【精品解析】2025届四川省眉山市青神县青神中学校高三三模数学试题

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2025届四川省眉山市青神县青神中学校高三三模数学试题
1.(2025·青神模拟)已知点,若向量是直线的方向向量,则直线的倾斜角为(  )
A. B. C. D.
2.(2025·青神模拟)方程表示圆,则实数的取值范围是(  )
A. B. C. D.
3.(2025·青神模拟)已知直线,互相平行,且之间的距离为,则(  )
A.或3 B.或4 C.或5 D.或2
4.(2025·青神模拟)已知 ,则“ ”是“直线 和直线 垂直”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(2025·青神模拟)两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是(  )
A. B.
C. D.
6.(2025·青神模拟)已知点关于直线对称的点在圆上,则(  )
A.4 B.5 C.-4 D.-5
7.(2025·青神模拟)若圆与轴相切,且圆心坐标为,则圆的方程为(  )
A. B.
C. D.
8.(2025·青神模拟)已知圆的方程为,设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和,则四边形的面积为(  )
A.32 B. C.16 D.
9.(2025·青神模拟)下列说法正确的是(  )
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.若三点在一条直线上,则
C.过点,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D.直线的方向向量为,则该直线的斜率为
10.(2025·青神模拟)下列说法中正确的是(  )
A.若两条直线互相平行,那么它们的斜率相等
B.方程能表示平面内经过两点的任何直线
C.圆的圆心为,半径为
D.若直线不经过第二象限,则的取值范围是
11.(2025·青神模拟)已知点是圆上任意一点,点是直线与轴的交点,为坐标原点,则(  )
A.以线段为直径的圆周长最小值为
B.面积的最大值为
C.以线段为直径的圆不可能过坐标原点
D.的最大值为25
12.(2025·青神模拟)已知点关于坐标平面的对称点为,点关于坐标平面的对称点为,点关于轴的对称点为,则   .
13.(2025·青神模拟)已知向量,则在上的投影向量坐标为   .
14.(2025·青神模拟)已知函数,若,使关于的不等式成立,则实数的取值范围是   .
15.(2025·青神模拟)已知点,直线,,,.
(1)若这三条直线不能围成三角形,求实数的值;
(2)点关于直线的对称点为,求的取值范围.
16.(2025·青神模拟)已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)判断函数的单调性,并用定义证明.
(3)当时,恒成立,求实数k的取值范围.
17.(2025·青神模拟)已知圆心为C的圆经过点和,且圆心C在直线上.
(1)求圆心为C的圆的一般方程;
(2)已知,Q为圆C上的点,求的最大值和最小值.
18.(2025·青神模拟)如图所示,直角梯形中,,四边形为矩形,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的余弦值为,若存在,求出线段的长度,若不存在,请说明理由.
19.(2025·青神模拟)的三个顶点分别是,,.
(1)求边上的中线所在直线的方程,求边上的高所在直线的方程;
(2)(ⅰ)求的外接圆(为圆心)的标准方程;
(ⅱ)若点的坐标是,点是圆上的一个动点,点满足,求点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解:直线l的斜率,
所以直线的倾斜角为.
故选:.
【分析】根据直线的斜率公式及倾斜角与斜率的关系,先求出直线的斜率,进而即可求出直线的倾斜角.
2.【答案】D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解:方程表示圆,则,解得,
因此,实数的取值范围是.
故选:D.
【分析】根据圆的一般方程的充要条件是,列出关于实数的不等式,解之即可求得实数的取值范围 .
3.【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线平行;平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解:由可得,解得,
所以直线的方程为,即,
因为,即,解得或,
所以或,即.
故选:A.
【分析】根据两平行直线间系数的关系列式求得m的值,进而可得直线的方程,利用平行直线间距离公式列式可求得n的值,再计算求得m+n的值即可.
