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新课预习衔接 函数的应用（一）
一．选择题（共5小题）
1．（2024 浏阳市期末）已知函数，则不等式f（2a2﹣1）＞f（3a+4）的解集为（　　）
A． B．a＜﹣1或
C． D．
2．（2024春 东安区校级期末）函数，若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣4，﹣1] B．[﹣4，﹣2] C．（﹣5，﹣1] D．[﹣5，﹣4]
3．（2024春 东莞市月考）已知函数，若对任意x1＜x2都有f（x1）﹣f（x2）＜2x1﹣2x2，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[1，+∞） C． D．
4．（2024秋 北京月考）已知函数，则下列结论错误的是（　　）
A．存在实数a，使函数f（x）为奇函数
B．对任意实数a和k，函数y＝f（x）+k总存在零点
C．对任意实数a，函数f（x）既无最大值也无最小值
D．对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（﹣1，m）上单调递减
5．（2024 鹿邑县期末）已知函数f（x）＝2﹣|x|，g（x）＝x2，设函数，则下列说法错误的是（　　）
A．L（x）是偶函数
B．函数L（x）有两个零点
C．L（x）在区间（﹣1，0）上单调递减
D．L（x）有最大值，没有最小值
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 北海期末）已知函数f（x）若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的值可以是（　　）
A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5
（多选）7．（2024 广丰区校级月考）著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在R上的函数D（x）．后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（　　）
A．D（x+y）≤D（x）+D（y）
B．D（x）的图象关于y轴对称
C．D2（x）＝D（D（x））的图象关于y轴对称
D．存在一个正三角形，其顶点均在D（x）的图象上
三．填空题（共3小题）
8．（2024春 滨海新区校级月考）定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣3）＝f（x+1），且，
①f（x）的值域为[0，1]
②f（x）的最小正周期是4；
③当x∈（﹣3，﹣2）时，f（x）＝﹣2x﹣2
④方程3f（x）＝x恰有4个实数解
上述正确命题的序号是 　 　．
9．（2024 福州月考）已知函数是定义在R上的偶函数，则g（﹣4）等于 　 　．
10．（2024 商丘期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 涟源市期末）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤12且m∈R）克的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y f（x），其中f（x）．
（1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
12．（2024 林州市校级期末）已知a＞0且a≠1，函数满足f（1﹣a）＝f（a﹣1），设h（x）＝ax．
（1）求函数y＝h（2x）﹣h（x）+1在区间[﹣2，2]上的值域；
（2）若函数y＝|h（x）+m|和y＝|h（﹣x）+m|在区间[1，2023]上的单调性相同，求实数m的取值范围．
13．（2024 广州期末）定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x），其中a＞0，a≠1，且f（1）＝e，其中e是自然对数的底，e＝2.71828…．
（1）求a的值；
（2）当x≥0时，求函数f（x）的解析式；
（3）若存在x2＞x1≥0，满足f（x2）＝ef（x1），求x1 f（x2）的取值范围．
14．（2024 滨城区期中）已知函数．
（1）画出函数f（x）的图象；
（2）求的值；
（3）求出函数f（x）的值域．
15．（2024 肥城市校级月考）已知函数．
（1）若函数f（x）在区间[a，a+2]上单调，求实数a的取值范围；
（2）当a＞﹣1时，记f（x）在区间[a，a+2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
新课预习衔接 函数的应用（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 浏阳市期末）已知函数，则不等式f（2a2﹣1）＞f（3a+4）的解集为（　　）
A． B．a＜﹣1或
C． D．
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】根据已知得出函数在定义域R上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案．
【解答】解：函数中，在x＜0上单调递减，
y＝2﹣x2在x≥0上单调递减，且，
则函数在定义域R上单调递减，
∵f（2a2﹣1）＞f（3a+4），∴2a2﹣1＜3a+4，解得：，
即不等式f（2a2﹣1）＞f（3a+4）的解集为．
故选：D．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2024春 东安区校级期末）函数，若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣4，﹣1] B．[﹣4，﹣2] C．（﹣5，﹣1] D．[﹣5，﹣4]
【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】确定函数f（x）在R上单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案．
