成首期工程.
12.(2025·山东泰安·中考模拟)如图9,直线 与反比例函数
的图象相交于点,,与轴交于点 .
图9
(1)求直线 对应的函数解析式.
解:分别将点,点 代入,
得,.
解得 ,.
故点的坐标为,点 的坐标为.
将,代入 ,
解得故直线 对应的函数解析式为 .
(2)请直接写出当时, 的取值范围.
图9
解:当时,或 .
图9
(3)过点作轴的平行线交反比例函数
的图象于点,求 的面积.
解:对于,当时, .
所以点的坐标为.
对于,当 时,.
所以点的坐标为, .
由此可得,.故 .
拔尖练
图10
13.(2023·湖南郴州·中考)在实验课上,小明做了
一个实验.如图10,在仪器左边托盘 (固定)中
放置一个物体,在右边托盘 (可左右移动)中放
置一个可以装水的容器,容器的质量为 .在容器中加入一定质量的
水,使仪器左右平衡.改变托盘与点的距离 ,记
录容器中加入的水的质量,得到下表.
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
图11
把表中的与 各组对应值作为点的坐标,
在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑
的曲线连接起来,得到如图11所示的关于
的函数图象.
(1)请在图11的平面直角坐标系中作出关于 的函数图象.
解:作出关于 的函数图象如图4.
图4
图11
(2)观察函数图象,并结合表中的数据,解决下列问题:
①猜测与之间的函数关系,并求关于 的函数解析式.
解:观察图象与表格数据可知,是的反比例函数,设 ,将代入,得.
解得.所以关于 的函数解析式是 .
②求关于 的函数解析式.
解:因为,所以,即 .
③当时,随的增大而______(填“增大”或“减小”), 随
的增大而______(填“增大”或“减小”),的图象可以由 的图象向
____(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到.
减小
减小

(3)若在容器中加入的水的质量满足,求托盘 与
点的距离 的取值范围.
解:因为,,所以 .
所以2.所以 .

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