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四川省成都市2023级（2026届）高中毕业班摸底测试数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线 的渐近线方程为
A.2x±y=0 B. x±2y=0 C.4x±y=0 D. x±4y=0
2. 在等差数列{an}中, 则
A.-2 B.—1 C.1 D.2
3.已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位：g)分别服从正态分布 和 其正态曲线如图所示，则
B.μ甲＞μz,σ甲＜σz
C.μ甲＜μ乙,σ甲＞σ乙
4. 函数 的图象在点 处的切线方程为
A. x+y-π-1=0 B. x+y-1=0
5.已知圆锥的高为1，母线与底面所成角的大小为 ，则该圆锥的体积为
A.π C.2π D.3π
6.记 Sn 为等比数列{an}的前n项和,若 则{an}的公比为
A.2 B. C. D.-2
7.在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有
A.24种 B.36种 C.48种 D.60种
8. 已知a为常数,函数f(x)=(x-a) lnx存在极大值,则不等式f(x)＜0的解集为
A.(0,a) B.(1,a) C.(a,1) D.(0,1)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设函数 则
A. f(x)在(-1,1)上单调递减 B. x∈[0,2]时,f(x)的值域为[3,5]
C. f(x)有三个零点 D.曲线y=f(x)关于点(0,3)对称
10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有 6 个球，第四层有10个球……设第n层有 an个球，则
A. a =15
B. 是等差数列
C. a 为偶数
11.眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”(设为事件A)和“老花”(设为事件 B)是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设 则
A. A 与B 互为对立 B. A 与B 相互独立
C. P(A+B)=P(B) D. P(A|B)=P(A|B)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在 的展开式中，x的系数为 (用数字作答).
13.若函数f(x)= ax-cosx在R上单调递增,则a 的取值范围为 .
14.袋中装有大小相同的三个小球，其编号分别为1，2，3.每次从袋中随机地摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取.设第n次摸取小球的编号为( …,7),则在 中：圆的个数 X 的均值为 ；有且只有 E 是焦点在x 轴上的椭圆的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
如图，在四棱台 中，下底面是边长为2的正方形，侧棱 与底面垂直，且
(1)证明:BB ∥平面ACD ;
(2)求平面 ACD 与平面 BCC B 的夹角的大小.
16.(本小题满分15分)
以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取 3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题.
(1)设X 表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量 X 的分布列和方差；
(2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为 若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.
17. (本小题满分15 分)
记 Sn 为数列{}的前n项和，已知 且
(1)求S ,S ,S ;
(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；(若两个都证明，以首选计分)
是等比数列； 是等比数列.
(3)记 Tn 为数列{Sn}的前n项和,求 Tn.
18.(本小题满分17分)
过点 P(-1,0)作直线 l 与抛物线C: 交于A,B 两点.
(1)设O为坐标原点，求 的值；
(2)若以线段 AB 为直径的圆与y 轴相切，求l 的方程；
(3)过点 P 作直线l'(不同于l)与C 交于M,N 两点,且直线AM 与y轴交于点Q,证明:△PBN 与△QBN 的面积相等.
19. (本小题满分17分)
已知函数
(1)求 f(x)的极值;
(2)若f(x)≤2kx+k 恒成立,求k 的取值范围;
(3)证明:
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：(每小题5分，共40分)
1. A; 2. B; 3. C; 4. C; 5. A; 6. D; 7. B; 8. D
二、选择题：(每小题6分，共18分)
9. AD; 10. ABD; 11. BCD
三、填空题：(每小题5分，共15分)
12.10; 13.[1,+∞); 14.2,
四、解答题：(共77分)
15.解:(1)连结BD 交AC 于点E,连结D B ,D E.
因为底面 ABCD 是正方形，所以E 是BD 的中点.
又 ,所以DB=2D B ,故.
……2分
由棱台的定义，DD 与 BB 共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面BDD B 的交线平行，即D B ∥DB. ……4分
所以四边形EBB D 为平行四边形,故 BB ∥ED .
