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2025届四川省乐山第一中学校高三二模测试数学试题
1．（2025·市中区模拟）已知双曲线的焦距为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知，，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的标准方程和已知条件，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出实数m的值．
2．（2025·市中区模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以.
故答案为：C.
【分析】
利用一元一次不等式求解方法和函数求定义域的方法，从而得出集合A和集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
3．（2025·市中区模拟）函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数，
若函数在区间上是减函数，则在恒成立，
即在恒成立，
由对勾函数性质可知在单调递减，
故，所以.
故答案为：C.
【分析】先求出导函数，利用求导的方法判断函数的单调性，则在恒成立，再由对勾函数的单调性，从而得出对勾函数的值域，由不等式恒成立问题求解方法，则得出实数a的取值范围．
4．（2025·市中区模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出角的正切值，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
5．（2025·市中区模拟）等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．30 B．50 C．20 D．40
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
所以，
则，
得，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式，从而得出等差数列的首项和公差的值，再根据等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而得出的值.
6．（2025·市中区模拟）已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、所以，下两部分，则上、下两部分的体积比为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和圆锥的体积公式、圆台的体积公式，从而分别求出圆锥被截的上面小圆锥和下面剩下的圆台部分的体积，进而计算出上、下两部分的体积比.
7．（2025·市中区模拟）已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设，显然，
则，
所以双曲线的离心率，
因为，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】先设出，再根据题意得出，再利用余弦定理表示出，则根据双曲线的离心率公式得出，再结合和余弦型函数求值域的方法，从而求出双曲线C的离心率的取值范围.
8．（2025·市中区模拟）已知函数，设，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可知：则
是的对称轴，
设，，且，
则，
显然是增函数，又因为，
，，
，
则当时，是增函数，，
根据复合函数单调性规则：同增异减，
所以在时是增函数，
根据函数的图象的对称性，当时，是减函数，
下面分析自变量时与的距离，显然距离越大，对应的函数值越大，
则，
设 ，
则 ，
是增函数，
又因为，
所以当时，，
则，
，
，
设，
则，
当时，是减函数，
又因为，所以，当时，，
则，
，
又因为，
，
.
故答案为：C.
【分析】先根据函数图象的对称性和复合函数的单调性，从而判断出函数的单调性和对称性，设 ，再根据导数判断函数单调性的方法，则由函数的单调性和与对称轴的距离，从而比较出a，b，c的大小.
9．（2025·市中区模拟）下列说法正确的是（　　）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3， 4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
【答案】A,B,D
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的基本思想；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，因为该校高一年级女生人数是，故A正确；
对于B，由，得第75百分位数为，故B正确；
对于C，在线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对于D，由，
可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用分层抽样判断出选项A；利用百分位数求解方法，从而求出数据的第75百分位数，则判断出选项B；利用线性相关系数的意义判断出选项C；利用独立性检验的思想判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025·市中区模拟）已知等差数列的前项和为，且，则（　　）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：A、设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
由二次函数的性质可知：当时，取得最小值，故C正确；
D、由A选项可得：，
则
即数列为等差数列，公差为4，首项为，
则的前项和为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次函数性质求解即可.
11．（2025·市中区模拟）如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（　　）．
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
【答案】A,B,D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；与直线有关的动点轨迹方程；平面与平面垂直的性质；平面向量垂直的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，由等体积法，
三棱锥的高为，
底面积，
所以，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，
若，
则，
则，
取，此时点与点重合，满足题意，
所以存在点，使得，故B正确；
对于C，因为，
若，
，
则，
所以点的轨迹就是线段，
则轨迹长为，故C错误；
对于D，如图，取中点，连接，
由题意，可得，平面，
连接，因为，平面，
则，，
因为，平面，
所以平面，
取中点为，则，
所以四点共面，
则平面即为平面，
由两平面平行性质可知，，，，
又因为都是中点，
所以是中点，是中点，
则平面截正方体的截面为正六边形，
又因为正方体棱长为，则，
所以，截面面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据等体积法计算出三棱锥的体积，则可判断选项A；建立空间直角坐标系，得出对应点的坐标和向量的坐标，设，根据两向量垂直数量积为的等价关系和数量积的坐标表示，则判断出选项B和选项C；利用线面垂直的判定定理得出直线平面，再证明四点共面，从而得出平面，再由面面平行的性质定理可得平面截正方体的截面为正六边形，再根据正六边形的性质和三角形的面积公式，从而求和得出平面截正方体的截面面积，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2025·市中区模拟）已知向量，，则在方向上的投影向量等于　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，可得向量，，
则，
则在方向上的投影向量为。
故答案为：.
