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8.已知AB与AC是平面内两个非零向量，|AB|=2,|AC=3,∠BAC=60°，点P是∠BAC平分线
上的动点.当PA·(PB+PC)取最小值时，PA的值为
2025年高二期末联考
A.33
5
B5装
c
D5
数学
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
得分：
9.以下说法正确的是
A.若A,B两组数据的样本相关系数分别为rA=0.97,s=一0.99，则A组数据比B组数据的相
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。时量120分钟。满分150分。
关性较强
B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
第I卷
C.决定系数R越大，模型的拟合效果越好
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
D有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是名
要求的)
10.已知a,b>0,则使得“a>b”成立的一个充分条件可以是
1.若复数a2一1十(a十2)i(a∈R)为纯虚数，则a=
B.ab-2
A.1
B.2
C.±1
D.士√2
C.b2D.ln(a2+1)>ln(b+1)
2.已知集合A=(xx(x-2)≤0)，则CRA=
11.如图，圆锥VAB内有一个内切球O,AB为底面圆O1的直径，球O与母
A.[0,2]
B.(-∞，0)U(2,+∞)
线VA,VB分别切于点C,D.若△VAB是边长为2的等边三角形，MN
C.(-o∞，0)U[2,十o∞)
D.(-∞，0]U[2,十o∞)
为底面圆O1的一条直径(MN与AB不重合)，则下列说法正确的是
3双曲线苦一专-1的渐近线方程为
A球0的表面积为智
B.圆锥VAB的侧面积为4π
Ay=士
By=士号
C9,
D.y=土6
C四面体CDMN的体积的取值花闺是(o,]
4.已知S。为等比数列a的前n项和，若a,=4a一4a2,则，S
a1十a3
D.若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN的最大值为2√2
A.3
B.5
C.-3
D.-5
选择题答题卡
5.当x∈[0,2x]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x-否)的交点个数为
题号
1
2
3
4
56
8
91011
得分
答案
A.0
B.2
C.4
D.6
6.已知X-N(3,4)且P(X第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
A.-24
B.-6
C.6
D.24
12.在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连
7.定义新运算：a b=ln(e“十e),设f(x)=(x①1)十(x①2)，命题p:了xn∈R,f(xo)≤3，则
续值班2天，则可能的安排方法有
种.
A.p:Hx∈R,f(x)3,且p为假
13.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ⊥FQ,S△，，=
B.p:Hx∈R,f(x)>3,且p为假
2S△F,E,则椭圆的离心率为
C.p:Hx∈R,f(x)≤3，且p为真
14.已知函数f(x)=ln(a.x)十(a一1)x一e,若f(x)存在两个零点，则实数a的取值范围
D.p:Hx∈R,f(x)>3,且p为真
为
数学试题第1页（共6页）
数学试题第2页（共6页）(共38张PPT)
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。时量120分钟。满
分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.若复数为纯虚数，则 ( )
C
A.1 B. C. D.
【解析】由为纯虚数，则解得 .
2.已知集合，则 ( )
B
A. B.
C. D.
【解析】由得，则 .
3.双曲线 的渐近线方程为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由双曲线，则，，焦点在 轴上，
所以双曲线的渐近线方程为 .
4.已知为等比数列的前项和，若，则 ( )
A
A.3 B.5 C. D.
【解析】由等比数列公式可得： ，所以
．
5.当时，曲线与 的交点个数为( )
D
A.0 B.2 C.4 D.6
【解析】因为函数的最小正周期为 ，函数 的最小正周
期为 ，
所以在上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点．
6.已知且，则二项式 的展开式中，常数项为
( )
C
A. B. C.6 D.24
【解析】因为，所以 ，
所以 ．
所以二项式的展开式中，常数项为 .
7.定义新运算：，设，命题 ，
，则( )
D
A.，，且为假 B.，，且 为假
C.，，且为真 D.，，且 为真
【解析】因为，且 ，
则， ，
可得，即命题， 为假命题，
所以，，且 为真命题.
8.已知与是平面内两个非零向量，，， ，点 是
平分线上的动点.当取最小值时， 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设点在原点,向量，因为且沿 轴，则向量
，且 ，角平分线的方向向量是 和 的单位向量
的和，又， ，
所以角平分线方向向量为， ，
所以方向的单位向量为 ，
设，则 ，
.
，
，
，
这是一个关于的二次函数，当时， 最小，此时
.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分）
9.以下说法正确的是( )
BCD
A.若，两组数据的样本相关系数分别为，，则组数据比 组数
据的相关性较强
B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C.决定系数 越大，模型的拟合效果越好
D.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是
【解析】若，两组数据的样本相关系数分别为，，且 ，
则组数据比 组数据的相关性较弱，故A错误；
在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故
B正确；
决定系数 越大，模型的拟合效果越好，故C正确；
有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是
，故D正确.
10.已知，，则使得“ ”成立的一个充分条件可以是( )
AD
A. B.
C. D.
【解析】对于A，因为，，所以由得，故 ，故A正确；
对于B，取，，此时满足，，，但 ，故B错误；
对于C，由可得，即 ，
当，时，， ，而
，故C错误；
对于D，由可知，因为，，所以 ，故D正确.
