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山东省聊城市甘泉高级中学2024-2025学年高二下学期第三次月考数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（ ）
A．120种 B．144种 C．48种 D．24种
4．在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．240 B． C．560 D．360
6．已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（ ）
A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341
7．下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B．设，且，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．随机变量，若，则
8．若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式的所有系数和为1 B．展开式的第4项二项式系数最大
C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240
10．甲袋中装有3个白球 2个红球和3个黑球，乙袋中装有2个白球 2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.用分别表示从甲袋中取出的球是白球 红球和黑球，用表示从乙袋中取出的2个球同色，则（ ）
A． B．
C． D．相互独立
11．已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
三、填空题
12．已知为正整数，若，则 .
13．现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 .
14．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围 .
四、解答题
15．现有4名男生和3名女生.
(1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数；
(3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？
16．在的展开式中，求:
(1)第三项的系数
(2)奇数项的二项式系数和;
(3)求系数绝对值最大的项.
17．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打平口端扎有一圈羽毛的半球状软木的室内运动，某学校为了解学生对羽毛球的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2×2列联表：
喜欢 不喜欢 总计
男生 40 60 100
女生 80 20 100
总计 120 80 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联
(2)为了增强学生学习羽毛球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加羽毛球集训，再从这6人中随机抽取3人参加羽毛球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18．火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
600 592 43837.2 93.8
(1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
19．已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)试讨论函数的单调性；
(3)当时，不等式恒成立，求整数a的最大值．
参考答案
1．B
【详解】，
令可得解得，
所以，所以，
故选:B.
2．D
【详解】，由条件知当时，，即，
令，是减函数，；
故选：D.
3．A
【详解】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种，
若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种，
所以比400000大的偶数的排列方法一共有种．
故选：A．
4．A
【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为；
若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为；
若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为．
设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件，
所以甲获得冠军的概率为，
比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为,
故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为．
故选：A
5．B
【详解】因为展开式的通项为，
当，即时，展开式中会出现，此时，
对于，通项为，要想得到，则需，
此时，即含的项的系数为，
故选：B.
6．C
【详解】根据题意在上单调递减，可得，故，，，
所以
.
故选：C.
7．B
【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，
相关系数的绝对值越接近于，
故A正确；
由，知，
即概率密度函数的图像关于直线对称，
所以，
则，
故B错误；
根据线性回归直线的性质可知，
线性回归直线一定经过样本点的中心，
故C正确；
随机变量，若，
则，
故D正确；
故选：B.
8．A
【详解】因为，
所以由，
可得，
，
即．
所以在上是减函数，
，
当时，，递增，
当时，，递减，
即的减区间是，
所以由题意的最小值是．
故选：A．
9．ABD
【详解】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确；
对于B选项：因为指数为偶数，即，
所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确；
展开式通项为，
对于C选项： 令，解得，
所以展开式中含项，故C错误；
对于D选项：令，可得，
故展开式中常数项为，故D正确.
故选：ABD.
10．AC
【详解】由题意可知：，
，故A正确；
，故B错误；
，
即，故C正确；
因为，即，
可知不相互独立，故D错误；
故选：AC.
11．BC
【详解】设，
由是定义在上的奇函数知，则时，为偶函数，
且时，，
故在单调递减，
由偶函数的对称性知，在单调递增，
故，即，故，B选项正确；
当时，，故，C选项正确；
当时，，故，D选项错误；
由B，D选项知，，故，A选项错误.
故选：BC
12．2
【详解】由，，得或，解得或，
而，解得，，
所以.
故答案为：2
13．
【详解】先将甲、乙两人捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，
再减去丙排在周三的排法即可求得所求事件的不同排法.
所以不同排法的种数为，
又5位教师从周一到周五的常规值班一共有种方法，
所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率.
故答案为：
14．
【详解】因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-，
由f'（x）=0，得x=1/2．
当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0
据题意，k-1＜1/2＜k+1，又k-1≥0，
解得1≤k＜3/2.
15．(1)1440
(2)25
(3)1200
【详解】（1）由题意可知；运用插空法，可得共有排法数为种.
（2）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，
男生甲和女生乙同时参加的方法有
共有邀请方法数为种.
（3）有两类不同情形：
①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种；
②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人，
其方法数为种.
所以共有种不同的安排方法.
16．(1)240
(2)32
(3)
【详解】（1）二项式的通项公式为，
所以第3项的系数为.
（2）奇数项的二项式系数和为.
（3）设出系数绝对值最大的项为第项,
则，
又，所以，
所以系数绝对值最大的项为.
17．(1)有关联
(2)分布列见解析，2
【详解】（1）零假设为：“是否喜欢羽毛球”与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联.
（2）依题意，抽取的6人中，男生人数为：人，女生人数为人
X的所有可能取值为1，2，3，
所以，，，
X的分布列为：
1 2 3
所以.
18．(1)，20次；
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）由题设，，则，
所以，所以；
当时，代入，得到，
所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次.
（2）由题意，服从超几何分布，可取0，1，2，
，，，
0 1 2
所以.
19．(1)
(2)答案见详解
(3)4
【详解】（1）当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得，
可知的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以函数的最小值为.
（2）由题意可知的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间.
当时，令解得，
令，解得；令，解得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）当时，不等式恒成立，
即，整理可得，
原题意等价于对任意恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，
即，所以，
当时，，即；
当时，，即；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以，
因为，则，即，
且为整数，则，所以整数的最大值是4.

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