【分析】利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出的值，再根据数量积求投影向量的公式，从而得出在方向上的投影向量.
13．（2025·市中区模拟）已知 的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于　 　.
【答案】80
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 展开式二项式系数和为 ， ，解得： ，
展开式通项公式为： .
令 ，解得： ， 展开式中常数为 .
故答案为： .
【分析】根据二项式系数和可求得 ，根据二项展开式通项公式可求得 的值，代入可求得结果.
14．（2025·市中区模拟）抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为　 　.
【答案】9
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点，
设直线方程为，
联立抛物线，得，
设，，
则，
所以，，
则，，，
故过的切线方程为，
同理可得过点的切线方程为，
联立与，
得，
则
，
故，，
则，
故，其中，
由在上单调递增，
故当时，即当时，取得最小值，
则最小值为.
故答案为：9.
【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，结合抛物线定义求出，再结合导数的几何意义得到抛物线在点A、B处的切线方程求出交点的坐标，从而得到，进而表达出，再结合对勾函数单调性得到的最小值.
15．（2025·市中区模拟）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）解：由函数图象可知，，
则，
因为，所以，
由，
得，
则，
因为，所以，
所以．
（2）解：由，
得，
所以的单调递减区间为．
（3）解：因为不等式在上恒成立，
所以，
又因为，
所以，
当时，，
则，
所以m的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据函数图象的最高点的纵坐标确定A的值，再利用特殊点的坐标得出的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调性，则得出函数的单调递减区间.
（3）根据x的取值范围结合正弦型函数求最值的方法得出函数在的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）由函数图象可知，，
则，因为，所以．
由，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）由，得，
所以的单调递减区间为．
（3）因为不等式在上恒成立，所以，
因为，所以，
当时，，
则，即m的取值范围为．
16．（2025·市中区模拟）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否存在实数，使得为定值．若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意可知，，且，
又因为，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，
设直线，
与椭圆的方程联立，，
消去，整理得，
设，，
则，，
因为，
所以，，
则
将，代入上式，
整理得，
若对任意，为定值，
则或，
因为，所以，此时．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆右顶点坐标、椭圆两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形，从而得出和，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）设直线，联立直线PQ方程和椭圆方程，再由韦达定理和数量积的坐标表示，则对任意，为定值和t的取值范围，从而得出使得为定值时的实数t的值.
17．（2025·市中区模拟）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形.
（1）证明：平面.
（2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：记为的中点，连接，
因为为等边三角形，
所以，
又因为，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为等边三角形，，
所以到底边的距离为；
因为为等边三角形，，
所以点到底边的距离为，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，所以，
因为，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质定理，从而证出直线平面.
（2）依题意，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别得出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）记为的中点，连接.
因为为等边三角形，所以，
因为，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
又平面，
所以平面.
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，
因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，故，
设平面的法向量为，则即，
令，则，故，
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（2025·市中区模拟）已知函数（）．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
（3）若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）解：当时，，
则，
得，
因为，
所以在处的切线为.
（2）解：因为对恒成立，
又因为，
设，
则，
当时，即当时，
在上单调递增，且，
所以，则，此时在上单调递增，且
所以对恒成立；
当时，即当时，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
又因为，
所以，在上恒有，则，
所以函数在上单调递减，且，
则在上，有，不符合题意，
综上所述，，
则实数a的取值范围为.
（3）证明：由，
得，
又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
则，
所以，
当时，恒成立；
当时，先证，
即证，
设，则，
即证（），
令，
则，
所以在上单调递减，
则，
所以，
则.
