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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题四 三角形
第20讲 等腰三角形与直角三角形
聚焦核心
1.等腰三角形
定义 有两边______的三角形叫作等腰三角形
性质 等腰三角形的两个底角______（简称“等边对______”）
等腰三角形的顶角________、底边上的____、底边上的
______相互重合（简称“三线合一”）
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的
对称轴
判定 有两个角______的三角形是等腰三角形（简称“等角对
______”）
有两边______的三角形是等腰三角形
相等
相等
等角
平分线
高
中线
相等
等边
相等
2.等边三角形
定义 三条边都______的三角形叫作等边三角形
性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质
等边三角形的三个内角______，并且每一个内角都等于____
等边三角形是轴对称图形，它有____条对称轴
判定 有一个角是____的等腰三角形是等边三角形
三条边或三个角都______的三角形是等边三角形
相等
相等
三
相等
3.线段的垂直平分线
定义 经过线段的______并且与这条线段______的直线叫作这条线
段的垂直平分线
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______
判定 与一条线段两个端点距离______的点，在这条线段的垂直平
分线上
中点
垂直
相等
相等
4.直角三角形
性质 直角三角形的两个锐角______
斜边上的中线等于斜边的______
角所对的直角边等于斜边的______
勾股定理：若直角三角形的两条直角边长分别为， ，斜边
长为 ，则_____________
互余
一半
一半
判定 有一个角是______的三角形是直角三角形
有两个角______的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，， 满足
___________________________，那么这个三角形是直角三角
形
面积 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为 ，斜
边上的高为，那么这个直角三角形的面积_ ____ _____
直角
互余
（答案不唯一）
续表
第20讲 等腰三角形与直角三角形
案例分析
考点一 等腰三角形的性质与判定
名师指导
1.利用等腰三角形的两个底角相等和“三线合一”的性质，可以
实现等腰三角形的边与角之间的转化，为解决问题提供条件.
2.要判定一个三角形是等腰三角形，只要证明它有两个内角或两条
边相等即可.
例1 （2024·重庆·中考改编）如图1，在中， ， ，平分交于点，.求 的长.
图1
思路点拨
解：，
， ， .
平分， .
.
∴
， ，
.
图1
考点专练
1.（2025·吉林长春·中考模拟）如图2，在中，.分别以点和点
为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交
于点.若 ，则____ .
55
图2
2.（2025·广东汕头·模拟）如图3，为平分线上一点， 交
于点．求证： 是等腰三角形．
图3
证明：平分 ，
，
是等腰三角形．
考点二 等边三角形的性质与判定
名师指导
1.等边三角形中隐含着三条边相等、三个角都等于 的条件，解题时，要灵活运用这些条件进行线段或角度的计算.
2.等边三角形的判定方法：（1）若一个三角形的三边相等，则该三角形是等边三角形；（2）若一个三角形的两个内角均为 ，则该三角形是等边三角形；（3）若一个三角形的两边相等，且有一个内角为 ，则该三角形是等边三角形.
图4
例2 （2023·江西·中考）将含 角的三角尺和直尺
按图4所示的方式放置，已知 ，点， 表
示的刻度分别为，，则线段 的长为___
.
2
提示：由直尺的两对边相互平行，得 .又 ，
所以是等边三角形.故 .
思路点拨 根据题意可知 ， ，又 ，则考虑根据“两个内角均为 的三角形是等边三角形”证 是等边三角形，再由等边三角形的性质得出 的长.
考点专练
图5
3.（2025·广西钦州·模拟）如图5，一艘轮船由海平面
上地出发向南偏西 的方向行驶到达
地，再由地向北偏西 的方向行驶 到达
地，则，两地相距____ .
50
图25
提示：如图25，连接.由题意，得 ， ，， .所以 .从而得 .所以 是等边三角形.故 .
图6
4.（2023·湖北荆州·中考）如图6， 是等边三角
形的中线，以点为圆心、 的长为半径画弧，
交的延长线于点，连接.求证： .
证明：是等边三角形的中线，， .
∴ .
， .
∵ ， .
.
