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甘肃省靖远县2025届高三第三次高考模拟测试数学试题
1．（2025·靖远模拟）已知复数满足，则（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：D.
【分析】由复数的除法运算法则得出复数z，再根据复数的模长公式，从而得出复数z的模.
2．（2025·靖远模拟）已知向量，且，则（　　）
A．8 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且，
所以，
解得．
故答案为：A.
【分析】利用共线向量的坐标表示，从而得出x的值.
3．（2025·靖远模拟）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由在区间上单调递减，
则需要在区间上单调递增，
所以，函数的对称轴为，
则，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据复合函数的单调性结合二次函数的单调性和对称性，从而得出实数a的取值范围.
4．（2025·靖远模拟）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：，
又的图象关于点对称
，即，
，即，
，
的最小值为4．
故答案为：B.
【分析】利用正弦型函数的图象变换得出函数解析式，再由确定满足的条件，从而得到的最小值.
5．（2025·靖远模拟）正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（　　）（参考数据：）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
则
又因为，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据调和数列的求和公式，再利用对数的运算性质，从而代值估算得出的值.
6．（2025·靖远模拟）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意知在上有变号零点，
显然在上单调递增，
故原条件等价于
解得，
所以，实数的取值范围是．
故答案为：C.
【分析】先求导，再利用导数有变号零点得出在上单调递增，则原条件等价于，从而得出实数a的取值范围.
7．（2025·靖远模拟）已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为圆，
所以，且圆与轴相切于点，
则，
所以，
设动点，满足，
则，
则，
则，
所以点的轨迹是圆，且，
所以两点均在圆上，且两点均在圆上，
则直线的方程为两个圆的公共弦方程，
则两个圆的方程相减得：，
即.
故答案为：C.
【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，再将直线的方程转化为两个圆的公共弦方程，再将两圆方程相减得出直线的方程.
8．（2025·靖远模拟）已知圆台的上 下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：依题意，记圆台的上 下底面半径分别为，
设圆台的母线为，
则侧面积为，
所以，
则圆台的高，
依题意画出轴截面，
记外接球球心到上底面的距离为，
则，
解得，
则两个体积之比为.
故答案为：D.
【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得出圆台的高，再根据勾股定理得出的值，再利用圆锥的体积公式得出以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比.
9．（2025·靖远模拟）的展开式中（　　）
A．前三项系数之和为112 B．二项式系数最大的项是第3项
C．常数项为240 D．所有项的系数之和为1
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项为：，.
对于A，由展开式的通项可得，前三项系数之和为：，故A正确；
对于B，因为二项展开式有7项，
所以二项式系数最大的项是最中间项，即第4项，故B错误；
对于C，在展开式通项中，
则，
解得，
所以，常数项为，故C正确；
对于D，在中，
令，则得所有项的系数之和为1，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用二项式定理求出二项展开式的通项，再利用二项式系数的性质、常数项定义，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2025·靖远模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是是椭圆上的一个动点（不与重合），则（　　）
A．的离心率
B．的周长与点的位置无关
C．的取值范围为
D．直线与直线的斜率之积为
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为椭圆，
所以，
则椭圆C的离心率，故A正确；
对于B，因为是椭圆上的动点（不与重合），
所以的周长，
故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，设，
则，
因为，
所以，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据椭圆方程和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得到的值，再结合椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率，则判断出选项A；根据椭圆的定义判断出选项B；根据椭圆的性质判断出选项C；设，再利用两点求斜率公式表示出直线的斜率与直线的斜率，从而得出直线与直线的斜率之积，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025·靖远模拟）已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C．为偶函数 D．的图象关于点中心对称
【答案】B,C
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，令
则，
所以或，
令，则，
若，则，与的值域为矛盾，
所以，故A错误；
对于B，令
则，
故或，
令，则，
若，
则，与的值域为矛盾，故，
令
则，
故或，
因为的值域为，
所以，
则，故B正确；
对于C，令
则，
所以， 故C正确；
对于D，因为的值域为，
所以的图象不可能关于点中心对称，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件和抽象函数的赋值法，则可判断选项A、选项B和选项C；利用函数的值域和函数的对称性，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2025·靖远模拟）已知集合，集合，若集合满足 ，则这样的集合共有　 　个.