4.【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】直线 和直线 垂直,
则 ,解得 或 ,
所以,由“ ”可以推出“直线 和直线 垂直”,
由 “直线 和直线 垂直”不能推出“ ”,
故“ ”是“直线 和直线 垂直”的充分不必要条件,
故选:A.
【分析】根据直线垂直的等价条件,求出a的取值,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
5.【答案】A
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解:由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a,-b,直线的横、纵截距分别为b,-a,
A、由的图象可得,可得直线的截距应均为正数,故选项A正确;
B、由的图象可得,可得直线的截距应均为正数,与图象不对应,故选项B错误;
C、由的图象可得,可得直线的横截距应均为负数,纵截距为正数,与图象不对应,故选项C错误;
D、由的图象可得,可得直线的横截距应为正数,纵截距为负数,与图象不对应,故选项D错误.
故选:A.
【分析】根据直线的截距式方程可得直线,的横、纵截距,逐项根据截距的正负判断即可.
6.【答案】B
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程;点与圆的位置关系
【解析】【解答】解:设,则,解得,所以
代入圆C方程可得,解得,
故选:B.
【分析】设,利用直线 与PQ垂直,以及PQ的中点在直线 ,列式求得点的对称点Q,再代入圆C的方程中进而求得m的值即可.
7.【答案】A
【知识点】圆的标准方程;圆的一般方程
【解析】【解答】解:由题意可知,圆的半径为2,故圆的方程为,
即.
故选:A.
【分析】先根据题意可得圆C的半径,进而结合圆心坐标即可求出圆的标准方程,从而再求出圆的一般方程即可.
8.【答案】D
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解:由,
则圆心坐标是,半径是3,
因为圆心到点的距离为,
所以点在圆内,最长弦为圆的直径,
由垂径定理,得最短弦和最长弦(即圆的直径)垂直,
则最短弦的长为,最长弦即直径,
所以四边形的面积为.
故答案为:D.
【分析】利用已知条件和垂径定理,从而分析可知,再利用勾股定理计算出,则根据四边形的面积公式得出四边形的面积.
9.【答案】A,D
【知识点】直线的倾斜角;直线的斜率;三点共线;直线的截距式方程
【解析】【解答】解:A、直线的斜率,所以其倾斜角为,故选项A正确;
B、由题意可知,解得,故选项B错误;
C、过点,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线存在一条过原点,显然不过原点,故选项C错误;
D、直线的方向向量为,则斜率,故选项D正确.
故选:AD.
【分析】根据直线方程可得,再求得倾斜角的取值范围即可判断选项A;三点在同一直线上,则斜率等于斜率,根据斜率公式列式即可求得m的值,可判断选项B;截距分为0和不为0两种情况,即可判断选项C;利用直线的方向向量求得直线的斜率即可判断选项D.
10.【答案】B,D
【知识点】直线的斜率;直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系;两条直线平行的判定;圆的标准方程
【解析】【解答】解:A、垂直于y轴的不同直线相互平行,但斜率不存在,故选项A错误;
B、若,过此两点的直线方程为,
方程也可化为,
若,过此两点的直线方程为,
方程也可化为,
若且,由两点式知过此两点的直线方程为,
方程也可化为,
综上方程能表示平面内经过
两点的任何直线,故选项B正确;
C、圆可化为,
所以该圆圆心为,半径为,故选项C错误;
D、当x=0时,y=,故直线与y轴的交点为,且直线斜率为,
所以解得,故t的取值范围是 ,故选项D正确.
故选:BD.
【分析】利用倾斜角与斜率的相关定义可判断选项A;分或或且三种情况,利用直线方程与点的关系可判断选项B;将圆的一般方程化为标准方程求得圆心和半径即可判断选项C;求得直线与y的交点以及直线的斜率,进而列不等式组求解即可求得t的取值范围可判断选项D.
11.【答案】B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解:A、由题意可知圆的圆心,半径,点,如图所示.
易知,当且仅当三点共线,且点在线段上时等号成立,
所以以线段为直径的圆周长最小值为,故选项A错误;
B、,所以当时,的面积取得最大值,最大值为,故选项B正确;
C、若以线段为直径的圆过坐标原点,则由直径所对的圆周角为直角可得,易知当点在轴上时,满足题意,所以以线段为直径的圆可能过坐标原点,故选项C错误;
D、设点,易知,则,所以,即的最大值为25,故选项D正确,
故选:BD.
