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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高二下学期期末热身考试数学试卷（一）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，且，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（ ）
A． B．2 C．或2 D．3
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．若数列满足：，已知，则（ ）
A．14 B．15 C．17 D．18
10．对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（ ）
A． B．若p为质数，则数列为等比数列
C．数列的前5项和等于 D．，使得
11．已知函数，则（ ）
A．在处的切线方程为 B．在区间上是减函数
C．的最大值是 D．的解集为
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知满足方程：满足方程：，则 ．
13．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ；若不等式（）恒成立，则的最小值为 ．
14．已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于
四、解答题（共6小题，共70分）
15．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围．
16．设数列的前n项和为.若，则称是“紧密数列”.
(1)若，判断是否为“紧密数列”，并说明理由；
(2)设数列是公比为q的等比数列，若数列与都是“紧密数列”，求实数q的取值范围.
17．已知数列中，；数列为等差数列，且满足：.
(1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式；
(2)令，若数列为严格增数列，求实数的取值范围.
18．已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与平行，求实数的值；
(2)当时，记函数，求的零点个数及所有零点之和的值．
19．已知函数.
(1)判断的单调性，并求出单调区间；
(2)当时，若恒成立.试求出的取值范围；
(3)若，，且，证明：.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B B A A B ABD ABD
题号 11
答案 ABD
12．3 13． 3 14．
15．(1)(2)(3)
16．(1)是“紧密数列”，（1）由，可得，
两式相减可得，
当时，，满足，故.，
易得，又当时，取得最大值，
所以，所以是“紧密数列”.
(2)
17．（1）数列中当时，由得：
，又，故，
故，故为等比数列，公比为2，首项，
得到，所以数列的通项公式为.
（2）数列中，，
则解得，
所以的通项公式为，
.
已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立，
即
化简得对任意正整数都成立，
所以.
18．(1)
(2)2个零点，所有零点之和为1
19．(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
(2)
（3）时，，，
由，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
又，所以，
因，
故
，
由，及在上单调递增，可知，，
则
，
，，，
所以.

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