【答案】7
【知识点】有限集合的子集个数
【解析】【解答】解：由 ，
则集合中一定有元素，且至少含有其中一个元素，
则这样的集合共有个.
故答案为：7.
【分析】利用已知条件结合子集和真子集的定义，从而得出满足题意的集合共有的个数.
13．（2025·靖远模拟）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为　 　，数学期望　 　．
【答案】0，1；；.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】解：易知随机变量的取值可能为0，1，且服从超几何分布，
则，，
故．
故答案为：0，1；.
【分析】由题意可得：随机变量服从超几何分布，利用超几何求出相应概率，再求期望即可.
14．（2025·靖远模拟）在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，当且仅当时，等号成立，
由，
得
所以，
由，
所以
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式求最值的方法，从而可得最小值，再利用余弦定理得，由得，再利用辅助角公式和正弦型函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
15．（2025·靖远模拟）近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号 1 2 3 4 5
新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8
（1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.
（2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据：.参考公式：.
【答案】（1）解：由题意可得：
则
，
因为，
所以，可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）解：由题意可得：，，
则，
当时，，
所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据题意求出相关系数r，再结合相关系数的性质分析出可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）根据题意结合最小二乘法得出回归方程为，令，再代入估计出该城市2026年的新增新能源汽车的数量.
（1）由题意可得：，
则
，
因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题意可得：，，
则，当时，，
所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
16．（2025·靖远模拟）如图所示，在四棱锥中，平面为边上一点，且．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，
则
则
令，得，则
因为，
可得，
又因为平面，
所以平面
（2）解：易知，
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：易知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示和平面，从而证出平面.
（2）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（3）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，
则即令，得，则
又，可得，因为平面，所以平面
（2）易知，设平面的法向量为，
则即令，则，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
（3）易知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
17．（2025·靖远模拟）已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
【答案】（1）解：因为，
令，
则，
令，得；令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
则，
即的取值范围是．
（2）证明：因为，
则．
令，
则，
令，
则恒成立，
所以在上单调递减．
又因为，
所以，
则在上恒成立，
所以在上单调递减．
又因为，
所以，
则当时，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由得，令，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再利用不等式恒成立求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）利用已知条件，将问题转化为，令，利用导数法证出在上恒成立，从而证出当时，．
（1），
令，
则，令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，即的取值范围是．
（2），
即．
令，
则，
令，则恒成立，
故在上单调递减．
又，故，
故在上恒成立，
故在上单调递减．
又，
故，结论得证．
18．（2025·靖远模拟）已知双曲线的实轴长为2，且过点为其右焦点．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）直线经过点，倾斜角为，与交于两点（点在两点之间），若，求的值．
（3）已知点，过点作直线与交于两点，记直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，可知，
则此双曲线方程为，
把点代入方程，得，
所以，
则双曲线的标准方程为．
（2）解：因为直线经过点，倾斜角为，
所以直线的方程为，
由
解得或
故得点和点，
则，
由，
得，
解得．
（3）解：如图，
由题意得直线的斜率存在且不可能与轴重合，
设直线的方程为，
由
得到
因为．
由韦达定理得
则
，
所以为定值，且该定值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到的值，再通过点在双曲线上和代入法，从而得出b的值，进而得出双曲线的标准方程.
（2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D的坐标，再利用向量的坐标运算求出的值.
（3）设直线方程，与双曲线方程联立，再利用韦达定理，从而代入两点求斜率公式，从而化简求解得出为定值，且该定值为．
（1）由题意可知，则此双曲线方程为，
把点代入方程，得
所以得，即双曲线的标准方程为．
（2）因为直线经过点，倾斜角为，
所以直线的方程为，由
解得或故得点和点，
则，
由得，解得．
（3）如图，由题意得直线的斜率存在且不可能与轴重合，
设直线的方程为，
由得到
而．
由韦达定理得
则
，
故为定值，且该定值为．
19．（2025·靖远模拟）若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和.
（1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到.