【分析】根据题意先求出圆P的圆心P与半径,以及点Q的坐标,进而结合圆的性质可知由,当且仅当三点共线,且点在线段上时,等号成立求解即可判断选项A;由可知当时,的面积取得最大值,求解即可判断选项B;由若以线段为直径的圆过坐标原点,则由直径所对的圆周角为直角可得求解判断选项C;设点,易知,再利用数量积运算求解判断选项D.
12.【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解:由题意可得,,,
故.
故答案为:.
【分析】根据对称性先求出,,,进而利用空间两点间距离公式即可求得.
13.【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解:由题意可得,,,
所以在上的投影向量坐标为.
故答案为:.
【分析】利用投影向量公式即可求得 在上的投影向量坐标 .
14.【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解:由题意可知,函数的定义域为R,
因为,
所以的图象关于对称,
因为在上单调递增,
所以在上单调递增,所以在R上单调递增,
因为,
所以,
因为在R上单调递增,所以,
即,使成立,
令,,
令,所以,所以,
当时,,所以,所以,
令,,所以在上的最小值为2,
所以,的最小值为2,所以,即的取值范围是.
故答案为:.
【分析】判断出关于对称,进而可知在R上单调递增,转化为使成立,利用分离参数法令,,令,则,,求出函数g(t)上的最小值,即可求得,的最小值,从而可求得m的取值范围.
15.【答案】(1)解:因为已知三条直线不能围成三角形,所以或或三条直线交于一点,
①当时,,解得;
②当时,,解得;
③当三条直线交于一点时,由,解得,即与相交于点,
因为也过,即,解得.
综上所述, 实数的值为或1或.
(2)解:因为直线,所以,
令,解得,
即直线恒过点,
又点与点关于直线对称,
即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上,
即点满足方程,
若直线斜率存在,则斜率,
过点,斜率为的直线,
设此时点的对称点,
即,解得,即,
综上所述,动点的轨迹方程为,且不包括点,
设点,,且,不同时成立,
所以,,
即,其中,,
所以,
即,
则.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示;两条直线平行的判定;两条直线的交点坐标;恒过定点的直线;平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)由题设可知或或三条直线交于一点,分情况研究动直线列式求得a的值即可;
(2)由已知可得直线恒过定点,再根据对称可知,即可得动点的轨迹方程,且不包括点,利用三角换元设,可得,,进而根据向量的数量积运算和辅助角公式可知,进而求得其取值范围即可.
(1)由已知三条直线不能围成三角形,则或或三条直线交于一点,
①当时,,解得;
②当时,,解得;
③当三条直线交于一点时,由,解得,即与相交于点,
则也过,即,解得;
(2)由直线可化为,
令,解得,
即直线恒过点,
又点与点关于直线对称,
即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上,
即点满足方程,
又直线若斜率存在,则斜率,
过点,斜率为的直线,
设此时点的对称点,
即,解得,即,
综上所述,动点的轨迹方程为,且不包括点,
设点,,且,不同时成立,
则,,
即,其中,,
所以,
即,
则.
16.【答案】(1)解:因为在定义域为R上是奇函数,所以,即,解得,
又∵,即,解得.
∴,
∵,
∴当,时,f(x)为奇函数.
(2)解: 函数为减函数
∵,
任取,且,
∴,
∵函数在R上是增函数,∴,∴.
又,
∴,即,
∴为减涵数.
(3)解:∵,∴,
∵为减函数,∴.
∴,
设,
令,∴,
∴,
∴,
故k的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明;函数的最大(小)值;函数的奇偶性;奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】(1)根据奇函数的性质可知,,建立方程求得錒。b的值即可;
(2)结合指数函数的单调性与单调性的定义,利用作差法进行证明即可;
(3)利用函数奇偶性与单调性,化简不等式可得,根据参变分离可得,设,令,,求得函数g(x)的最小值,即可求得k的取值范围.
(1)因为在定义域为R上是奇函数,所以,即,
∴,又∵,即,∴.
则,由,
则当,原函数为奇函数.
(2)由(1)知,
任取,设,则,
因为函数在R上是增函数,,∴.又,
∴,即,∴在上为减涵数.
(3)因是奇函数,从而不等式:,
等价于,
因为减函数,由上式推得:.
即对一切有:恒成立,设,
令,则有,
∴,
∴,即k的取值范围为.
17.【答案】(1)解:∵圆心C在直线上,不妨设,半径,