……5分
又因为BB 平面ACD ,ED 平面ACD ,所以BB ∥平面ACD . ……6分
(2)以D 为原点，分别以DA，DC，DD 所在直线为x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C (0,1,1),D (0,0,1).
故 ). ……7 分
设平面 ACD 的法向量 由 写
取 得平面 ACD 的一个法向量m=(1,1,2). ……9分
设平面 的法向量 由得
取 得平面 的一个法向量n=(0,1,1). ……11分
故 ……12分
所以平面. 与平面. ，夹角的大小为 ……13分
16.解:(1)X=1,2,3. ……1分
……2分
……3分
……4分
所以 X 的分布列为
x 1 2 3
P 1一5 3一5
……5 分
故随机变量 X 的期望 ……7分
所以 X 的方差 ……8分
【或解：因为
所以 X 的方差
(2)设事件. 选手甲抽到i 道会做的题目，i=1，2，3”，事件B=“选手甲通过预赛”,则.Ω=A ∪A ∪A ,A ,A ,A 两两互斥,B=A B+A B+A B.
由(1)知, 又
所以 ……10分
同理， ……12分
……14分
由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率 ……15分
17.解:(1)令n=1,得: 又 所以 ……1分
……2分
令n=2,得 又 所以 ……3 分
故 ……4分
(2)若选择①：由已知，得( ……5分
故 所以 ……7分
故 是首项和公比均为2的等比数列. ……9分
若选择②：由已知， 故当n≥2时, ……5分
两式相减，得
化简并整理，得 且n∈N·). ……7分
又 所以 ……8分
故 是以1为首项，2为公比等比数列. ……9分
(3)若选择①:由(2)知, 故 ……11分
若选择②:由(2)知, 故 ……10分
所以 ……11分
所以
则
两式错位相减，得-T,=2 +2 +2 +…+2"-n·2"+1 ……13分
所以 ……15 分
18.解:(1)由题意,直线l不与x轴重合,设l 的方程x= ty-1.
代入 并整理得 ……2分
由 得t＜-1或t＞1.
设点A(x ,y ),B(x ,y ),则 ……3分
所以 ……5分
(2)由弦长公式，得]
……6分
线段 AB 的中点到y轴的距离
又x =ty -1(i=1,2),故 ……8分
由|AB|=2r,得 解得 (均满足△＞0).
所以直线 l 的方程为 ……10分
②设点 同理可得 ……11分
又直线 BN 的斜率
由 得 ……13分
设点 Q(0,m),由A,M,Q 三点共线,得
化简，得 ……15 分
又直线 PQ 的斜率 故
所以BN∥PQ,故△PBN 与△QBN 的面积相等. ……17 分
19.解:(1)由 得 ……2分
所以 f(x)在(-∞,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减. ……3 分
所以 f(x)有极大值 无极小值. ……4 分
(2)由题意,k(2x+1)≥f(x)对x∈R恒成立.
当 时,k(2x+1)≥f(x)显然成立；当 时,由k(2x+1)≥f(x),
得 当 时,由k(2x+1)≥f(x),得 ……5分
设函数 则
……6分
当x＜-1或 时，h'(x)＜0;当 且 时,h'(x)＞0.
所以h(x)在(-∞,-1)和 上单调递减，
在 和 上单调递增. ……7 分
所以当 时， ……8分
当 时， ……9分
所以k的取值范围是 ……10分
(3)由(2)知,e(2x+1)≥f(x),故故
令 得
化简并整理，得 故 ……12分
所以(j+3) ln(j+2)--(j+2) ln(j+1)≥1+ ln(j+1). ……13分
累加，得 且i∈N·).
所以(i+2) ln(i+1)-3ln2≥(i-1)+ ln(i!),故
……14分
所以 故 (当i=1时也成立). ……15 分
所以
……17 分

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