（2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值.
（3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有.
【答案】（1）解：因为数列为“2阶归化数列”，
则，
则或，
又因为且欲使尽可能的大，
则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，此时，
所以，且等号在时取到.
（2）解：因为数列为“16阶归化数列”，
则，
则或，
若满足，
则数列为递增数列，
若，
则，
则，
则数列为周期数列，
所以，奇数项为，偶数项为.
①若对任意恒成立，
则
此时；
②存在为偶数且，使得，
则第项之后的项为：
其中，，
故，
存在为奇数且，使得，
则
其中，
故，
若存在使得，则将变大或变小，
综上所述，的值只可能为.
（3）解：因为正项数列为“阶归化数列”，
则，
即，
现用数学归纳法证明：对于任意的，均有.
因为，
则
假设当时有，
则当时，
有
，
故对于任意的，均有.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数学归纳法的应用
【解析】【分析】(1)欲使，则只需找寻的最大值，从而选择，再利用等差数列的定义判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，再结合放缩法证出，且等号在时取到.
(2)利用，则数列不可能仅满足，因此先解决特殊情况，即数列仅满足，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生，从而得出只可能的值.
(3)利用正项数列为“阶归化数列”的定义和数学归纳法，从而证出对于任意的，均有.
（1）因数列为“2阶归化数列”，则，
则或，
因且欲使尽可能的大，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，此时，
故，且等号在时取到.
（2）因数列为“16阶归化数列”， 则，
则或，
若满足，则数列为递增数列；
若，则，则，则数列为周期数列，
即奇数项为，偶数项为.
①若对任意恒成立，则，
此时.
②存在为偶数且，使得，则第项之后的项
，
其中，，值为或，
故.
存在为奇数且，使得，则
，
其中，值为或，
故.
则若存在使得，则将变大或变小，
综上，的值只可能为.
（3）因正项数列为“阶归化数列”，则，即，
现用数学归纳法证明：对于任意的，均有.
因，则
假设当时有，
则当时有，
故对于任意的，均有.
1 / 1甘肃省靖远县2025届高三第三次高考模拟测试数学试题
1．（2025·靖远模拟）已知复数满足，则（　　）
A． B． C．1 D．
2．（2025·靖远模拟）已知向量，且，则（　　）
A．8 B． C． D．2
3．（2025·靖远模拟）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·靖远模拟）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2025·靖远模拟）正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（　　）（参考数据：）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2025·靖远模拟）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·靖远模拟）已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·靖远模拟）已知圆台的上 下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·靖远模拟）的展开式中（　　）
A．前三项系数之和为112 B．二项式系数最大的项是第3项
C．常数项为240 D．所有项的系数之和为1
10．（2025·靖远模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是是椭圆上的一个动点（不与重合），则（　　）
A．的离心率
B．的周长与点的位置无关
C．的取值范围为
D．直线与直线的斜率之积为
11．（2025·靖远模拟）已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C．为偶函数 D．的图象关于点中心对称
12．（2025·靖远模拟）已知集合，集合，若集合满足 ，则这样的集合共有　 　个.
13．（2025·靖远模拟）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为　 　，数学期望　 　．
14．（2025·靖远模拟）在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为　 　.
15．（2025·靖远模拟）近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号 1 2 3 4 5
新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8
（1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.
（2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据：.参考公式：.
16．（2025·靖远模拟）如图所示，在四棱锥中，平面为边上一点，且．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2025·靖远模拟）已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
18．（2025·靖远模拟）已知双曲线的实轴长为2，且过点为其右焦点．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）直线经过点，倾斜角为，与交于两点（点在两点之间），若，求的值．
（3）已知点，过点作直线与交于两点，记直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（2025·靖远模拟）若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和.
（1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到.
（2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值.
（3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：D.
【分析】由复数的除法运算法则得出复数z，再根据复数的模长公式，从而得出复数z的模.
2．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且，
所以，
解得．
故答案为：A.
【分析】利用共线向量的坐标表示，从而得出x的值.
3．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由在区间上单调递减，
则需要在区间上单调递增，
所以，函数的对称轴为，
则，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据复合函数的单调性结合二次函数的单调性和对称性，从而得出实数a的取值范围.
