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复习讲义
第一篇 吃透考点
专题三 函数
第12讲 反比例函数
聚焦核心
1.反比例函数
（1）定义：一般地，形如_ _为常数，且 的函数称为反比例
函数，其中自变量 的取值范围是不等于___的一切实数．
（2）表现形式：
①为常数，且 ；
②为常数，且 ；
③为常数，且 .
0
2.反比例函数的图象与性质
（1）反比例函数的图象是________.
双曲线
（2）反比例函数 的图象与性质：
的取值
图象 ________________________________ ______________________________________
所在象限 图象分布在第一、三象限 图象分布在第二、四象限
增减性 在每个象限内，随 的增大 而______ 在每个象限内，随 的增大
而______
对称性 关于直线， 成轴对称，关于原点成中心对称 减小
增大
第12讲 反比例函数
案例分析
考点一 反比例函数的图象和性质
名师指导
比较反比例函数图象上的点的纵坐标的大小，要先判断各点是否在
同一象限内.同一象限内的点，可根据函数的增减性进行比较；不同象
限内的点，可根据纵坐标的正负性进行比较．更直观的方法是利用函数
图象进行比较．
例1 （2023·浙江嘉兴·中考）已知点,, 均在反
比例函数的图象上，则,, 的大小关系是( ).
A. B. C. D.
提示：（方法一）因为点,, 均在反比例函数
的图象上，所以,,.因此 .
（方法二）因为在反比例函数中， ，所以该函数图象位
于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小.因为点
,,均在反比例函数 的图象上，所以点A,B
位于第三象限，点C位于第一象限.所以，， .
图7
又，所以.因此 .
（方法三）如图7，作出反比例函数 的大致图
象，并描出点A,B,C的大致位置.由图象知，
.
【答案】B
思路点拨 思路一：已知反比例函数解析式，只要
将,,三点的横坐标分别代入解析式，求出 ,
， 的值进行比较即可.
思路二：利用反比例函数的增减性进行判断.先判
断,, 三点所在的象限,然后对同一象限内的点,
利用反比例函数的增减性进行比较.
思路三：画出反比例函数图象的草图，在草图上
大致描出,,三点，由点的位置高低,判断 ,
， 的大小.
图7
考点专练
1.关于反比例函数 ，下列结论错误的是( ).
C
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴没有公共点
C.图象所在的每一个象限内，随 的增大而减小
D.若图象经过点，则
2.若点，，在反比例函数 的图象上，
则，， 的大小关系是( ).
C
A. B. C. D.
3.开放性题（2024·江苏无锡·中考改编）某个函数的图象关于原点对称，
且当时，随 的增大而增大.请写出一个符合上述条件的反比例函
数解析式：_ _____________________.
（答案不唯一）
考点二 确定反比例函数的解析式
名师指导
1.因为反比例函数的解析式中只有一个待定系数，所
以只需一个条件（一个点的坐标或一组对应值）即可求出反比例函数的
解析式．
2.求反比例函数中的值，最简单的方法是利用
求解．
例2 （2025·陕西·中考模拟）已知点 在一个反比例函数图象上，点
与点关于轴对称.若点在正比例函数 的图象上，则这个反
比例函数的解析式为_ _______.
提示：因为点与点关于轴对称，所以点的坐标为 .因
为点在正比例函数的图象上，所以.因此点 的坐
标为.设这个反比例函数的解析式为 .因为该反比例函数的图
象经过点，所以 .因此这个反比例函数的解析
式为 .
思路点拨 只要求出点 的坐标，就可以利用待定系数法求出反比例函数
的解析式.根据点与点关于轴对称，点在正比例函数 的图
象上，可先求出点的坐标，再求出点 的坐标，则问题可解.
考点专练
4.（2025·江苏盐城·中考模拟）已知反比例函数的图象经过点 ，则该反
比例函数的解析式为______.
5.（2024·广西柳州·模拟改编）已知是的反比例函数，且当 时，
.
（1）求关于 的函数解析式.