即4a+12=0,解得a=-3,
∴圆心C坐标为,半径r=|CA|=5,
∴圆C的方程为,
∴ 圆心为C的圆的一般方程为.

(2)解:由(1)可知,∴P在圆C外,
∴的最大值为,最小值为.
【知识点】圆的一般方程;点与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)直接设圆心坐标,根据建立方程即可求得a,计算即可得圆心及半径,再求出圆的标准方程,从而求出圆的一般方程即可;
(2)根据两点的距离公式求出|PC|可知点P在圆C外,利用圆的性质即可知的最大值为,最小值为,计算即可.
(1)∵圆心C在直线上,不妨设,半径,
则,
∴圆心C坐标为,则圆C的方程为;
其一般方程为.
(2)由(1)知圆C的方程为,
∴,∴P在圆C外,
∴的最大值为,最小值为.
18.【答案】(1)证明:因为四边形为矩形,平面平面,
平面平面,
所以,则平面,
根据题意可以以为原点,所在直线为轴,
所在直线为轴建立空间直角坐标系,
如图,易知,,
设平面的法向量,
不妨令,则,
又,,
又平面平面.
(2)解:由上可知,设平面的法向量,
,令,则,

平面与平面夹角的余弦值为.
(3)解:设,

又平面的法向量,
由直线与平面所成角的余弦值为,

,或.
当时,;
当时,.
综上,.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理,证得平面,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,求得平面的法向量,以及向量,结合,进而证得平面;
(2)由(1)中的空间直角坐标系,求得平面的法向量,结合向量的夹角公式,即可求解;
(3)设,得到,得出,由平面的法向量,结合,列出方程,求得的值,进而得到答案.
(1)因为四边形为矩形,平面平面,
平面平面,
所以,则平面,
根据题意可以以为原点,所在直线为轴,
所在直线为轴建立空间直角坐标系,
如图,易知,,
设平面的法向量,
不妨令,则,
又,,
又平面平面.
(2)由上可知,设平面的法向量,
,令,则,