4．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：，
又的图象关于点对称
，即，
，即，
，
的最小值为4．
故答案为：B.
【分析】利用正弦型函数的图象变换得出函数解析式，再由确定满足的条件，从而得到的最小值.
5．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
则
又因为，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据调和数列的求和公式，再利用对数的运算性质，从而代值估算得出的值.
6．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意知在上有变号零点，
显然在上单调递增，
故原条件等价于
解得，
所以，实数的取值范围是．
故答案为：C.
【分析】先求导，再利用导数有变号零点得出在上单调递增，则原条件等价于，从而得出实数a的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为圆，
所以，且圆与轴相切于点，
则，
所以，
设动点，满足，
则，
则，
则，
所以点的轨迹是圆，且，
所以两点均在圆上，且两点均在圆上，
则直线的方程为两个圆的公共弦方程，
则两个圆的方程相减得：，
即.
故答案为：C.
【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，再将直线的方程转化为两个圆的公共弦方程，再将两圆方程相减得出直线的方程.
8．【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：依题意，记圆台的上 下底面半径分别为，
设圆台的母线为，
则侧面积为，
所以，
则圆台的高，
依题意画出轴截面，
记外接球球心到上底面的距离为，
则，
解得，
则两个体积之比为.
故答案为：D.
【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得出圆台的高，再根据勾股定理得出的值，再利用圆锥的体积公式得出以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项为：，.
对于A，由展开式的通项可得，前三项系数之和为：，故A正确；
对于B，因为二项展开式有7项，
所以二项式系数最大的项是最中间项，即第4项，故B错误；
对于C，在展开式通项中，
则，
解得，
所以，常数项为，故C正确；
对于D，在中，
令，则得所有项的系数之和为1，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用二项式定理求出二项展开式的通项，再利用二项式系数的性质、常数项定义，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为椭圆，
所以，
则椭圆C的离心率，故A正确；
对于B，因为是椭圆上的动点（不与重合），
所以的周长，
故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，设，
则，
因为，
所以，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据椭圆方程和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得到的值，再结合椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率，则判断出选项A；根据椭圆的定义判断出选项B；根据椭圆的性质判断出选项C；设，再利用两点求斜率公式表示出直线的斜率与直线的斜率，从而得出直线与直线的斜率之积，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，令
则，
所以或，
令，则，
若，则，与的值域为矛盾，
所以，故A错误；
对于B，令
则，
故或，
令，则，
若，
则，与的值域为矛盾，故，
令
则，
故或，
因为的值域为，
所以，
则，故B正确；
对于C，令
则，
所以， 故C正确；
对于D，因为的值域为，
所以的图象不可能关于点中心对称，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件和抽象函数的赋值法，则可判断选项A、选项B和选项C；利用函数的值域和函数的对称性，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】7
【知识点】有限集合的子集个数
【解析】【解答】解：由 ，
则集合中一定有元素，且至少含有其中一个元素，
则这样的集合共有个.
故答案为：7.
【分析】利用已知条件结合子集和真子集的定义，从而得出满足题意的集合共有的个数.
13．【答案】0，1；；.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】解：易知随机变量的取值可能为0，1，且服从超几何分布，
则，，
故．
故答案为：0，1；.
【分析】由题意可得：随机变量服从超几何分布，利用超几何求出相应概率，再求期望即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，当且仅当时，等号成立，
由，
得
所以，
由，
所以
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式求最值的方法，从而可得最小值，再利用余弦定理得，由得，再利用辅助角公式和正弦型函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
15．【答案】（1）解：由题意可得：
则
，
因为，
所以，可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）解：由题意可得：，，
则，
当时，，
所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据题意求出相关系数r，再结合相关系数的性质分析出可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）根据题意结合最小二乘法得出回归方程为，令，再代入估计出该城市2026年的新增新能源汽车的数量.
（1）由题意可得：，
则
，
因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题意可得：，，
则，当时，，
所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
16．【答案】（1）证明：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，
则
则
令，得，则
因为，
可得，
又因为平面，
所以平面
（2）解：易知，
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：易知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示和平面，从而证出平面.