解：因为是的反比例函数，所以设关于的函数解析式为 .因为
当时，，所以.因此关于 的函数解析式为
.
（2）当时，求 的值.
解：当时， .
考点三 反比例函数中 的几何意义
名师指导
在反比例函数的图象上任取一点.
（1）如图1（或图2），过点作轴（或轴）的垂线，垂足为点，
则.
图1
图2
（2）如图3，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点， ，则 .
图3
注意：在选择题和填空题中，可直接利用上述公式求解；在解答题中，不能直接利用上述公式，要写出公式的推导过程.
图4
例3 （2024·广西钦州·模拟改编）如图4，点 在反比
例函数的图象上，点 在反比例函数
的图象上.连接与轴交于点 ，且
轴，，是轴上一点，连接 ，
，则 的面积为__.
提示：连接，，设，，因为 轴，且点在反比例函数 的图象上，所以，点的坐标为， .因为，所以.所以 .
图4
思路点拨 由轴，可知轴， 轴，
从而可以通过连接，构造和 ，这
两个三角形都可以通过反比例函数中 的几何意义求
出面积，且由轴可知 .因此只
需求出的值即可求出 的面积.
考点专练
图5
6.如图5，反比例函数 的图象经过
矩形的对角线的中点.若矩形 的面积为
16，则 的值为( ).
A. B.4 C. D.8
提示：过点D分别向轴， 轴作垂线，垂足分别为点
，，因为，且D为矩形 对角线的中点，所以， . 所以 .因为反比例函数图象在第二象限，所以 .
A
7.（2024·广西河池·中考模拟）图6是反比例函数 的图象的一部分，点
在该函数的图象上，轴，垂足为点.若 ，则这
个反比例函数的解析式为_ _______.
图6
考点四 一次函数与反比例函数的综合题
名师指导
1.一次函数与反比例函数的综合题多与交点有关.利用直线与双曲线
的交点坐标求函数解析式是解题的关键.因此解题时要充分挖掘与交点
有关的已知条件.
2.关于求一次函数与反比例函数组成的不等式的解集的问题，首先
从两个函数图象的交点入手，这是两个函数值相等的情况，还要注意
0，然后根据图象的高低，确定不等式的解集．
例4 （2024·广西柳州·中考模拟）如图7，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象与反比例函数 的图象相交于
， 两点.
图7
图7
（1）求一次函数和反比例函数的解析式.
解：将代入，得.解得 .
所以反比例函数的解析式为.
将 代入，得.
解得.
因此点 的坐标为.
因为一次函数 的图象也经过，两点，所以 解得所以一次函数的解析式为 .
（2）点在轴上，位于原点的右侧，且，求 的面积.
图7
解：因为，所以，点到 轴的距离为4.
因为，所以.
所以 的面积= .
图7
思路点拨（1）根据反比例函数 的图象经过点
，，可先后求出， 的值.再根据一
次函数的图象经过点， ，利用待定系
数法求出一次函数的解析式.
（2）观察图象，的一边在 轴上，因此考
虑以为底边求的面积，边上的高等于点到 轴的距
离.解题的关键是求出的长，根据，已知点 的坐标，可利
用勾股定理求得的长，进而得出 的长.
考点专练
8.已知正比例函数的图象与反比例函数 的图象相交于点
，则下列说法正确的是( ).
C
A.正比例函数与反比例函数都随着 的增大而增大
B.两个函数图象的另一个交点的坐标为
C.当或时，
D.反比例函数的解析式是
图8
9.（2025·广西贵港·中考模拟）如图8，直线 与反比例
函数的图象相交于点 和点
，与轴的正半轴相交于点 .
（1）求 的值.
解：因为点在反比例函数 的图象上，所
以.解得 .
（2）连接，，已知点为线段的中点，求 的面积.
图8
解：一题多解 因为点是线段 的中点，所以点的纵坐标为4.
因为点在反比例函数 的图象上，令，则，所以点的坐标为 .
（方法一）设直线对应的函数解析式为，将 ，
代入，得解得
所以直线 对应的函数解析式为.