11.如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线， 分别
切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆 的一条直径
（与 不重合），则下列说法正确的是( )
ACD
A.球的表面积为
B.圆锥的侧面积为
C.四面体的体积的取值范围是，
D.若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 的最大值为
【解析】连接，正内切圆即为球的截面大圆，球心 在
线段 上，
又正的边长为2，所以， ，
则球的半径，所以球 的表面积
，故A正确；
圆锥的侧面积 ，故B错误；
由题意可得四面体被平面 截成体积相等的两部分，
设到平面的距离为 ，
即 ，故C正确；
依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为 ，
由，是边，的中点，可得， ，
，
则有，即，因此 ，
由均值不等式，得，即 ，
当且仅当时取“ ”，故D正确.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出
现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有_____种．
150
【解析】根据题意可知，值班的人数为2人或者3人，若人数为2，则需要一个人值班首
尾两天，一个人值中间的那一天，故方法数为 ；若人数为3，则每人值一天班，
故方法数为，故总的方法有 种.
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于， 两点，且
， ，则椭圆的离心率为___．
【解析】由，可得，设，则 ，
， ，
由，则，即 ，
解得 ，
所以， ，
，即 ，
解得 ，
所以椭圆的离心率 .
14.已知函数，若存在两个零点，则实数 的取值范围
为________．
【解析】令，得，设 ，
显然在上单调递增，而，则 ，
依题意，方程 有两个不等的实根，
显然，故存在两个不同的零点，设，则 ，
当时，则，，此时在上单调递增， 最多一个
零点，不合题意；
当时，此时，当时，，当时， ，
在上单调递增，在上单调递减，所以 ，
要使有两个零点，则，解得 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知中， ．
（1）求 的值；
【解析】由，得 .
由，得，故 ，
所以， .…………5分
（2）设为的中点，且，，求 的周长．
【解析】由（1）知 ,
， ,…………9分
在 中，由余弦定理，得
,
，
的周长为 .…………13分
16.（本小题满分15分）
已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，， ，
．
【解析】设的公差为，的公比为，则， ．
由,得 .①…………2分
（1）若，求 ；
由,得 ,②…………4分
联立,解得（舍去）， …………6分
因此 ．…………7分
（2）若，且数列为递增数列，求数列的前项和 ．
【解析】由，,得 ,
解得，或 ．…………10分
由于数列为递增数列，所以 ，
当时，由①得 （舍）；
当时，由①得 ，…………12分
则 ．…………15分
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，侧面 平面 ，
是边长为2的等边三角形，底面 为直角梯形，其
中，， ．
（1）求证： .
【解析】由于平面 平面，且交于 ，
且 平面 ，
平面 ，
平面， .…………4分
（2）求线段中点到平面 的距离.
【解析】取的中点，连接，，由为等边三角形，得 ，
而平面 平面，平面 平面， 平面 ，
则 平面，由，，得四边形 是平行四边形，
于是，而，则，直线，， 两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，， 轴建
立空间直角坐标系，如图，
则，，， ，
， ，
,， ，
设平面的法向量为 ，则
取，得（， ，1），
所以到平面的距离 .…………9分
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】令， ，
设平面的法向量为 ，则
取，得 ，
， ，
易知平面的一个法向量为 ，
于是， ，
化简得，又，解得，即 ，
所以线段上存在点，使得平面与平面 夹角的
余弦值为，此时 ．…………15分
18.（本小题满分17分）
从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”， 大
模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对 的使用情
况，随机调查了200人，得到如下数据（单位：人）
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100
本科以下 55 45 100
合计 120 80 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为 的使用情况与学历有关？
附：，其中 ．
【解析】零假设为 的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
， …………3分
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此可以认为成立，即认为 的使用情况与学历无关.…………5分
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（2）某校组织“ 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道
题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两
人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得
分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答
题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为， ．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
【解析】（ⅰ）当甲、乙同时回答第道题时，甲得分为 ，
，
，
.
比赛结束甲获胜时的得分 可能的取值为10，20，30，
则 ,
,
,
所以比赛结束后甲获胜的概率
.…………11分
（ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”， “比赛结束时乙恰好答对一道题”，
其中甲三道题都做对，乙对一道错两道的概率为： ,
其中一题两人均对，一题两人均错，一题甲对乙错的概率为：
,
其中一题甲错乙对，另两题甲均对，乙错的概率为： ,
，由（1）知 ，
则 ,
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为 ．…………17分
19.（本小题满分17分）
已知函数， ．
（1）若，求曲线在 处的切线方程；
【解析】当时，，则 ，
因为， ，
所以曲线在 处的切线方程为，即 ．…………3分
（2）若，求在 内的极值；
【解析】当时，，有 ，
由可得，即 ，
当时，，，即 ，
当时，，单调递增；当时，， 单调递减,
有极大值 ，无最小值.…………9分
（3）设，若有2个零点，，且 ，求证：
．
【解析】，则 ．
若，则， 单调递增，不可能有两个零点．
若，令，得 ，
当时，，单调递减，当时，，
单调递增，
所以为 的极小值点，
要使有2个零点，则需，即 ．
因为的2个零点为，，，所以 .
要证，只需证 ，
因为，在上单调递增，所以只需证 ，
因为，所以只需证 ，即只需证
， ，
令， ，则
，
设，则，则在 上单调递减，
又因为，所以当时，，所以
在 上单调递增，
又因为，所以当 时，
，即在 上单调递减，
又因为，所以 ，即
， ，
所以原命题得证．…………17分

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