考点三 线段的垂直平分线
图7
名师指导 如图7，直线是线段 的垂直平分
线，是 上一点，根据线段垂直平分线的定义及
性质，可得， ，
.由此可得
（等边对等角），.所以，即 平分
（也可由等腰三角形“三线合一”的性质得出此结论）.
图8
例3 （2024·江苏镇江·中考）如图8，的边
的垂直平分线交于点，连接.若 ，
，则 ___.
3
提示：由，，得 .因为
点在的垂直平分线上，所以 .
思路点拨 根据线段的垂直平分线的性质，得.从而求出 的长，即可得到 的长.
考点专练
5.如图9，在中，点在上，且，则点 在
( ).
A
图9
A.的垂直平分线上 B. 的平分线上
C.的中点 D. 的垂直平分线上
6.（2023·青海·中考）如图10，在中，是 的垂直平分线.若
，，则 的周长是____.
13
图10
考点四 直角三角形的性质
名师指导
1.直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半，常用它来求线段的长或证明线段间的数量关系.
2.当已知条件给出直角三角形斜边上的中点时，则连接中点与直角顶点，这条中线等于斜边的一半，这一性质为证明线段相等、角相等、线段的数量关系等提供了条件.
3.直角三角形两个锐角互余，既可以运用此性质计算角度，也可以由此性质判定一个三角形是否为直角三角形.
图11
例4 （2024·四川南充·中考）如图11，在
中， ， ，， 平分
交于点，点为边上一点，则线段
的长的最小值为( ).
A. B. C.2 D.3
图11
思路点拨 根据垂线段最短可知，当 时，
的值最小.此时 是直角三角形，且
，由此可得与 的数量关系.根据角
平分线的性质，可得与 的数量关系.于是代入
，运用方程思想可求得 的长.
提示：由题意知，当时，线段的长取得最小值.由 平分
， ，得.在中， ，所以
.由，解得.故线段
的长的最小值为2.
图11
【答案】C
考点专练
7.（2024·海南·中考）设直角三角形中一个锐角为 ，另一
个锐角为 ，则与 的函数关系式为( ).
D
A. B. C. D.
图12
8.（2024·青海·中考改编）如图12，在中， 是
的中点， ，，则 的长是___.
3
考点五 勾股定理及其逆定理
名师指导
1.当我们遇到求距离、高度、宽度、长度等可以转化为求线段长度的问题时，可先判断所求线段是否在直角三角形中，若在，则可考虑直接用勾股定理求解；若不在，则可考虑构造直角三角形再求解.
2.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形，通过线段的数量关系来探究线段的位置关系.解题时，应先确定最长边，然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方.
图13
例5 数学文化（2024·四川巴中·中考）“今有方池一丈，
葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深
几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.由此问题可
画出示意图如图13，，，，则
的长为( ).
A.8 B.10 C.12 D.13
提示：设，则.在 中，由勾股定理，得
，即.解得.故 .
C
思路点拨 观察图形，可发现是的直角边，且已知直角边
的长，斜边 ，从而可运用勾股定理列方程求解.
考点专练
图14
9.（2025·天津·中考模拟）如图14，的顶点 ，
顶点，分别在第一、四象限，且 轴，若
，，则点 的坐标是( ).
D
A. B. C. D.
10.（2023·山东菏泽·中考）的三边长，， 满足
，则下列关于 的描述最准
确的是( ).
D
A.是等腰三角形 B. 是直角三角形
C.是锐角三角形 D. 是等腰直角三角形
提示：根据题意，得，.从而得 .所以
为等腰直角三角形.
第20讲 等腰三角形与直角三角形
靶向锤炼
靶向练
图1
1.（2024·陕西·中考）如图1，在 中，
，是边上的高，是 的中点，
连接 ，则图中的直角三角形共有( ).
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
图2
2.（2023·河北·中考）四边形 的边长如图2所示，
对角线的长度随四边形形状的改变而变化.当
为等腰三角形时，对角线 的长为( ).
B
A.2 B.3 C.4 D.5
3.（2024·云南·中考）已知是等腰三角形底边上的高，若点
到直线的距离为3，则点到直线 的距离为( ).