令，得.所以.
因为点 是线段 的中点，所以 .
（方法二）因为是的中点，，， .
所以，，.
则 .
故 .
图8
考点五 反比例函数的应用
名师指导
应用反比例函数知识解决实际问题常见的三种题型：（1）建立反比
例函数模型，求反比例函数解析式；（2）利用反比例函数的图象和性质
（如增减性）解决实际问题，它常与方程（组）或不等式一起考查；（3）
利用反比例函数的图象描述事物的变化规律，常涉及分段函数问题.
图9
例5 跨学科题（2025·山东德州·中考模拟）已知蓄电池的电
压为定值,使用该蓄电池时,电流（单位: A）与电阻
（单位: ）是反比例函数关系，它的图象如图9所示.
（1）请求出这个反比例函数的解析式.
解：因为电流与电阻是反比例函数关系，所以设 .
因为函数图象经过点，所以.解得.所以 .
（2）蓄电池的电压（单位： ）是多少
图9
解：蓄电池的电压是 .
图9
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能
超过 ,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
解：因为，，所以 .
.
故用电器的可变电阻应不小于 .
图9
思路点拨（1）已知反比例函数图象经过点 ,将
其代入函数解析式即可求解.（2）根据“电压 电流
×电阻”,进行列式计算.（3）“限制电流不能超过
”表示，将用关于 的式子表示，就可求
出 的取值范围.
考点专练
10.（2025·山东临沂·中考模拟）临滕高速是山东省“十四五”重点建设项目.一
段工程施工需要运送的土石方总量为,设土石方日平均运送量为
（单位: ），完成运送任务所需要的时间为 （单位:天）,则与 满
足( ).
A
A.反比例函数关系 B.正比例函数关系
C.一次函数关系 D.二次函数关系
11.跨学科题（2024·湖北恩施·中考）如图10，取一根长 的匀质木
杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起来，在中点 的左侧距离
处挂一个重的物体，在中点 的右
侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点 的距离
（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足.则关于
的函数图象大致是( ).
图10
A. B. C. D.
图10
提示：根据题意得，，即.所以 是关
于的反比例函数.又因为 ，所以函数图象经过
点.故选项B中的图象可表示关于 的函数关系.
【答案】B
12.跨学科题（2025·广西南宁·模拟）有一个寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁.有人提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分.青年听后，茅塞顿开，把水烧开了.根据物理学公式 （表示水吸收的总热量；表示水的比热容，为常数； 表示水的质量；表示水的温差），得 .当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量随之确定，为定值，水上升的温度（单位： ）与水的质量（单位： ）成反比例关系.
（1）已知现有木柴可以将温度为的水加热到 ，请求出这
种情形下的值及关于 的函数解析式.
解：根据题意可知，当 时，，将它们代入，得.
解得.
故 关于的函数解析式为 .
（2）在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为 的水加热
到
解：将代入，得.
解得 .
故现有的木柴可将温度为的水加热到 .
第12讲 反比例函数
靶向锤炼
靶向练
1.（2023·云南·中考）若点是反比例函数 图象上的一
点，则常数 的值为( ).
A
A.3 B. C. D.
2.跨学科题（2025·广西南宁·模拟）已知某蓄电池的电压（单位： ）
为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位： ）是
反比例函数关系，它的图象如图1所示，则该蓄电池的电压是( ).
D
图1
A. B. C. D.
图2
3.（2023·浙江宁波·中考）如图2，一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于，两点，点 的横
坐标为1，点的横坐标为，当时， 的取
值范围是( ).
B
A.或 B.或
C.或 D.或
4.（2023·江苏常州·中考）若矩形的面积是10,相邻两边的长分别为, ,
则关于 的函数解析式为_______.