【解答】解：因为对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，
所以f（x）是R上的减函数，
则，
解得﹣4≤a≤﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
3．（2024春 东莞市月考）已知函数，若对任意x1＜x2都有f（x1）﹣f（x2）＜2x1﹣2x2，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[1，+∞） C． D．
【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】A
【分析】转化为任意x1＜x2，都有f（x1）﹣2x1＜f（x2）﹣2x2，令 g（x）＝f（x）﹣2x，得到 g（x）在R上递增求解．
【解答】解：因为若对任意x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜2x1﹣2x2，
所以对任意x1＜x2，都有f（x1）﹣2x1＜f（x2）﹣2x2，
令 g（x）＝f（x）﹣2x，则 g（x）在R上递增，
当x≤1时，g（x）＝2﹣（a+2）x，则a+2＜0，即 a＜﹣2；
当x＞1时，，
则 g′（x）＝x2﹣3ax+2a2，
当，即时，g′（1）＝1﹣3a+2a2≥0，解得 ；
当，即时，，无解；
又，即4a2﹣a﹣3≥0，解得或a≥1，
综上：a＜﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
4．（2024秋 北京月考）已知函数，则下列结论错误的是（　　）
A．存在实数a，使函数f（x）为奇函数
B．对任意实数a和k，函数y＝f（x）+k总存在零点
C．对任意实数a，函数f（x）既无最大值也无最小值
D．对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（﹣1，m）上单调递减
【考点】分段函数的应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】首先分别作出a＝0，a＞0，a＜0的函数f（x）的图像，然后结合图像逐项分析判断即可．
【解答】解：首先分别作出a＝0，a＞0，a＜0的函数f（x）的图像，如下：
结合图像进行分析：
当a＝0时，，此时如图1所示，
函数f（x）的图像关于原点对称，其为奇函数，
所以存在a＝0，使得函数f（x）为奇函数，故A正确；
由图可知，无论a取何值，当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，
所以函数f（x）既无最大值也无最小值，故C正确；
作一条直线y＝﹣k，当a＞0时，存在实数k使得函数y＝f（x）的图像与y＝﹣k没有交点，
即此时y＝f（x）+k没有零点，
因此对于任意实数a和k，函数y＝f（x）+k总存在零点不正确，故B不正确；
如图2，当a＞0时，对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（﹣1，m）上单调递减，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的性质，属于中档题．
5．（2024 鹿邑县期末）已知函数f（x）＝2﹣|x|，g（x）＝x2，设函数，则下列说法错误的是（　　）
A．L（x）是偶函数
B．函数L（x）有两个零点
C．L（x）在区间（﹣1，0）上单调递减
D．L（x）有最大值，没有最小值
【考点】分段函数的应用；函数的最值；函数的奇偶性．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．
【答案】B
【分析】画出函数L（x）的图象，数形结合对各个选项逐个判断即可．
【解答】解：在同一直角坐标系中，画出函数f（x）＝2﹣|x|，g（x）＝x2的图象，
从而得函数图象，如图实线部分：
对于A，∵函数L（x）图象关于y轴对称，∴L（x）是偶函数，故A正确；
对于B，根据零点的定义结合函数L（x）的图象知，函数L（x）有三个零点，分别为±2，0，故B错误；
对于C，从函数L（x）图象观察得L（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，故C正确；
对于D，从函数L（x）图象观察得L（x）有最大值，没有最小值，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 北海期末）已知函数f（x）若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的值可以是（　　）
A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5
【考点】分段函数的应用．
【专题】数形结合；函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】CD
【分析】作出分段函数的图像，数形结合分析满足的条件即可求解．
【解答】接：根据f（x）解析式作出f（x）的图像，再作y＝k交f（x）于三点，横坐标分别为x1，x2，x3，
由图像易知x2+x3＝0，所以x1+x2+x3＝x1，
令f（x）＝﹣5，解得x1＝﹣3；
令f（x）＝3，解得x1＝﹣7；
故x1+x2+x3∈（﹣7，﹣3]，
故选：CD．
【点评】本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．
（多选）7．（2024 广丰区校级月考）著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在R上的函数D（x）．后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（　　）
A．D（x+y）≤D（x）+D（y）
B．D（x）的图象关于y轴对称
C．D2（x）＝D（D（x））的图象关于y轴对称
D．存在一个正三角形，其顶点均在D（x）的图象上
【考点】分段函数的应用；命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】BCD