平面与平面夹角的余弦值为.
(3)设,

又平面的法向量,
由直线与平面所成角的余弦值为,

,或.
当时,;
当时,.
综上,.
19.【答案】(1)解:设线段的中点为,则,
因为,则边上的中线的方程为,即直线的方程为,
又因为直线的斜率为,所以上的高所在直线的斜率为,
所以上的高所在直线的方程为,即直线的方程为;
(2)解:(ⅰ)设圆的方程为(其中)
因为三点都在圆上,可得,
解得,满足,
所以所求圆的方程为,即
(ⅱ)设的坐标是,点的坐标是,
因为的坐标是,且,
所以,解得,
又因为点在圆上运动,所以点的坐标满足圆的方程,即,
代入得,整理得,
点的轨迹方程是,轨迹是以为圆心,半径为的圆.
【知识点】斜率的计算公式;直线的一般式方程;圆的一般方程;轨迹方程
【解析】【分析】(1)设线段的中点为,求得直线的方程为,由,得到直线的斜率为,结合直线的点斜式方程求解即可;
(2)(ⅰ)设圆的方程为,根据三点都在圆上,列出方程组,求得的值,即可得圆的方程;
(ⅱ)设,点,由,求得,根据在圆上运动,得到,代入求解即可.
(1)解:设线段的中点为,则,
因为,则边上的中线的方程为,即直线的方程为,
又因为直线的斜率为,所以上的高所在直线的斜率为,
所以上的高所在直线的方程为,即直线的方程为.
(2)解:(ⅰ)设圆的方程为(其中)
因为三点都在圆上,可得,
解得,满足,
所以所求圆的方程为,即
(ⅱ)设的坐标是,点的坐标是,
因为的坐标是,且,
所以,解得,
又因为点在圆上运动,所以点的坐标满足圆的方程,即,
代入得,整理得,
点的轨迹方程是,轨迹是以为圆心,半径为的圆.
1 / 12025届四川省眉山市青神县青神中学校高三三模数学试题
1.(2025·青神模拟)已知点,若向量是直线的方向向量,则直线的倾斜角为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解:直线l的斜率,
所以直线的倾斜角为.
故选:.
【分析】根据直线的斜率公式及倾斜角与斜率的关系,先求出直线的斜率,进而即可求出直线的倾斜角.
2.(2025·青神模拟)方程表示圆,则实数的取值范围是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解:方程表示圆,则,解得,
因此,实数的取值范围是.
故选:D.
【分析】根据圆的一般方程的充要条件是,列出关于实数的不等式,解之即可求得实数的取值范围 .
3.(2025·青神模拟)已知直线,互相平行,且之间的距离为,则(  )
A.或3 B.或4 C.或5 D.或2
【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线平行;平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解:由可得,解得,
所以直线的方程为,即,
因为,即,解得或,
所以或,即.
故选:A.
【分析】根据两平行直线间系数的关系列式求得m的值,进而可得直线的方程,利用平行直线间距离公式列式可求得n的值,再计算求得m+n的值即可.
4.(2025·青神模拟)已知 ,则“ ”是“直线 和直线 垂直”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】直线 和直线 垂直,
则 ,解得 或 ,
所以,由“ ”可以推出“直线 和直线 垂直”,
由 “直线 和直线 垂直”不能推出“ ”,
故“ ”是“直线 和直线 垂直”的充分不必要条件,
故选:A.
【分析】根据直线垂直的等价条件,求出a的取值,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
5.(2025·青神模拟)两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解:由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a,-b,直线的横、纵截距分别为b,-a,
A、由的图象可得,可得直线的截距应均为正数,故选项A正确;
B、由的图象可得,可得直线的截距应均为正数,与图象不对应,故选项B错误;
C、由的图象可得,可得直线的横截距应均为负数,纵截距为正数,与图象不对应,故选项C错误;
D、由的图象可得,可得直线的横截距应为正数,纵截距为负数,与图象不对应,故选项D错误.
故选:A.
【分析】根据直线的截距式方程可得直线,的横、纵截距,逐项根据截距的正负判断即可.
6.(2025·青神模拟)已知点关于直线对称的点在圆上,则(  )
A.4 B.5 C.-4 D.-5
【答案】B
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程;点与圆的位置关系
【解析】【解答】解:设,则,解得,所以
代入圆C方程可得,解得,
故选:B.
【分析】设,利用直线 与PQ垂直,以及PQ的中点在直线 ,列式求得点的对称点Q,再代入圆C的方程中进而求得m的值即可.
7.(2025·青神模拟)若圆与轴相切,且圆心坐标为,则圆的方程为(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】圆的标准方程;圆的一般方程