所以，当时，
，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，从而求导可得，再利用导数的几何意义得出切线斜率，再根据代入法得出切点坐标，最后由直线的点斜式方程得出函数的图象在处的切线方程.
（2）利用导数分类讨论当、情况下的函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（3）利用取倒数法得出，再利用导数证出，再结合数学归纳法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）当时，，
则，得，又，
所以在处的切线为；
（2）对恒成立，
，
设，则，
当即时，在上单调递增，
且，所以，即，
此时在上单调递增，且，
所以对恒成立.
当即时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
所以在上恒有，即，
函数在上单调递减，且，
则在上有，不符合题意.
综上，，即实数a的取值范围为
（3）由，得，又，
所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
故，所以.
当时，恒成立；
当时，先证：，即证，
设，则，即证（），
令，则，
所以在上单调递减，故，
即，即.
所以当时，
.
综上，.
19．（2025·市中区模拟）已知函数，．
（1）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：．
【答案】（1）解：因为，
所以，
对任意的，恒成立，
则对任意的恒成立，
当时，则对任意的恒成立；
当时，，
则，
令，其中，
则
且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，则，
所以，
综上所述，．
（2）证明：由，可得，
令，
则．
因为，
则，
所以，，
所以，函数在上单调递减，
因为又因为，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，
则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
所以，
则．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知条件可得对任意的恒成立，再验证对任意的恒成立，当时，利用参变分离法可得，再利用倒数求出函数在上的最大值，则由不等式恒成立问题求解方法得出实数t的取值范围.
（2）令，利用导数的正负判断函数在上的单调性，再利用零点存在性定理可知，从而得出，进而证出，再结合函数的单调性，从而证出不等式成立.
（1），对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，则有对任意的恒成立；
当时，，则，令，其中，
，
且不恒为零，
故函数在上单调递增，则，故．
综上所述，．
（2）由可得，
令，则．
因为，则，
所以，，所以，函数在上单调递减．
因为，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
故，即．
1 / 12025届四川省乐山第一中学校高三二模测试数学试题
1．（2025·市中区模拟）已知双曲线的焦距为，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·市中区模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·市中区模拟）函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·市中区模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．0
5．（2025·市中区模拟）等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．30 B．50 C．20 D．40
6．（2025·市中区模拟）已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·市中区模拟）已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·市中区模拟）已知函数，设，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·市中区模拟）下列说法正确的是（　　）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3， 4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
10．（2025·市中区模拟）已知等差数列的前项和为，且，则（　　）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
11．（2025·市中区模拟）如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（　　）．
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
12．（2025·市中区模拟）已知向量，，则在方向上的投影向量等于　 　.
13．（2025·市中区模拟）已知 的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于　 　.
14．（2025·市中区模拟）抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为　 　.
15．（2025·市中区模拟）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.
16．（2025·市中区模拟）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否存在实数，使得为定值．若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
17．（2025·市中区模拟）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形.
（1）证明：平面.
（2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2025·市中区模拟）已知函数（）．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
（3）若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．
19．（2025·市中区模拟）已知函数，．
（1）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知，，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的标准方程和已知条件，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出实数m的值．
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以.
故答案为：C.
【分析】
利用一元一次不等式求解方法和函数求定义域的方法，从而得出集合A和集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数，
若函数在区间上是减函数，则在恒成立，
即在恒成立，
由对勾函数性质可知在单调递减，
故，所以.
故答案为：C.
【分析】先求出导函数，利用求导的方法判断函数的单调性，则在恒成立，再由对勾函数的单调性，从而得出对勾函数的值域，由不等式恒成立问题求解方法，则得出实数a的取值范围．
4．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出角的正切值，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
5．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
所以，
则，
得，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式，从而得出等差数列的首项和公差的值，再根据等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而得出的值.
6．【答案】A
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、所以，下两部分，则上、下两部分的体积比为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和圆锥的体积公式、圆台的体积公式，从而分别求出圆锥被截的上面小圆锥和下面剩下的圆台部分的体积，进而计算出上、下两部分的体积比.