（2）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（3）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，
则即令，得，则
又，可得，因为平面，所以平面
（2）易知，设平面的法向量为，
则即令，则，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
（3）易知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
17．【答案】（1）解：因为，
令，
则，
令，得；令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
则，
即的取值范围是．
（2）证明：因为，
则．
令，
则，
令，
则恒成立，
所以在上单调递减．
又因为，
所以，
则在上恒成立，
所以在上单调递减．
又因为，
所以，
则当时，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由得，令，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再利用不等式恒成立求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）利用已知条件，将问题转化为，令，利用导数法证出在上恒成立，从而证出当时，．
（1），
令，
则，令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，即的取值范围是．
（2），
即．
令，
则，
令，则恒成立，
故在上单调递减．
又，故，
故在上恒成立，
故在上单调递减．
又，
故，结论得证．
18．【答案】（1）解：由题意，可知，
则此双曲线方程为，
把点代入方程，得，
所以，
则双曲线的标准方程为．
（2）解：因为直线经过点，倾斜角为，
所以直线的方程为，
由
解得或
故得点和点，
则，
由，
得，
解得．
（3）解：如图，
由题意得直线的斜率存在且不可能与轴重合，
设直线的方程为，
由
得到
因为．
由韦达定理得
则
，
所以为定值，且该定值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到的值，再通过点在双曲线上和代入法，从而得出b的值，进而得出双曲线的标准方程.
（2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D的坐标，再利用向量的坐标运算求出的值.
（3）设直线方程，与双曲线方程联立，再利用韦达定理，从而代入两点求斜率公式，从而化简求解得出为定值，且该定值为．
（1）由题意可知，则此双曲线方程为，
把点代入方程，得
所以得，即双曲线的标准方程为．
（2）因为直线经过点，倾斜角为，
所以直线的方程为，由
解得或故得点和点，
则，
由得，解得．
（3）如图，由题意得直线的斜率存在且不可能与轴重合，
设直线的方程为，
由得到
而．
由韦达定理得
则
，
故为定值，且该定值为．
19．【答案】（1）解：因为数列为“2阶归化数列”，
则，
则或，
又因为且欲使尽可能的大，
则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，此时，
所以，且等号在时取到.
（2）解：因为数列为“16阶归化数列”，
则，
则或，
若满足，
则数列为递增数列，
若，
则，
则，
则数列为周期数列，
所以，奇数项为，偶数项为.
①若对任意恒成立，
则
此时；
②存在为偶数且，使得，
则第项之后的项为：
其中，，
故，
存在为奇数且，使得，
则
其中，
故，
若存在使得，则将变大或变小，
综上所述，的值只可能为.
（3）解：因为正项数列为“阶归化数列”，
则，
即，
现用数学归纳法证明：对于任意的，均有.
因为，
则
假设当时有，
则当时，
有
，
故对于任意的，均有.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数学归纳法的应用
【解析】【分析】(1)欲使，则只需找寻的最大值，从而选择，再利用等差数列的定义判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，再结合放缩法证出，且等号在时取到.
(2)利用，则数列不可能仅满足，因此先解决特殊情况，即数列仅满足，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生，从而得出只可能的值.
(3)利用正项数列为“阶归化数列”的定义和数学归纳法，从而证出对于任意的，均有.
（1）因数列为“2阶归化数列”，则，
则或，
因且欲使尽可能的大，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，此时，
故，且等号在时取到.
（2）因数列为“16阶归化数列”， 则，
则或，
若满足，则数列为递增数列；
若，则，则，则数列为周期数列，
即奇数项为，偶数项为.
①若对任意恒成立，则，
此时.
②存在为偶数且，使得，则第项之后的项
，
其中，，值为或，
故.
存在为奇数且，使得，则
，
其中，值为或，
故.
则若存在使得，则将变大或变小，
综上，的值只可能为.
（3）因正项数列为“阶归化数列”，则，即，
现用数学归纳法证明：对于任意的，均有.
因，则
假设当时有，
则当时有，
故对于任意的，均有.
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