【解析】【解答】解:由题意可知,圆的半径为2,故圆的方程为,
即.
故选:A.
【分析】先根据题意可得圆C的半径,进而结合圆心坐标即可求出圆的标准方程,从而再求出圆的一般方程即可.
8.(2025·青神模拟)已知圆的方程为,设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和,则四边形的面积为(  )
A.32 B. C.16 D.
【答案】D
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解:由,
则圆心坐标是,半径是3,
因为圆心到点的距离为,
所以点在圆内,最长弦为圆的直径,
由垂径定理,得最短弦和最长弦(即圆的直径)垂直,
则最短弦的长为,最长弦即直径,
所以四边形的面积为.
故答案为:D.
【分析】利用已知条件和垂径定理,从而分析可知,再利用勾股定理计算出,则根据四边形的面积公式得出四边形的面积.
9.(2025·青神模拟)下列说法正确的是(  )
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.若三点在一条直线上,则
C.过点,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D.直线的方向向量为,则该直线的斜率为
【答案】A,D
【知识点】直线的倾斜角;直线的斜率;三点共线;直线的截距式方程
【解析】【解答】解:A、直线的斜率,所以其倾斜角为,故选项A正确;
B、由题意可知,解得,故选项B错误;
C、过点,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线存在一条过原点,显然不过原点,故选项C错误;
D、直线的方向向量为,则斜率,故选项D正确.
故选:AD.
【分析】根据直线方程可得,再求得倾斜角的取值范围即可判断选项A;三点在同一直线上,则斜率等于斜率,根据斜率公式列式即可求得m的值,可判断选项B;截距分为0和不为0两种情况,即可判断选项C;利用直线的方向向量求得直线的斜率即可判断选项D.
10.(2025·青神模拟)下列说法中正确的是(  )
A.若两条直线互相平行,那么它们的斜率相等
B.方程能表示平面内经过两点的任何直线
C.圆的圆心为,半径为
D.若直线不经过第二象限,则的取值范围是
【答案】B,D
【知识点】直线的斜率;直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系;两条直线平行的判定;圆的标准方程
【解析】【解答】解:A、垂直于y轴的不同直线相互平行,但斜率不存在,故选项A错误;
B、若,过此两点的直线方程为,
方程也可化为,
若,过此两点的直线方程为,
方程也可化为,
若且,由两点式知过此两点的直线方程为,
方程也可化为,
综上方程能表示平面内经过
两点的任何直线,故选项B正确;
C、圆可化为,
所以该圆圆心为,半径为,故选项C错误;
D、当x=0时,y=,故直线与y轴的交点为,且直线斜率为,
所以解得,故t的取值范围是 ,故选项D正确.
故选:BD.
【分析】利用倾斜角与斜率的相关定义可判断选项A;分或或且三种情况,利用直线方程与点的关系可判断选项B;将圆的一般方程化为标准方程求得圆心和半径即可判断选项C;求得直线与y的交点以及直线的斜率,进而列不等式组求解即可求得t的取值范围可判断选项D.
11.(2025·青神模拟)已知点是圆上任意一点,点是直线与轴的交点,为坐标原点,则(  )
A.以线段为直径的圆周长最小值为
B.面积的最大值为
C.以线段为直径的圆不可能过坐标原点
D.的最大值为25
【答案】B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解:A、由题意可知圆的圆心,半径,点,如图所示.
易知,当且仅当三点共线,且点在线段上时等号成立,
所以以线段为直径的圆周长最小值为,故选项A错误;
B、,所以当时,的面积取得最大值,最大值为,故选项B正确;
C、若以线段为直径的圆过坐标原点,则由直径所对的圆周角为直角可得,易知当点在轴上时,满足题意,所以以线段为直径的圆可能过坐标原点,故选项C错误;
D、设点,易知,则,所以,即的最大值为25,故选项D正确,
故选:BD.
【分析】根据题意先求出圆P的圆心P与半径,以及点Q的坐标,进而结合圆的性质可知由,当且仅当三点共线,且点在线段上时,等号成立求解即可判断选项A;由可知当时,的面积取得最大值,求解即可判断选项B;由若以线段为直径的圆过坐标原点,则由直径所对的圆周角为直角可得求解判断选项C;设点,易知,再利用数量积运算求解判断选项D.
12.(2025·青神模拟)已知点关于坐标平面的对称点为,点关于坐标平面的对称点为,点关于轴的对称点为,则   .
【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解:由题意可得,,,
故.
故答案为:.
【分析】根据对称性先求出,,,进而利用空间两点间距离公式即可求得.
13.(2025·青神模拟)已知向量,则在上的投影向量坐标为   .