5.跨学科题（2023·浙江温州·中考）在温度不变的条件下，通过一次又一次对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强 与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图3所示．若压强由加压到 ，则汽缸内气体的体积压缩了____ ．
20
图3
6.反比例函数 的图象如图4所示，有下列关于该函数图象的
四个结论：；②当时，随 的增大而增大；③该函数的图
象关于直线对称；④若点 在该反比例函数的图象上，则点
也在该函数的图象上．其中正确的结论是________.（填序号）
②③④
图4
7.（2024·江苏常州·中考）如图5（见下页），在平面直角坐标系中，一
次函数的图象与反比例函数 的图象分别相交于点
， .
图5
图5
（1）求一次函数，反比例函数 的解析式.
解：将代入，得 .
故反比例函数的解析式为.
将代入 ，得.
故点的坐标为 .将，代入 ，得
解得
故一次函数的解析式为 .
图5
（2）连接，，求 的面积.
解：设直线与轴交于点.
对于 ，当时，，所以.
故 的面积 .
攻坚练
图6
8.（2023·广西贺州·中考）已知一次函数 的
图象如图6所示，则与 的图象为
( ).
A
A. B. C. D.
图7
9.（2024·广西桂林·模拟）如图7，的顶点 在第
一象限，顶点在轴上，反比例函数 的图象经过
点.若，的面积为8，则 的值为
( ).
C
A.32 B.16 C.8 D.4
提示：过点作于点A，因为，所以 .所以
.根据反比例函数的几何意义，得 ，即
.因为反比例函数的图象在第一象限，所以 .
图8
10.（2023·湖南湘西·中考）如图8，点 在函数
的图象上，点在函数 的图
象上，且轴，轴于点，则四边形
的面积为( ).
B
A.1 B.2 C.3 D.4
提示：延长交轴于点D.因为轴，所以 轴.因为点A在函
数的图象上，点B在函数 的图象上，所以
， .所以
.
11.某隧道建设的首期工程共需挖掘土石方60万立方米，设计划平均每天
挖掘土石方万立方米，总共需要时间 天，且完成首期工程限定时间不
超过600天.
（1）求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围.
解：由题意知，，即.
因为，所以 解得，即自变量的取值范围是 .
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比计划多0.02万立
方米，首期工程比计划提前了100天完成.求实际挖掘多少天完成首期工程.
解：设实际挖掘天完成首期工程.
由题意，得 .
，（舍去）.
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
答：实际挖掘500天完成首期工程.
12.（2025·山东泰安·中考模拟）如图9，直线 与反比例函数
的图象相交于点，，与轴交于点 .
图9
（1）求直线 对应的函数解析式.
解：分别将点，点 代入，
得，.
解得 ，.
故点的坐标为，点 的坐标为.
将，代入 ，
解得故直线 对应的函数解析式为 .
（2）请直接写出当时， 的取值范围.
图9
解：当时，或 .
图9
（3）过点作轴的平行线交反比例函数
的图象于点，求 的面积.
解：对于，当时， .
所以点的坐标为.
对于，当 时，.
所以点的坐标为， .
由此可得，.故 .
拔尖练
图10
13.（2023·湖南郴州·中考）在实验课上，小明做了
一个实验．如图10，在仪器左边托盘 （固定）中
放置一个物体，在右边托盘 （可左右移动）中放
置一个可以装水的容器，容器的质量为 ．在容器中加入一定质量的
水，使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离 ，记
录容器中加入的水的质量，得到下表.
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
图11
把表中的与 各组对应值作为点的坐标，
在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑
的曲线连接起来，得到如图11所示的关于
的函数图象．
（1）请在图11的平面直角坐标系中作出关于 的函数图象.
解：作出关于 的函数图象如图4.
图4
图11
（2）观察函数图象，并结合表中的数据，解决下列问题：
①猜测与之间的函数关系，并求关于 的函数解析式.
解：观察图象与表格数据可知，是的反比例函数，设 ，将代入，得.
解得.所以关于 的函数解析式是 .
②求关于 的函数解析式.
解：因为，所以，即 .
③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）， 随
的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由 的图象向
____（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
减小
减小
下
（3）若在容器中加入的水的质量满足，求托盘 与
点的距离 的取值范围．
解：因为，，所以 .
所以2.所以 ．

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