第一篇 考点精讲 专题四 三角形 第20讲 等腰三角形与直角三角形 2026年中考数学复习讲义课件(共50张PPT)

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第一篇 考点精讲 专题四 三角形 第20讲 等腰三角形与直角三角形 2026年中考数学复习讲义课件(共50张PPT)

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(共50张PPT)
复习讲义
第一篇 考点精讲
专题四 三角形
第20讲 等腰三角形与直角三角形
聚焦核心
1.等腰三角形
定义 有两边______的三角形叫作等腰三角形
性质 等腰三角形的两个底角______(简称“等边对______”)
等腰三角形的顶角________、底边上的____、底边上的
______相互重合(简称“三线合一”)
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线是它的
对称轴
判定 有两个角______的三角形是等腰三角形(简称“等角对
______”)
有两边______的三角形是等腰三角形
相等
相等
等角
平分线

中线
相等
等边
相等
2.等边三角形
定义 三条边都______的三角形叫作等边三角形
性质 等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的所有性质
等边三角形的三个内角______,并且每一个内角都等于____
等边三角形是轴对称图形,它有____条对称轴
判定 有一个角是____的等腰三角形是等边三角形
三条边或三个角都______的三角形是等边三角形
相等
相等

相等
3.线段的垂直平分线
定义 经过线段的______并且与这条线段______的直线叫作这条线
段的垂直平分线
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______
判定 与一条线段两个端点距离______的点,在这条线段的垂直平
分线上
中点
垂直
相等
相等
4.直角三角形
性质 直角三角形的两个锐角______
斜边上的中线等于斜边的______
角所对的直角边等于斜边的______
勾股定理:若直角三角形的两条直角边长分别为, ,斜边
长为 ,则_____________
互余
一半
一半
判定 有一个角是______的三角形是直角三角形
有两个角______的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长,, 满足
___________________________,那么这个三角形是直角三角

面积 如果直角三角形的两条直角边长分别为,,斜边长为 ,斜
边上的高为,那么这个直角三角形的面积_ ____ _____
直角
互余
(答案不唯一)
续表
第20讲 等腰三角形与直角三角形
案例分析
考点一 等腰三角形的性质与判定
名师指导
1.利用等腰三角形的两个底角相等和“三线合一”的性质,可以
实现等腰三角形的边与角之间的转化,为解决问题提供条件.
2.要判定一个三角形是等腰三角形,只要证明它有两个内角或两条
边相等即可.
例1 (2024·重庆·中考改编)如图1,在中, , ,平分交于点,.求 的长.
图1
思路点拨
解:,
, , .
平分, .
.

, ,
.
图1
考点专练
1.(2025·吉林长春·中考模拟)如图2,在中,.分别以点和点
为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧交于点,作直线交
于点.若 ,则____ .
55
图2
2.(2025·广东汕头·模拟)如图3,为平分线上一点, 交
于点.求证: 是等腰三角形.
图3
证明:平分 ,