【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解:由题意可得,,,
所以在上的投影向量坐标为.
故答案为:.
【分析】利用投影向量公式即可求得 在上的投影向量坐标 .
14.(2025·青神模拟)已知函数,若,使关于的不等式成立,则实数的取值范围是   .
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解:由题意可知,函数的定义域为R,
因为,
所以的图象关于对称,
因为在上单调递增,
所以在上单调递增,所以在R上单调递增,
因为,
所以,
因为在R上单调递增,所以,
即,使成立,
令,,
令,所以,所以,
当时,,所以,所以,
令,,所以在上的最小值为2,
所以,的最小值为2,所以,即的取值范围是.
故答案为:.
【分析】判断出关于对称,进而可知在R上单调递增,转化为使成立,利用分离参数法令,,令,则,,求出函数g(t)上的最小值,即可求得,的最小值,从而可求得m的取值范围.
15.(2025·青神模拟)已知点,直线,,,.
(1)若这三条直线不能围成三角形,求实数的值;
(2)点关于直线的对称点为,求的取值范围.
【答案】(1)解:因为已知三条直线不能围成三角形,所以或或三条直线交于一点,
①当时,,解得;
②当时,,解得;
③当三条直线交于一点时,由,解得,即与相交于点,
因为也过,即,解得.
综上所述, 实数的值为或1或.
(2)解:因为直线,所以,
令,解得,
即直线恒过点,
又点与点关于直线对称,
即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上,
即点满足方程,
若直线斜率存在,则斜率,
过点,斜率为的直线,
设此时点的对称点,
即,解得,即,
综上所述,动点的轨迹方程为,且不包括点,
设点,,且,不同时成立,
所以,,
即,其中,,
所以,
即,
则.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示;两条直线平行的判定;两条直线的交点坐标;恒过定点的直线;平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)由题设可知或或三条直线交于一点,分情况研究动直线列式求得a的值即可;
(2)由已知可得直线恒过定点,再根据对称可知,即可得动点的轨迹方程,且不包括点,利用三角换元设,可得,,进而根据向量的数量积运算和辅助角公式可知,进而求得其取值范围即可.
(1)由已知三条直线不能围成三角形,则或或三条直线交于一点,
①当时,,解得;
②当时,,解得;
③当三条直线交于一点时,由,解得,即与相交于点,
则也过,即,解得;
(2)由直线可化为,
令,解得,
即直线恒过点,
又点与点关于直线对称,
即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上,
即点满足方程,
又直线若斜率存在,则斜率,
过点,斜率为的直线,
设此时点的对称点,
即,解得,即,
综上所述,动点的轨迹方程为,且不包括点,
设点,,且,不同时成立,
则,,
即,其中,,
所以,
即,
则.
16.(2025·青神模拟)已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)判断函数的单调性,并用定义证明.
(3)当时,恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1)解:因为在定义域为R上是奇函数,所以,即,解得,
又∵,即,解得.
∴,
∵,
∴当,时,f(x)为奇函数.
(2)解: 函数为减函数
∵,
任取,且,
∴,
∵函数在R上是增函数,∴,∴.
又,
∴,即,
∴为减涵数.
(3)解:∵,∴,
∵为减函数,∴.
∴,
设,
令,∴,
∴,
∴,
故k的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明;函数的最大(小)值;函数的奇偶性;奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】(1)根据奇函数的性质可知,,建立方程求得錒。b的值即可;
(2)结合指数函数的单调性与单调性的定义,利用作差法进行证明即可;
(3)利用函数奇偶性与单调性,化简不等式可得,根据参变分离可得,设,令,,求得函数g(x)的最小值,即可求得k的取值范围.
(1)因为在定义域为R上是奇函数,所以,即,
∴,又∵,即,∴.
则,由,
则当,原函数为奇函数.
(2)由(1)知,
任取,设,则,
因为函数在R上是增函数,,∴.又,
∴,即,∴在上为减涵数.
(3)因是奇函数,从而不等式:,
等价于,
因为减函数,由上式推得:.
即对一切有:恒成立,设,
令,则有,
∴,
∴,即k的取值范围为.
17.(2025·青神模拟)已知圆心为C的圆经过点和,且圆心C在直线上.
(1)求圆心为C的圆的一般方程;
(2)已知,Q为圆C上的点,求的最大值和最小值.
【答案】(1)解:∵圆心C在直线上,不妨设,半径,