【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C．
【解答】解：对于A，当，时，D（x+y）＝D（0）＝1，，D（x+y）＞D（x）+D（y），故A错误；
对于B，因为D（x）的定义域为R，关于原点对称，
若﹣x是有理数，则x是有理数，所以D（﹣x）＝1，D（x）＝1；
若﹣x是无理数，则x是无理数，所以D（﹣x）＝0，D（x）＝0；
所以D（x）＝D（﹣x），故图象关于y轴对称，B正确；
对于C，由B可知，D（﹣x）＝D（x），所以D2（﹣x）＝D（D（﹣x））＝D（D（x））＝D2（x），
故D2（x）＝D（D（x））是偶函数，图象关于y轴对称，C正确；
对于D，设，，C（0，1），
则|AB|＝|AC|＝|BC|，所以△ABC是等边三角形，
又因为，，D（0）＝1，所以△ABC的顶点均在D（x）的图象上，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024春 滨海新区校级月考）定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣3）＝f（x+1），且，
①f（x）的值域为[0，1]
②f（x）的最小正周期是4；
③当x∈（﹣3，﹣2）时，f（x）＝﹣2x﹣2
④方程3f（x）＝x恰有4个实数解
上述正确命题的序号是 　②④　．
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】②④．
【分析】取f（2）验证可判断①；
由周期定义，结合在（﹣1，3]上的解析式可判断②；
当x∈（﹣3，﹣2）时，x+4∈（1，2），代入解析式，结合周期性可判断③；
转化为f（x）与的图象的交点个数问题，作图可判断④．
【解答】解：对于①，因为f（2）＝2，所以①错误；
对于②，因为f（x﹣3）＝f（x+1），
所以f（x）＝f（x+4），
所以4是f（x）的周期，
又，
所以f（x）的最小正周期是4，②正确；
对于③，当x∈（﹣3，﹣2）时，x+4∈（1，2），
所以f（x+4）＝2﹣2|x+2|＝2x+6，
所以f（x）＝f（x+4）＝2x+6，③错误；
对于④，方程3f（x）＝x恰有4个实数解，
等价于f（x）与的图象有4个交点．
作出f（x）和的图象如图：
由图可知f（x）与的图象有且只有4个交点，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了函数零点个数，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
9．（2024 福州月考）已知函数是定义在R上的偶函数，则g（﹣4）等于 　4　．
【考点】分段函数的应用；函数的奇偶性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】4．
【分析】根据题意，由函数的解析式和奇偶性分析可得g（﹣4）＝f（﹣4）＝f（4），进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，因为是定义在R上的偶函数，
所以g（﹣4）＝f（﹣4）＝f（4）＝42﹣3×4＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查偶函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
10．（2024 商丘期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为 　（0，]　．
【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（0，]．
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数在R上单调递增，
则有，解得，故实数a的取值范围为（0，]．
故答案为：（0，]．
【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 涟源市期末）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤12且m∈R）克的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y f（x），其中f（x）．
（1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由m＝9可得函数y的解析式，可令y≥2，分段解不等式求并集即可；
（2）由当6≤x≤8，可得函数y的解析式，化简，结合函数的单调性，可得最小值．
【解答】解：（1）由m＝9可得y＝3f（x），
当0≤x＜6时，2，解得x≤11，此时0≤x＜6；
当6≤x＜8时，122，解得x，此时6≤x，
综上可得0≤x，
病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时；
（2）当6≤x≤8时，y＝2（4）+m（）＝8﹣x，
由y＝8﹣x，y（m≥1）在[6，8]均为减函数，
可得y＝8﹣x在[6，8]递减，
即有y≥8﹣8，
由2，可得m，
可得m的最小值为．
【点评】本题考查函数在实际问题中的运用，考查函数的单调性的运用：求最值，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．
12．（2024 林州市校级期末）已知a＞0且a≠1，函数满足f（1﹣a）＝f（a﹣1），设h（x）＝ax．
（1）求函数y＝h（2x）﹣h（x）+1在区间[﹣2，2]上的值域；
（2）若函数y＝|h（x）+m|和y＝|h（﹣x）+m|在区间[1，2023]上的单调性相同，求实数m的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数的值域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）先对0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，再利用题目所给的等式关系可求出a的值，将所要求的函数换元后得到二次函数求出值域即可．