7．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设，显然，
则，
所以双曲线的离心率，
因为，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】先设出，再根据题意得出，再利用余弦定理表示出，则根据双曲线的离心率公式得出，再结合和余弦型函数求值域的方法，从而求出双曲线C的离心率的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可知：则
是的对称轴，
设，，且，
则，
显然是增函数，又因为，
，，
，
则当时，是增函数，，
根据复合函数单调性规则：同增异减，
所以在时是增函数，
根据函数的图象的对称性，当时，是减函数，
下面分析自变量时与的距离，显然距离越大，对应的函数值越大，
则，
设 ，
则 ，
是增函数，
又因为，
所以当时，，
则，
，
，
设，
则，
当时，是减函数，
又因为，所以，当时，，
则，
，
又因为，
，
.
故答案为：C.
【分析】先根据函数图象的对称性和复合函数的单调性，从而判断出函数的单调性和对称性，设 ，再根据导数判断函数单调性的方法，则由函数的单调性和与对称轴的距离，从而比较出a，b，c的大小.
9．【答案】A,B,D
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的基本思想；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，因为该校高一年级女生人数是，故A正确；
对于B，由，得第75百分位数为，故B正确；
对于C，在线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对于D，由，
可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用分层抽样判断出选项A；利用百分位数求解方法，从而求出数据的第75百分位数，则判断出选项B；利用线性相关系数的意义判断出选项C；利用独立性检验的思想判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：A、设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
由二次函数的性质可知：当时，取得最小值，故C正确；
D、由A选项可得：，
则
即数列为等差数列，公差为4，首项为，
则的前项和为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次函数性质求解即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；与直线有关的动点轨迹方程；平面与平面垂直的性质；平面向量垂直的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，由等体积法，
三棱锥的高为，
底面积，
所以，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，
若，
则，
则，
取，此时点与点重合，满足题意，
所以存在点，使得，故B正确；
对于C，因为，
若，
，
则，
所以点的轨迹就是线段，
则轨迹长为，故C错误；
对于D，如图，取中点，连接，
由题意，可得，平面，
连接，因为，平面，
则，，
因为，平面，
所以平面，
取中点为，则，
所以四点共面，
则平面即为平面，
由两平面平行性质可知，，，，
又因为都是中点，
所以是中点，是中点，
则平面截正方体的截面为正六边形，
又因为正方体棱长为，则，
所以，截面面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据等体积法计算出三棱锥的体积，则可判断选项A；建立空间直角坐标系，得出对应点的坐标和向量的坐标，设，根据两向量垂直数量积为的等价关系和数量积的坐标表示，则判断出选项B和选项C；利用线面垂直的判定定理得出直线平面，再证明四点共面，从而得出平面，再由面面平行的性质定理可得平面截正方体的截面为正六边形，再根据正六边形的性质和三角形的面积公式，从而求和得出平面截正方体的截面面积，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，可得向量，，
则，
则在方向上的投影向量为。
故答案为：.
【分析】利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出的值，再根据数量积求投影向量的公式，从而得出在方向上的投影向量.
13．【答案】80
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 展开式二项式系数和为 ， ，解得： ，
展开式通项公式为： .
令 ，解得： ， 展开式中常数为 .
故答案为： .
【分析】根据二项式系数和可求得 ，根据二项展开式通项公式可求得 的值，代入可求得结果.
14．【答案】9
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点，
设直线方程为，
联立抛物线，得，
设，，
则，
所以，，
则，，，
故过的切线方程为，
同理可得过点的切线方程为，
联立与，
得，
则
，
故，，
则，
故，其中，
由在上单调递增，
故当时，即当时，取得最小值，
则最小值为.
故答案为：9.
【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，结合抛物线定义求出，再结合导数的几何意义得到抛物线在点A、B处的切线方程求出交点的坐标，从而得到，进而表达出，再结合对勾函数单调性得到的最小值.
