资源简介 (共50张PPT)复习讲义第一篇 考点精讲专题四 三角形第20讲 等腰三角形与直角三角形聚焦核心1.等腰三角形定义 有两边______的三角形叫作等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角______(简称“等边对______”)等腰三角形的顶角________、底边上的____、底边上的______相互重合(简称“三线合一”)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线是它的对称轴判定 有两个角______的三角形是等腰三角形(简称“等角对______”)有两边______的三角形是等腰三角形相等相等等角平分线高中线相等等边相等2.等边三角形定义 三条边都______的三角形叫作等边三角形性质 等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的所有性质等边三角形的三个内角______,并且每一个内角都等于____等边三角形是轴对称图形,它有____条对称轴判定 有一个角是____的等腰三角形是等边三角形三条边或三个角都______的三角形是等边三角形相等相等三相等3.线段的垂直平分线定义 经过线段的______并且与这条线段______的直线叫作这条线段的垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______判定 与一条线段两个端点距离______的点,在这条线段的垂直平分线上中点垂直相等相等4.直角三角形性质 直角三角形的两个锐角______斜边上的中线等于斜边的______角所对的直角边等于斜边的______勾股定理:若直角三角形的两条直角边长分别为, ,斜边长为 ,则_____________互余一半一半判定 有一个角是______的三角形是直角三角形有两个角______的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长,, 满足___________________________,那么这个三角形是直角三角形面积 如果直角三角形的两条直角边长分别为,,斜边长为 ,斜边上的高为,那么这个直角三角形的面积_ ____ _____直角互余(答案不唯一)续表第20讲 等腰三角形与直角三角形案例分析考点一 等腰三角形的性质与判定名师指导1.利用等腰三角形的两个底角相等和“三线合一”的性质,可以实现等腰三角形的边与角之间的转化,为解决问题提供条件.2.要判定一个三角形是等腰三角形,只要证明它有两个内角或两条边相等即可.例1 (2024·重庆·中考改编)如图1,在中, , ,平分交于点,.求 的长.图1思路点拨解:,, , .平分, ..∴, ,.图1考点专练1.(2025·吉林长春·中考模拟)如图2,在中,.分别以点和点为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧交于点,作直线交于点.若 ,则____ .55图22.(2025·广东汕头·模拟)如图3,为平分线上一点, 交于点.求证: 是等腰三角形.图3证明:平分 ,,是等腰三角形.考点二 等边三角形的性质与判定名师指导1.等边三角形中隐含着三条边相等、三个角都等于 的条件,解题时,要灵活运用这些条件进行线段或角度的计算.2.等边三角形的判定方法:(1)若一个三角形的三边相等,则该三角形是等边三角形;(2)若一个三角形的两个内角均为 ,则该三角形是等边三角形;(3)若一个三角形的两边相等,且有一个内角为 ,则该三角形是等边三角形.图4例2 (2023·江西·中考)将含 角的三角尺和直尺按图4所示的方式放置,已知 ,点, 表示的刻度分别为,,则线段 的长为___.2提示:由直尺的两对边相互平行,得 .又 ,所以是等边三角形.故 .思路点拨 根据题意可知 , ,又 ,则考虑根据“两个内角均为 的三角形是等边三角形”证 是等边三角形,再由等边三角形的性质得出 的长.考点专练图53.(2025·广西钦州·模拟)如图5,一艘轮船由海平面上地出发向南偏西 的方向行驶到达地,再由地向北偏西 的方向行驶 到达地,则,两地相距____ .50图25提示:如图25,连接.由题意,得 , ,, .所以 .从而得 .所以 是等边三角形.故 .图64.(2023·湖北荆州·中考)如图6, 是等边三角形的中线,以点为圆心、 的长为半径画弧,交的延长线于点,连接.求证: .证明:是等边三角形的中线,, .∴ ., .∵ , ..考点三 线段的垂直平分线图7名师指导 如图7,直线是线段 的垂直平分线,是 上一点,根据线段垂直平分线的定义及性质,可得, ,.由此可得(等边对等角),.所以,即 平分(也可由等腰三角形“三线合一”的性质得出此结论).图8例3 (2024·江苏镇江·中考)如图8,的边的垂直平分线交于点,连接.若 ,,则 ___.3提示:由,,得 .因为点在的垂直平分线上,所以 .思路点拨 根据线段的垂直平分线的性质,得.从而求出 的长,即可得到 的长.考点专练5.如图9,在中,点在上,且,则点 在( ).A图9A.的垂直平分线上 B. 的平分线上C.的中点 D. 的垂直平分线上6.(2023·青海·中考)如图10,在中,是 的垂直平分线.若,,则 的周长是____.13图10考点四 直角三角形的性质名师指导1.直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半,常用它来求线段的长或证明线段间的数量关系.2.当已知条件给出直角三角形斜边上的中点时,则连接中点与直角顶点,这条中线等于斜边的一半,这一性质为证明线段相等、角相等、线段的数量关系等提供了条件.3.直角三角形两个锐角互余,既可以运用此性质计算角度,也可以由此性质判定一个三角形是否为直角三角形.图11例4 (2024·四川南充·中考)如图11,在中, , ,, 平分交于点,点为边上一点,则线段的长的最小值为( ).A. B. C.2 D.3图11思路点拨 根据垂线段最短可知,当 时,的值最小.此时 是直角三角形,且,由此可得与 的数量关系.根据角平分线的性质,可得与 的数量关系.于是代入,运用方程思想可求得 的长.提示:由题意知,当时,线段的长取得最小值.由 平分, ,得.在中, ,所以.由,解得.故线段的长的最小值为2.图11【答案】C考点专练7.(2024·海南·中考)设直角三角形中一个锐角为 ,另一个锐角为 ,则与 的函数关系式为( ).DA. B. C. D.图128.