（2）先得到两个函数解析式和y＝|2x+m|，分别对[1，2023]上单调递增和单调递减进行分类讨论，得到关于m的不等式组，进而求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）当0＜a＜1时，41﹣a＝21，解得；
当a＞1时，2a﹣（1﹣a）＝4a﹣1，无解，故a的值为，
故，
因为x∈[﹣2，2]，所以令，则，
故，
当时，，当t＝4时，ymax＝13，
故函数y＝h（2x）﹣h（x）+1在区间[﹣2，2]上的值域为．
（2）由题意，函数在R上单调递减，函数h（﹣x）＝2x在R上单调递增，
由题可知函数与函数y＝|2x+m|在区间[1，2023]上同增或者同减，
①若两函数在区间[1，2023]上均单调递增，
则在区间[1，2023]上恒成立，
故，解得；
②若两函数在区间[1，2023]上均单调递减，
则在区间[1，2023]上恒成立，
故，该不等式组无解．
综上，实数m的取值范围是．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
13．（2024 广州期末）定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x），其中a＞0，a≠1，且f（1）＝e，其中e是自然对数的底，e＝2.71828…．
（1）求a的值；
（2）当x≥0时，求函数f（x）的解析式；
（3）若存在x2＞x1≥0，满足f（x2）＝ef（x1），求x1 f（x2）的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性．
【专题】函数思想；方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）a＝e；
（2）f（x）；
（3）（0，）∪[e2，+∞）．
【分析】（1）根据奇函数的定义与性质列方程求出a的值；
（2）根据奇函数的性质求出0＜x＜1和x≥1时，f（x）的解析式即可；
（3）由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出x1x2的关系，把x1 f（x2）化为x1的函数，从而得出取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）在R上是奇函数，当x＜0时，f（x），
所以f（﹣1）＝﹣f（1），即﹣a＝﹣e，解得a＝e；
（2）当0＜x＜1时，﹣1＜﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x，
又因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝x；
当x≥1时，﹣x≤﹣1，f（﹣x）＝﹣ex，
又因为f（x）是奇函数，则f（x）＝ex，
因为f（x）是定义R上的奇函数，则f（0）＝0，
所以f（x）；
（3）若0≤x1＜x2＜1，则由f（x2）＝ef（x1），得x2＝ex1，且0＜x1，
所以x1f（x2）＝x1x2∈（0，）；
若0≤x1＜1≤x2，则由f（x2）＝ef（x1），得ex1，而e，ex1＜e，
所以等式不成立．
若1≤x1＜x2，则由f（x2）＝ef（x1），得，即x2＝x1+1，且x1≥1，
所以x1f（x2）＝x1x1e2，
综上，x1f（x2）的取值范围是（0，）∪[e2，+∞）．
【点评】本题考查了函数的奇偶性应用问题，也考查了函数值的取值范围问题，是难题．
14．（2024 滨城区期中）已知函数．
（1）画出函数f（x）的图象；
（2）求的值；
（3）求出函数f（x）的值域．
【考点】分段函数的应用；函数的值域；函数的图象与图象的变换；函数的值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）作图见解析；
（2）；
（3）[0，+∞）．
【分析】（1）根据分段函数的解析式，可直接画出函数的图象；
（2）根据函数的解析式，可直接求值；
（3）根据函数图象可得函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）图象如图所示：
（2）；
（3）由（1）得到的图象可知，f（x）的值域为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，属于基础题．
15．（2024 肥城市校级月考）已知函数．
（1）若函数f（x）在区间[a，a+2]上单调，求实数a的取值范围；
（2）当a＞﹣1时，记f（x）在区间[a，a+2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）{a|a≤﹣3或a≥1}；
（2）．
【分析】（1）求出函数f（x）的单调区间，再利用集合的包含关系列式求解即得．
（2）分段讨论，结合函数f（x）的性质求出g（a）即可．
【解答】解：（1）当x＜0时，f（x）＝x2+2x在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[﹣1，0）上单调递增，
当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x在[0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
因此函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1]，[0，1]，递增区间为[﹣1，0），[1，+∞），
函数f（x）在[a，a+2]上单调，显然区间[a，a+2]的长度为2，因此[a，a+2] （﹣∞，﹣1]或[a，a+2] [1，+∞），
则a+2≤﹣1或a≥1，解得a≤﹣3或a≥1，
所以实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥1}．
（2）当a＞﹣1时，a+2＞1，由（1）知，
当﹣1＜a≤1时，1＜a+2≤3，此时，
当a＞1时，f（x）在区间[a，a+2]上单调递增，则，
所以．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，是中档题．
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