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新课预习衔接 等式性质与不等式性质
一．选择题（共4小题）
1．（2024 故城县校级模拟）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞0＞b，则ab＜a2
D．若c＞a＞b，则
2．（2024 福州月考）下列命题中的真命题是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若，则a＜b
C．若a＞b，则
D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
3．（2024 沙坪坝区校级开学）若关于x的不等式组无解，且一次函数y＝（a﹣5）x+（2﹣a）的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2024 宁乡市期末）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．ac＞bc B．|a|＞|b|
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 沙坪坝区校级月考）已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b＞0，则
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b＞0，
D．的最小值为
（多选）6．（2024 喀什地区期末）若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若b＞a＞0，则
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．命题“ x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“ x∈（﹣3，+∞），x2＞9”
（多选）7．（2024 荔湾区校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　）
A． B．
C．log2a+log2b≥﹣2 D．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 石家庄模拟）若实数x、y、z 0，且x+y+z＝4，2x﹣y+z＝5，则M＝4x+3y+5z的取值范围是 　 　．
9．（2024春 高碑店市校级月考）已知实数x，y满足﹣1≤x+y≤4且2≤x﹣y≤3，则x+3y的取值范围是 　 　．
10．（2024 龙岗区校级期中）已知2＜x＜4，﹣1＜y＜3，则2x﹣y的取值范围为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 慈利县校级期中）（1）已知实数x，y满足﹣2≤x≤﹣1，2≤y≤3，求3x﹣2y的取值范围；
（2）已知实数x＞1，求的最小值．
12．（2024 红河州期中）回答下列问题：
（1）已知a，b都是正实数，比较与a+b的大小；
（2）已知1＜a+b＜3，﹣2＜a﹣b＜2，求2a+3b的取值范围．
13．（2024 泰山区校级月考）（1）设x，y，z∈R，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z﹣2的大小．
（2）已知1≤2a+b≤4，﹣1≤a﹣2b≤2，求10a﹣5b的取值范围．
14．（2022秋 集宁区校级期中）比较大小．
（1）比较x2+y2+1与2（x+y﹣1）的大小；
（2）a＞b＞0，m＞0，比较与的大小．
15．（2022秋 台山市校级期中）火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用A、B两种型号的车厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？
新课预习衔接 等式性质与不等式性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 故城县校级模拟）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞0＞b，则ab＜a2
D．若c＞a＞b，则
【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断．
【解答】解：对于A选项，若a＝0或b＝0，或显然无意义．故A选项错误；
对于B选项，若c＝0，则ac2＝bc2．故B选项错误；
对于C选项，因为a＞0＞b，所以各项同时乘以a得a2＞0＞ab．故C正确；
对于D选项，因为c＞a＞b，所以﹣c＜﹣a＜﹣b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，
所以，即．因为根据题意不知道a，b的符号，
所以无法满足同向可乘性的条件．故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，是基础题．
2．（2024 福州月考）下列命题中的真命题是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若，则a＜b
C．若a＞b，则
D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；
选项B，不等式成立，默认c2＞0，两边同乘c2，不等号不变；
选项C，从不等式a＞b到不等式，是不等式两边同乘，但不一定是正数；
选项D，对于结论a﹣c＞b﹣d，实际上是a+（﹣c）＞b+（﹣d），但﹣c＜﹣d，无法保证同向相加．
【解答】解：选项A：若c≤0，则ac＞bc不成立，即A错误；
选项B：由不等式性质可知：若，则有a＜b，即B正确；
选项C：当a＞0，b＜0时，由a＞b，可得，即C错误；
选项D：当a＝5，b＝2，c＝11，d＝2时，有a＞b，c＞d成立，
但此时a﹣c＝5﹣11＝﹣6，b﹣d＝2﹣2＝0，由﹣6＜0可知，a﹣c＞b﹣d不成立，即D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
3．（2024 沙坪坝区校级开学）若关于x的不等式组无解，且一次函数y＝（a﹣5）x+（2﹣a）的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】不等关系与不等式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合不等式的解法，以及一次函数的的性质，即可求解．