15．【答案】（1）解：由函数图象可知，，
则，
因为，所以，
由，
得，
则，
因为，所以，
所以．
（2）解：由，
得，
所以的单调递减区间为．
（3）解：因为不等式在上恒成立，
所以，
又因为，
所以，
当时，，
则，
所以m的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据函数图象的最高点的纵坐标确定A的值，再利用特殊点的坐标得出的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调性，则得出函数的单调递减区间.
（3）根据x的取值范围结合正弦型函数求最值的方法得出函数在的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）由函数图象可知，，
则，因为，所以．
由，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）由，得，
所以的单调递减区间为．
（3）因为不等式在上恒成立，所以，
因为，所以，
当时，，
则，即m的取值范围为．
16．【答案】解：（1）由题意可知，，且，
又因为，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，
设直线，
与椭圆的方程联立，，
消去，整理得，
设，，
则，，
因为，
所以，，
则
将，代入上式，
整理得，
若对任意，为定值，
则或，
因为，所以，此时．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆右顶点坐标、椭圆两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形，从而得出和，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）设直线，联立直线PQ方程和椭圆方程，再由韦达定理和数量积的坐标表示，则对任意，为定值和t的取值范围，从而得出使得为定值时的实数t的值.
17．【答案】（1）证明：记为的中点，连接，
因为为等边三角形，
所以，
又因为，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为等边三角形，，
所以到底边的距离为；
因为为等边三角形，，
所以点到底边的距离为，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，所以，
因为，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质定理，从而证出直线平面.
（2）依题意，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别得出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）记为的中点，连接.
因为为等边三角形，所以，
因为，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
又平面，
所以平面.
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，
因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，故，
设平面的法向量为，则即，
令，则，故，
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：当时，，
则，
得，
因为，
所以在处的切线为.
（2）解：因为对恒成立，
又因为，
设，
则，
当时，即当时，
在上单调递增，且，
所以，则，此时在上单调递增，且
所以对恒成立；
当时，即当时，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
又因为，
所以，在上恒有，则，
所以函数在上单调递减，且，
则在上，有，不符合题意，
综上所述，，
则实数a的取值范围为.
（3）证明：由，
得，
又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
则，
所以，
当时，恒成立；
当时，先证，
即证，
设，则，
即证（），
令，
则，
所以在上单调递减，
则，
所以，
则.
所以，当时，
，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，从而求导可得，再利用导数的几何意义得出切线斜率，再根据代入法得出切点坐标，最后由直线的点斜式方程得出函数的图象在处的切线方程.
（2）利用导数分类讨论当、情况下的函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（3）利用取倒数法得出，再利用导数证出，再结合数学归纳法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）当时，，
则，得，又，
所以在处的切线为；
（2）对恒成立，
，
设，则，
当即时，在上单调递增，
且，所以，即，
此时在上单调递增，且，
所以对恒成立.
当即时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
所以在上恒有，即，
函数在上单调递减，且，
则在上有，不符合题意.
综上，，即实数a的取值范围为
（3）由，得，又，
所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
故，所以.
当时，恒成立；
当时，先证：，即证，
设，则，即证（），
令，则，
所以在上单调递减，故，
即，即.
所以当时，
.
综上，.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
对任意的，恒成立，
则对任意的恒成立，
当时，则对任意的恒成立；
当时，，
则，
令，其中，
则
且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，则，
所以，
综上所述，．
（2）证明：由，可得，
令，
则．
因为，
则，
所以，，
所以，函数在上单调递减，
因为又因为，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，
则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
所以，
则．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知条件可得对任意的恒成立，再验证对任意的恒成立，当时，利用参变分离法可得，再利用倒数求出函数在上的最大值，则由不等式恒成立问题求解方法得出实数t的取值范围.
（2）令，利用导数的正负判断函数在上的单调性，再利用零点存在性定理可知，从而得出，进而证出，再结合函数的单调性，从而证出不等式成立.
（1），对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，则有对任意的恒成立；
当时，，则，令，其中，
，
且不恒为零，
故函数在上单调递增，则，故．
综上所述，．
（2）由可得，
令，则．
因为，则，
所以，，所以，函数在上单调递减．
因为，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
故，即．
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