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绝密★启用前
2025 年 7 月浙江省普通高中学业水平考试
数学 参考答案
选择题部分
一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合
题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D C D D A
题号 7 8 9 10 11 12
答案 C A B B A C
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题
目要求的，全部选对得 6 分，部分选对部分得分，不选、错选得 0 分）
题号 13 14 15
答案 AB ABC ABD
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分）
题号 16 17 18
答案 √3 0 25
非选择题部分
四、解答题（本大题共 3 小题，共 37 分。第 19 题 12 分，第 20 题 12 分，第 21 题 13 分）
19.（12 分）
（1）解：P(A∪B)=P(A)×P(B)=0.5×0.6=0.3
（2）解：P(A∪B)+ P( ∪B)+ P(A∪ )
= P(A)×P(B)+ P( ) ×P(B)+ P(A)×P( )
= 0.5×0.6+0.5×0.6+0.5×0.4
=0.3+0.3+0.2
=0.8
20.（12 分）
（1）证明：
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB∥DC
1 ∩ = ， 1 ∩ =
∵{ ，且 1， 平面 1 1， 1 ， 平面 1 1
1 ∥ 1， ∥
Z 学考（数学）参考答案 第 1 页 （共 4 页）
∴平面 1 1∥平面 1 1，证毕.
（2）（I）证明：
由题（1）同理可得平面 1 1∥平面 1 1，
∴∠ 1 1 =∠ 1 1 ， 1 1 ∥ 1 1，
又∵ 1 1 ⊥ 1 1，即∠ 1 1 1=90°，
∴四边形 1 1 1 1是矩形，
又∵ 1∥ 1，且 BC∥ 1 1， 1 = = = 1，
∴四边形 1 1CB是正方形，
∴∠ 1 1 =∠ 1 1 =90°，
1 ∩ 1 1 = 1， 1 1 ∩ { 1
= 1
又∵ ，且 1 平面 1 1，
∠ 1 1 1 = 90°，∠ 1 1 = 90°
∴ 1 1 ⊥平面 1 1，证毕.
（2）（II）解：
过点 B 作 1 1的平行线交 1于点 E，过点 C 作 1 1的平行线交 1于点 F，连接线段 EF.
∴ 1 = + 1 1 1 三棱柱 四棱柱 1 1 1 1 ，
1 √3 √3
∴ 三棱柱 = × = × 1 × × 1 = 2 2 4
√3 √3
∴ 四棱柱 = 1 1 1 1 四边形 1 1 × = 1× ×1 = 2 2
√3 √3 3√3
∴ = 1 1 1 1 三棱柱 + 四棱柱 1 1 1 = + = . 1 4 2 4
21.（13 分）
（1）解：
（2）解：
Z 学考（数学）参考答案 第 2 页 （共 4 页）
（3）解：
Z 学考（数学）参考答案 第 3 页 （共 4 页）
Z 学考（数学）参考答案 第 4 页 （共 4 页）绝密★启用前
2025 年 7 月浙江省普通高中学业水平考试
数 学
姓名 准考证号码
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分 100分，考试时间 80分钟。
考生注意：
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号码用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答
题纸规定的位置上。
2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷
上的作答一律无效。
3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用
2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
选择题部分
一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合
题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 已知一组样本数据为“2,2,3,5,6,7,8”，该样本数据的中位数是（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 2
2. 已知集合 = {1,2,3}， = {2,3,5}，则 ∪ =（ ）
A. {2} B. {2,3} C. {3,5} D. {1,2,3,5}
3. 函数 ( ) = √ 2 9的定义域为（ ）
A. ( 3,0) B. ( 3,0) ∪ (0,3)
C. ( ∞, 3] ∪ [3,+∞) D. ( 3,3)
4. 已知复数 = ，则| | =（ ）
A. B. C. 1 D. 1
5. 已知向量 = ( ,1)， = (2, 1)，且 ∥ ，则 的值是（ ）
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
6. 已知 的三个内角 、 、 ，则“ = 0”是“ 为直角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 及不充分也不必要条件