是等腰三角形.
考点二 等边三角形的性质与判定
名师指导
1.等边三角形中隐含着三条边相等、三个角都等于 的条件,解题时,要灵活运用这些条件进行线段或角度的计算.
2.等边三角形的判定方法:(1)若一个三角形的三边相等,则该三角形是等边三角形;(2)若一个三角形的两个内角均为 ,则该三角形是等边三角形;(3)若一个三角形的两边相等,且有一个内角为 ,则该三角形是等边三角形.
图4
例2 (2023·江西·中考)将含 角的三角尺和直尺
按图4所示的方式放置,已知 ,点, 表
示的刻度分别为,,则线段 的长为___
.
2
提示:由直尺的两对边相互平行,得 .又 ,
所以是等边三角形.故 .
思路点拨 根据题意可知 , ,又 ,则考虑根据“两个内角均为 的三角形是等边三角形”证 是等边三角形,再由等边三角形的性质得出 的长.
考点专练
图5
3.(2025·广西钦州·模拟)如图5,一艘轮船由海平面
上地出发向南偏西 的方向行驶到达
地,再由地向北偏西 的方向行驶 到达
地,则,两地相距____ .
50
图25
提示:如图25,连接.由题意,得 , ,, .所以 .从而得 .所以 是等边三角形.故 .
图6
4.(2023·湖北荆州·中考)如图6, 是等边三角
形的中线,以点为圆心、 的长为半径画弧,
交的延长线于点,连接.求证: .
证明:是等边三角形的中线,, .
∴ .
, .
∵ , .
.
考点三 线段的垂直平分线
图7
名师指导 如图7,直线是线段 的垂直平分
线,是 上一点,根据线段垂直平分线的定义及
性质,可得, ,
.由此可得
(等边对等角),.所以,即 平分
(也可由等腰三角形“三线合一”的性质得出此结论).
图8
例3 (2024·江苏镇江·中考)如图8,的边
的垂直平分线交于点,连接.若 ,
,则 ___.
3
提示:由,,得 .因为
点在的垂直平分线上,所以 .
思路点拨 根据线段的垂直平分线的性质,得.从而求出 的长,即可得到 的长.
考点专练
5.如图9,在中,点在上,且,则点 在
( ).
A
图9
A.的垂直平分线上 B. 的平分线上
C.的中点 D. 的垂直平分线上
6.(2023·青海·中考)如图10,在中,是 的垂直平分线.若
,,则 的周长是____.
13
图10
考点四 直角三角形的性质
名师指导
1.直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半,常用它来求线段的长或证明线段间的数量关系.
2.当已知条件给出直角三角形斜边上的中点时,则连接中点与直角顶点,这条中线等于斜边的一半,这一性质为证明线段相等、角相等、线段的数量关系等提供了条件.
3.直角三角形两个锐角互余,既可以运用此性质计算角度,也可以由此性质判定一个三角形是否为直角三角形.
图11
例4 (2024·四川南充·中考)如图11,在
中, , ,, 平分
交于点,点为边上一点,则线段
的长的最小值为( ).
A. B. C.2 D.3
图11
思路点拨 根据垂线段最短可知,当 时,
的值最小.此时 是直角三角形,且
,由此可得与 的数量关系.根据角
平分线的性质,可得与 的数量关系.于是代入
,运用方程思想可求得 的长.
提示:由题意知,当时,线段的长取得最小值.由 平分
, ,得.在中, ,所以
.由,解得.故线段
的长的最小值为2.
图11
【答案】C
考点专练
7.(2024·海南·中考)设直角三角形中一个锐角为 ,另一
个锐角为 ,则与 的函数关系式为( ).
D
A. B. C. D.
图12
8.(2024·青海·中考改编)如图12,在中, 是
的中点, ,,则 的长是___.
3
考点五 勾股定理及其逆定理
名师指导
1.当我们遇到求距离、高度、宽度、长度等可以转化为求线段长度的问题时,可先判断所求线段是否在直角三角形中,若在,则可考虑直接用勾股定理求解;若不在,则可考虑构造直角三角形再求解.
2.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形,通过线段的数量关系来探究线段的位置关系.解题时,应先确定最长边,然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方.
图13
例5 数学文化(2024·四川巴中·中考)“今有方池一丈,
葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深
几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.由此问题可
画出示意图如图13,,,,则
的长为( ).
A.8 B.10 C.12 D.13
提示:设,则.在 中,由勾股定理,得
,即.解得.故 .
C
思路点拨 观察图形,可发现是的直角边,且已知直角边
的长,斜边 ,从而可运用勾股定理列方程求解.
考点专练
图14
9.(2025·天津·中考模拟)如图14,的顶点 ,
顶点,分别在第一、四象限,且 轴,若
,,则点 的坐标是( ).
D
A. B. C. D.
10.(2023·山东菏泽·中考)的三边长,, 满足
,则下列关于 的描述最准
确的是( ).
D
A.是等腰三角形 B. 是直角三角形
C.是锐角三角形 D. 是等腰直角三角形
提示:根据题意,得,.从而得 .所以
为等腰直角三角形.
第20讲 等腰三角形与直角三角形
靶向锤炼
靶向练
图1
1.(2024·陕西·中考)如图1,在 中,
,是边上的高,是 的中点,
连接 ,则图中的直角三角形共有( ).
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
图2
2.(2023·河北·中考)四边形 的边长如图2所示,
对角线的长度随四边形形状的改变而变化.当
为等腰三角形时,对角线 的长为( ).
B
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2024·云南·中考)已知是等腰三角形底边上的高,若点
到直线的距离为3,则点到直线 的距离为( ).
C
A. B.2 C.3 D.
图3
4.(2024·山东泰安·中考)如图3,直线 ,等边
三角形的两个顶点,分别落在直线, 上.
若 ,则 的度数是( ).
B
A. B. C. D.
图4
5.(2023·贵州·中考)“2023中国国际大数据产业
博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多
几何元素,其中有一个等腰三角形模型
(示意图如图4所示),它的顶角为 ,腰长
为 ,则底边上的高是( ).
B
A. B. C. D.
提示:过点A作于点D.在中, , ,
所以 .又 ,所以
.
6.(2024·湖南·中考)若等腰三角形的一个底角的度数为 ,则它的
顶角的度数为_____ .
100
图5
7.(2025·四川德阳·中考改编)如图5,在
中, ,, ,
,是边的中点,则 的长为
__.
提示:因为,, ,所以
.因为, ,
所以.因为,是边 的中点,所以
.
图6
8.如图6,在中, ,
于点,平分交于点 .
(1)求证: 是等腰三角形.
证明: ,, , .
平分,
,,
是等腰三角形.
(2)当垂直平分时,求证: 是等边三角形.
图6
解: 垂直平分, .
由(1)知,,
是等边三角形.
攻坚练
图7
9.(2024·四川自贡·中考)如图7,等边三角形 钢
架的立柱于点,长 .现将钢架立柱缩
短成, ,则新钢架减少用钢( ).
A. B.
C. D.
图7
提示:由等边三角形的性质,得 ,
, .由勾股定理,得
.因为 ,所以 ,
.故减少用钢 .
【答案】D
图8
10.(2023·山东济宁·中考)如图8,在正方形方格中,每
个小正方形的边长都是1个单位长度,点,,, ,
均在小正方形方格的顶点上,线段,交于点 .若
,则 的度数为( ).
A. B. C. D.
图27
提示:如图27,过点B作,且 ,连接
,则 .由勾股定理,得
, ,
.从而得 ,所以
是直角三角形, .故
.
【答案】C
图9
11.数学文化(2023·江苏南京·中考)我国南宋数学家
秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一
段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜
一十五里.里法三百步,欲知为田几何?”将其转化成数
学问题:如图9,在中,, ,
A.80 B.82 C.84 D.86
,则 的面积是( ).(里为当时的计量单位,1里