C
A. B.2 C.3 D.
图3
4.（2024·山东泰安·中考）如图3，直线 ，等边
三角形的两个顶点，分别落在直线， 上.
若 ，则 的度数是( ).
B
A. B. C. D.
图4
5.（2023·贵州·中考）“2023中国国际大数据产业
博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多
几何元素，其中有一个等腰三角形模型
（示意图如图4所示），它的顶角为 ，腰长
为 ，则底边上的高是( ).
B
A. B. C. D.
提示：过点A作于点D.在中， ， ，
所以 .又 ，所以
.
6.（2024·湖南·中考）若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的
顶角的度数为_____ .
100
图5
7.（2025·四川德阳·中考改编）如图5，在
中， ，， ，
，是边的中点，则 的长为
__.
提示：因为，， ，所以
.因为， ，
所以.因为，是边 的中点，所以
.
图6
8.如图6，在中， ，
于点，平分交于点 .
（1）求证： 是等腰三角形.
证明： ，， ， .
平分，
，，
是等腰三角形.
（2）当垂直平分时，求证： 是等边三角形.
图6
解： 垂直平分， .
由（1）知，，
是等边三角形.
攻坚练
图7
9.（2024·四川自贡·中考）如图7，等边三角形 钢
架的立柱于点，长 .现将钢架立柱缩
短成， ，则新钢架减少用钢( ).
A. B.
C. D.
图7
提示：由等边三角形的性质，得 ，
， .由勾股定理，得
.因为 ，所以 ，
.故减少用钢 .
【答案】D
图8
10.（2023·山东济宁·中考）如图8，在正方形方格中，每
个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，， ，
均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点 .若
，则 的度数为( ).
A. B. C. D.
图27
提示：如图27，过点B作，且 ，连接
，则 .由勾股定理，得
， ，
.从而得 ，所以
是直角三角形， .故
.
【答案】C
图9
11.数学文化（2023·江苏南京·中考）我国南宋数学家
秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一
段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜
一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”将其转化成数
学问题：如图9，在中，， ，
A.80 B.82 C.84 D.86
，则 的面积是( ).（里为当时的计量单位，1里
）
图9
提示：过点A作于点D，设 ，则
.在中， ，在
中， ，从而得
.解得.在
中， .所以
.
【答案】C
图10
12.如图10，在中， ， ，
线段的垂直平分线分别交，于点， ，
连接.若，则 的长为___.
2
提示：由垂直平分，得 .从而得
.所以
.由此可得
.故 .
图11
13.如图11，在等边三角形的上方有一点 ，，为边上一点，交于点 ，且 .
（1）求证： 是直角三角形.
证明： 是等边三角形， .
， .
又 ， .
.
是直角三角形.
（2）已知，求 的长.
图11
解：如图28，连接交于点 .
由（1）可知 ， .
， ， ，即
，， 是的垂直平分线.
，
.
图28
拔尖练
14.数学文化（2024·黑龙江大庆·中考）如图12，直角三角形的两个锐角
分别是 和 ，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两
个小正方形的边为斜边向外分别作锐角为 和 的直角三角形，再
分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图13是1次操作后
的图形.图14是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达
哥拉斯树”.若图12中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有
正方形的面积和为____.
图12
图13
图14
图29
提示：如图29，设正方形的边长为，正方形 的边长为
.则正方形的面积为，正方形的面积为 .由题意，
得正方形 的边长为2，且是直角三角形的斜边.所以正方
形的面积为4.根据勾股定理，得 .从而
得正方形的面积正方形的面积 .故题图12中所有正
方形的面积和为.同理可得，正方形的面积正方形的面积
正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形 的面积.从而
得正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正
方形的面积正方形的面积 .由此可得，题图13中所有正方形的面积
图12
和题图12中所有正方形的面积和 ，即1次操作后
所有正方形的面积和 .同理可得2次操作后增
加的8个小正方形的面积和也是4.所以2次操作后所有正方
形的面积和 .依此可推出，10次操
作后所有正方形的面积和 .
图29
答案：48
图12

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