【解答】解：，即，
∵关于x的不等式组无解，
∴2+a≥3﹣2a，解得a，
∵一次函数y＝（a﹣5）x+（2﹣a）的图象不经过第一象限，
∴，解得2≤a＜5，
故2≤a＜5，
故符合条件的所有整数a的和是2+3+4＝9．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的解法，以及一次函数的的性质，属于基础题．
4．（2024 宁乡市期末）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．ac＞bc B．|a|＞|b|
C． D．
【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学抽象．
【答案】D
【分析】由不等式的性质，应用特殊值法判断各项正误．
【解答】解：A：a＝2，b＝1，c＝﹣1时ac＞bc不成立；
a＝1，b＝﹣2时，B，C显然错误；
D：，即成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 沙坪坝区校级月考）已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b＞0，则
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b＞0，
D．的最小值为
【考点】不等关系与不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学抽象．
【答案】BC
【分析】利用特征值判断A，根据不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，根据对勾函数的性质判断D．
【解答】解：对于A，当c＝0时，，故A错误；
对于B，若ac2＞bc2，则c2≠0，即c2＞0，所以a＞b，故B正确；
对于C，因为a＞b＞0，所以，当且仅当a＝2b时取等号，
所以，显然，
所以，当且仅当a＝2b时取等号，故C正确；
对于D，因为，
令，则t≥1，令，
由对勾函数的性质可知，函数在[1，+∞）上单调递增，
所以f（t）min＝f（1）＝3，
所以 ，当且仅当a＝0时取等号，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，基本不等式及对勾函数单调性的综合应用，属于中档题．
（多选）6．（2024 喀什地区期末）若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若b＞a＞0，则
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．命题“ x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“ x∈（﹣3，+∞），x2＞9”
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式；存在量词命题的否定；命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及命题否定的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，b＞a＞0，
则0，即，故A正确；
对于B，若a＞b，
当c＝0时，ac＝bc，故B错误；
对于C，ac2＞bc2，c2＞0，
故a＞b，故C正确；
对于D，“ x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“ x∈（﹣3，+∞），x2＞9”，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
（多选）7．（2024 荔湾区校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　）
A． B．
C．log2a+log2b≥﹣2 D．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】探究型；转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【答案】ABD
【分析】利用指数函数的性质即可判断选项A；由基本不等式即可判断选项B，C，D．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，
所以a﹣b＝a﹣（1﹣a）＝2a﹣1＞﹣1，
所以2a﹣b＞2﹣1，故A正确；
（）2＝a+b+21+21+22，
所以，当且仅当a＝b时等号成立，故B正确；
log2a+log2b＝log2ab≤log2（）2＝﹣2，故C错误；
已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，
所以（a+b）2≤2a2+2b2，则a2+b2，当且仅当a＝b时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 石家庄模拟）若实数x、y、z 0，且x+y+z＝4，2x﹣y+z＝5，则M＝4x+3y+5z的取值范围是 　[15，19]　．
【考点】不等关系与不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】[15，19]．
【分析】由已知等式可用y表示x，z，结合y的范围即可求解．
【解答】解：因为实数x、y、z 0，且x+y+z＝4，2x﹣y+z＝5，
所以x＝2y+1≥0，z＝3﹣3y≥0，
所以0≤y≤1，
则M＝4x+3y+5z＝8y+4+3y+15﹣15y＝19﹣4y∈[15，19]．
故答案为：[15，19]．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
9．（2024春 高碑店市校级月考）已知实数x，y满足﹣1≤x+y≤4且2≤x﹣y≤3，则x+3y的取值范围是 　[﹣5，6]　．
【考点】等式与不等式的性质；简单线性规划．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，设x+3y＝m（x+y）+n（x﹣y），则，得，再根据x+y，x﹣y的范围可解．