图9
提示:过点A作于点D,设 ,则
.在中, ,在
中, ,从而得
.解得.在
中, .所以
.
【答案】C
图10
12.如图10,在中, , ,
线段的垂直平分线分别交,于点, ,
连接.若,则 的长为___.
2
提示:由垂直平分,得 .从而得
.所以
.由此可得
.故 .
图11
13.如图11,在等边三角形的上方有一点 ,,为边上一点,交于点 ,且 .
(1)求证: 是直角三角形.
证明: 是等边三角形, .
, .
又 , .
.
是直角三角形.
(2)已知,求 的长.
图11
解:如图28,连接交于点 .
由(1)可知 , .
, , ,即
,, 是的垂直平分线.

.
图28
拔尖练
14.数学文化(2024·黑龙江大庆·中考)如图12,直角三角形的两个锐角
分别是 和 ,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两
个小正方形的边为斜边向外分别作锐角为 和 的直角三角形,再
分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图13是1次操作后
的图形.图14是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达
哥拉斯树”.若图12中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有
正方形的面积和为____.
图12
图13
图14
图29
提示:如图29,设正方形的边长为,正方形 的边长为
.则正方形的面积为,正方形的面积为 .由题意,
得正方形 的边长为2,且是直角三角形的斜边.所以正方
形的面积为4.根据勾股定理,得 .从而
得正方形的面积正方形的面积 .故题图12中所有正
方形的面积和为.同理可得,正方形的面积正方形的面积
正方形的面积,正方形的面积正方形的面积正方形 的面积.从而
得正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正
方形的面积正方形的面积 .由此可得,题图13中所有正方形的面积
图12
和题图12中所有正方形的面积和 ,即1次操作后
所有正方形的面积和 .同理可得2次操作后增
加的8个小正方形的面积和也是4.所以2次操作后所有正方
形的面积和 .依此可推出,10次操
作后所有正方形的面积和 .
图29
答案:48
图12

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