即4a+12=0,解得a=-3,
∴圆心C坐标为,半径r=|CA|=5,
∴圆C的方程为,
∴ 圆心为C的圆的一般方程为.

(2)解:由(1)可知,∴P在圆C外,
∴的最大值为,最小值为.
【知识点】圆的一般方程;点与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)直接设圆心坐标,根据建立方程即可求得a,计算即可得圆心及半径,再求出圆的标准方程,从而求出圆的一般方程即可;
(2)根据两点的距离公式求出|PC|可知点P在圆C外,利用圆的性质即可知的最大值为,最小值为,计算即可.
(1)∵圆心C在直线上,不妨设,半径,
则,
∴圆心C坐标为,则圆C的方程为;
其一般方程为.
(2)由(1)知圆C的方程为,
∴,∴P在圆C外,
∴的最大值为,最小值为.
18.(2025·青神模拟)如图所示,直角梯形中,,四边形为矩形,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的余弦值为,若存在,求出线段的长度,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明:因为四边形为矩形,平面平面,
平面平面,
所以,则平面,
根据题意可以以为原点,所在直线为轴,
所在直线为轴建立空间直角坐标系,
如图,易知,,
设平面的法向量,
不妨令,则,
又,,
又平面平面.
(2)解:由上可知,设平面的法向量,
,令,则,

平面与平面夹角的余弦值为.
(3)解:设,

又平面的法向量,
由直线与平面所成角的余弦值为,

,或.
当时,;
当时,.
综上,.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理,证得平面,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,求得平面的法向量,以及向量,结合,进而证得平面;
(2)由(1)中的空间直角坐标系,求得平面的法向量,结合向量的夹角公式,即可求解;
(3)设,得到,得出,由平面的法向量,结合,列出方程,求得的值,进而得到答案.
(1)因为四边形为矩形,平面平面,
平面平面,
所以,则平面,
根据题意可以以为原点,所在直线为轴,
所在直线为轴建立空间直角坐标系,
如图,易知,,
设平面的法向量,
不妨令,则,
又,,
又平面平面.
(2)由上可知,设平面的法向量,
,令,则,

平面与平面夹角的余弦值为.
(3)设,

又平面的法向量,
由直线与平面所成角的余弦值为,

,或.
当时,;
当时,.
综上,.
19.(2025·青神模拟)的三个顶点分别是,,.
(1)求边上的中线所在直线的方程,求边上的高所在直线的方程;
(2)(ⅰ)求的外接圆(为圆心)的标准方程;
(ⅱ)若点的坐标是,点是圆上的一个动点,点满足,求点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
【答案】(1)解:设线段的中点为,则,
因为,则边上的中线的方程为,即直线的方程为,
又因为直线的斜率为,所以上的高所在直线的斜率为,
所以上的高所在直线的方程为,即直线的方程为;
(2)解:(ⅰ)设圆的方程为(其中)
因为三点都在圆上,可得,
解得,满足,
所以所求圆的方程为,即
(ⅱ)设的坐标是,点的坐标是,
因为的坐标是,且,
所以,解得,
又因为点在圆上运动,所以点的坐标满足圆的方程,即,
代入得,整理得,
点的轨迹方程是,轨迹是以为圆心,半径为的圆.
【知识点】斜率的计算公式;直线的一般式方程;圆的一般方程;轨迹方程
【解析】【分析】(1)设线段的中点为,求得直线的方程为,由,得到直线的斜率为,结合直线的点斜式方程求解即可;
(2)(ⅰ)设圆的方程为,根据三点都在圆上,列出方程组,求得的值,即可得圆的方程;
(ⅱ)设,点,由,求得,根据在圆上运动,得到,代入求解即可.
(1)解:设线段的中点为,则,
因为,则边上的中线的方程为,即直线的方程为,
又因为直线的斜率为,所以上的高所在直线的斜率为,
所以上的高所在直线的方程为,即直线的方程为.
(2)解:(ⅰ)设圆的方程为(其中)
因为三点都在圆上,可得,
解得,满足,
所以所求圆的方程为,即
(ⅱ)设的坐标是,点的坐标是,
因为的坐标是,且,
所以,解得,
又因为点在圆上运动,所以点的坐标满足圆的方程,即,
代入得,整理得,
点的轨迹方程是,轨迹是以为圆心,半径为的圆.
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