(2024·青海·中考改编)如图12,在中, 是的中点, ,,则 的长是___.3考点五 勾股定理及其逆定理名师指导1.当我们遇到求距离、高度、宽度、长度等可以转化为求线段长度的问题时,可先判断所求线段是否在直角三角形中,若在,则可考虑直接用勾股定理求解;若不在,则可考虑构造直角三角形再求解.2.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形,通过线段的数量关系来探究线段的位置关系.解题时,应先确定最长边,然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方.图13例5 数学文化(2024·四川巴中·中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.由此问题可画出示意图如图13,,,,则的长为( ).A.8 B.10 C.12 D.13提示:设,则.在 中,由勾股定理,得,即.解得.故 .C思路点拨 观察图形,可发现是的直角边,且已知直角边的长,斜边 ,从而可运用勾股定理列方程求解.考点专练图149.(2025·天津·中考模拟)如图14,的顶点 ,顶点,分别在第一、四象限,且 轴,若,,则点 的坐标是( ).DA. B. C. D.10.(2023·山东菏泽·中考)的三边长,, 满足,则下列关于 的描述最准确的是( ).DA.是等腰三角形 B. 是直角三角形C.是锐角三角形 D. 是等腰直角三角形提示:根据题意,得,.从而得 .所以为等腰直角三角形.第20讲 等腰三角形与直角三角形靶向锤炼靶向练图11.(2024·陕西·中考)如图1,在 中,,是边上的高,是 的中点,连接 ,则图中的直角三角形共有( ).CA.2个 B.3个 C.4个 D.5个图22.(2023·河北·中考)四边形 的边长如图2所示,对角线的长度随四边形形状的改变而变化.当为等腰三角形时,对角线 的长为( ).BA.2 B.3 C.4 D.53.(2024·云南·中考)已知是等腰三角形底边上的高,若点到直线的距离为3,则点到直线 的距离为( ).CA. B.2 C.3 D.图34.(2024·山东泰安·中考)如图3,直线 ,等边三角形的两个顶点,分别落在直线, 上.若 ,则 的度数是( ).BA. B. C. D.图45.(2023·贵州·中考)“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图4所示),它的顶角为 ,腰长为 ,则底边上的高是( ).BA. B. C. D.提示:过点A作于点D.在中, , ,所以 .又 ,所以.6.(2024·湖南·中考)若等腰三角形的一个底角的度数为 ,则它的顶角的度数为_____ .100图57.(2025·四川德阳·中考改编)如图5,在中, ,, ,,是边的中点,则 的长为__.提示:因为,, ,所以.因为, ,所以.因为,是边 的中点,所以.图68.如图6,在中, ,于点,平分交于点 .(1)求证: 是等腰三角形.证明: ,, , .平分,,,是等腰三角形.(2)当垂直平分时,求证: 是等边三角形.图6解: 垂直平分, .由(1)知,,是等边三角形.攻坚练图79.(2024·四川自贡·中考)如图7,等边三角形 钢架的立柱于点,长 .现将钢架立柱缩短成, ,则新钢架减少用钢( ).A. B.C. D.图7提示:由等边三角形的性质,得 ,, .由勾股定理,得.因为 ,所以 ,.故减少用钢 .【答案】D图810.(2023·山东济宁·中考)如图8,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点,,, ,均在小正方形方格的顶点上,线段,交于点 .若,则 的度数为( ).A. B. C. D.图27提示:如图27,过点B作,且 ,连接,则 .由勾股定理,得, ,.从而得 ,所以是直角三角形, .故.【答案】C图911.数学文化(2023·江苏南京·中考)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知为田几何?”将其转化成数学问题:如图9,在中,, ,A.80 B.82 C.84 D.86,则 的面积是( ).(里为当时的计量单位,1里)图9提示:过点A作于点D,设 ,则.在中, ,在中, ,从而得.解得.在中, .所以.【答案】C图1012.如图10,在中, , ,线段的垂直平分线分别交,于点, ,连接.若,则 的长为___.2提示:由垂直平分,得 .从而得.所以.由此可得.故 .图1113.如图11,在等边三角形的上方有一点 ,,为边上一点,交于点 ,且 .(1)求证: 是直角三角形.证明: 是等边三角形, ., .又 , ..是直角三角形.(2)已知,求 的长.图11解:如图28,连接交于点 .由(1)可知 , ., , ,即,, 是的垂直平分线.,.图28拔尖练14.数学文化(2024·黑龙江大庆·中考)如图12,直角三角形的两个锐角分别是 和 ,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形的边为斜边向外分别作锐角为 和 的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图13是1次操作后的图形.图14是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图12中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为____.图12图13图14图29提示:如图29,设正方形的边长为,正方形 的边长为.则正方形的面积为,正方形的面积为 .由题意,得正方形 的边长为2,且是直角三角形的斜边.所以正方形的面积为4.根据勾股定理,得 .从而得正方形的面积正方形的面积 .故题图12中所有正方形的面积和为.同理可得,正方形的面积正方形的面积正方形的面积,正方形的面积正方形的面积正方形 的面积.从而得正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正方形的面积正方形的面积 .由此可得,题图13中所有正方形的面积图12和题图12中所有正方形的面积和 ,即1次操作后所有正方形的面积和 .同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4.所以2次操作后所有正方形的面积和 .依此可推出,10次操作后所有正方形的面积和 .图29答案:48图12 展开更多...... 收起↑ 资源预览 当前文档不提供在线查看服务,请下载使用!