【解答】解：因为实数x，y满足﹣1≤x+y≤4且2≤x﹣y≤3，
设x+3y＝m（x+y）+n（x﹣y），
则，得，
故x+3y＝2（x+y）﹣（x﹣y），
又﹣2≤2（x+y）≤8，﹣3≤﹣（x﹣y）≤﹣2，
所以﹣5≤2（x+y）﹣（x﹣y）≤6，
故答案为：[﹣5，6]．
【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题．
10．（2024 龙岗区校级期中）已知2＜x＜4，﹣1＜y＜3，则2x﹣y的取值范围为 　（1，9）　．
【考点】不等关系与不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学抽象．
【答案】（1，9）．
【分析】由不等式的可乘性，同向可加性即可求解2x﹣y的取值范围．
【解答】解：因为2＜x＜4，﹣1＜y＜3，
所以4＜2x＜8，﹣3＜﹣y＜1，
所以1＜2x﹣y＜9，
即2x﹣y的取值范围为（1，9）．
故答案为：（1，9）．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 慈利县校级期中）（1）已知实数x，y满足﹣2≤x≤﹣1，2≤y≤3，求3x﹣2y的取值范围；
（2）已知实数x＞1，求的最小值．
【考点】不等关系与不等式；简单线性规划．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】（1）[﹣12，﹣7]；
（2）．
【分析】（1）由不等式的性质求解；
（2）由基本不等式求最小值．
【解答】解：（1）因为﹣2≤x≤﹣1，
所以﹣6≤3x≤﹣3，
因为2≤y≤3，所以﹣6≤﹣2y≤﹣4，
所以﹣12≤3x﹣2y≤﹣7，
所以3x﹣2y的取值范围是[﹣12，﹣7]．
（2）x＞1，则x﹣1＞0，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
12．（2024 红河州期中）回答下列问题：
（1）已知a，b都是正实数，比较与a+b的大小；
（2）已知1＜a+b＜3，﹣2＜a﹣b＜2，求2a+3b的取值范围．
【考点】不等关系与不等式；不等式比较大小．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）将与a+b相减并化简，分类讨论判断差的符号即可比较大小；
（2）根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：（1），
因为a，b都是正实数，所以ab＞0，a+b＞0，（a﹣b）2≥0，
所以，当且仅当a＝b时等号成立．
（2）设2a+3b＝m（a+b）+n（a﹣b），
则，
解得，，
所以，
因为1＜a+b＜3，﹣2＜a﹣b＜2，
所以，，
所以，
即，
所以2a+3b的取值范围为．
【点评】本题主要考查了比较法的应用，还考查了不等式的性质的应用，属于中档题．
13．（2024 泰山区校级月考）（1）设x，y，z∈R，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z﹣2的大小．
（2）已知1≤2a+b≤4，﹣1≤a﹣2b≤2，求10a﹣5b的取值范围．
【考点】不等式比较大小；简单线性规划．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】（1）5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z﹣2；（2）[﹣1，20]．
【分析】（1）作差配方即可得出5x2+y2+z2与2xy+4x+2z﹣2的大小；
（2）根据条件可得出3≤6a+3b≤12，﹣4≤4a﹣8b≤8，然后两不等式相加即可得出10a﹣5b的取值范围．
【解答】解：（1）5x2+y2+z2﹣2xy﹣4x﹣2z+2＝（x﹣y）2+（2x﹣1）2+（z﹣1）2≥0，
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z﹣2；
（2）∵1≤2a+b≤4，﹣1≤a﹣2b≤2，
∴，
∴﹣1≤10a﹣5b≤20，
∴10a﹣5b的取值范围为[﹣1，20]．
【点评】本题考查了作差比较实数大小的方法，配方法的运用，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
14．（2022秋 集宁区校级期中）比较大小．
（1）比较x2+y2+1与2（x+y﹣1）的大小；
（2）a＞b＞0，m＞0，比较与的大小．
【考点】不等式比较大小．
【专题】函数思想；作差法；不等式；数学运算．
【答案】（1）x2+y2+1＞2（x+y﹣1）；（2）．
【分析】（1）（2）利用作差法比较不等式大小即可．
【解答】解：（1）x2+y2+1﹣2（x+y﹣1）＝x2﹣2x+1+y2﹣2y+2＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+1＞0，
∴x2+y2+1＞2（x+y﹣1）．
（2），
∵a＞b＞0，m＞0，
∴m（a﹣b）＞0，b（b+m）＞0，即．
【点评】本题考查了不等式的性质，作差法比较不等式大小，属于基础题．
15．（2022秋 台山市校级期中）火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用A、B两种型号的车厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；作图题；数形结合；不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】设安排A、B两种货厢x节，y节；从而得到约束条件，从而作平面区域，利用数形结合求解即可．
【解答】解：设安排A、B两种货厢x节，y节；
则，
作平面区域如下，
，
结合图象可得，
有三种方案，分别为：
安排A、B两种货厢28节，22节，
安排A、B两种货厢29节，21节，
安排A、B两种货厢30节，20节；
易知执行第三种方案，即安排A、B两种货厢30节，20节时，
费用最少，为30×0.5+20×0.8＝31万元．
【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，同时考查了数形结合的思想应用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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