7. 若想要得到函数 = sin (3 + )的图像，只需要将 = sin3 的图像（ ）
6

A. 向左平移 个单位
6
Z 学考（数学）试题 第 1 页 （共 4 页）

B. 向右平移 个单位
6

C. 向左平移 个单位
18

D. 向右平移 个单位
18
8. 对于函数 = log5(1 ) + log5(1+ )，下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数，且在 ∈ ( 1,0)上单调递增
B. 是偶函数，且在 ∈ (1, +∞)上单调递减
C. 是奇函数，且在 ∈ ( 1,0)上单调递增
D. 是奇函数，且在 ∈ (1,+∞)上单调递减
9. 设函数 = 3 + ， = log3 + ， =
3+ 的零点分别为 1， 2， 3，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 1 < 2 < 3 B. 1 < 3 < 2 C. 2 < 1 < 3 D. 2< 3 < 1
10. 在直三棱柱 1 1 1中，已知 AB⊥AC，E 是 1 的中点，D 是 1的中点， AB=2，AC=1，
则 AB 与 DE 所成的角的大小为（ ）

A. B. C. D.
6 4 3 2
11. 在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，E 为 AB 上靠近点 B 的三等分点，F 为 BC 上的中点，连接 BD、
AF，BD 与 AF 交于点 M，则 cos∠BMF=（ ）
√5 √5 2√5 2√5
A. B. C. D.
5 5 5 5
12. 已知定义在 上的函数 ( )满足： ( + 1) = 2 ( )，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = (1 )，若 ( ) ≤
1在( ∞, ]上恒成立，则实数 的最大值为（ ）
5
A. B. 3
2
7 √2 7 √2
C. D. +
2 4 2 4
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题
目要求的，全部选对得 6 分，部分选对部分得分，不选、错选得 0 分）
13. 对于实数 、 、 、 ，下列选项中正确的是（ ）
A. > , + > + B. > , > , + > +
C. > , > D. > , > , >
14. 用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（ ）
A. 六边形 B. 五边形 C.矩形 D. 直角三角形
Z 学考（数学）试题 第 2 页 （共 4 页）
15. 如图所示，矩形 ABCD（AB>BC）的周长为 4，将 沿着矩形的对角线 BD 翻折至 ，PD
交 AB 于点 F，则下列说法中正确的是（ ）
A. 是等腰三角形
B. 的周长为 2
C. 面积的最小值为3 + 2√2
D. 面积的最大值为3 2√2
非选择题部分
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分）
1
16. 已知log3 = ，则 = . 2
0, | | ≤ 1
17. 函数 ( ) = { 1 | | ，已知 ∈ ，则
( ( )) = .
, > 1

18. 某校抽取了 100 名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可
以得出分数在区间[70,80)的人数为 .
频率/组距
四、解答题（本大题共 3 小题，共 37 分。第 19 题 12 分，第 20 题 12 分，第 21 题 13 分）
19.（12 分）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为 0.5，乙破译密码成功的概
率为 0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题：
（1）求甲和乙同时成功破译密码的概率；
（2）求密码被成功破译的概率.
Z 学考（数学）试题 第 3 页 （共 4 页）
20.（12 分）如图所示，四边形 1 1 1 1是正方形 在平面 上的投影（ 1∥ 1∥ 1∥ 1），
请回答下列问题：
（1）证明：平面 1 1∥平面 1 1；
（2）若 1 1 ⊥ 1 1，且 1 = 2，且 = 1 = 1 1 = 1.
（I）证明： 1 1 ⊥平面 1 1；
（II）试求 1 1 1 1的体积.
1 +2
21.（13 分）已知函数 ( ) = ， ( ) = ， ∈ .
2 +1
3
（1）已知 ∈ (0, )， = ，求 ( )的值；
2 4
（2）若 ( )的最小值为 0，求 的值；

（3）若对任意 ∈ [0, ]，存在 0 ∈ [ , ]，使得 ( ) ≥ ( 3 3 3 0
)恒成立，求 的取值范围.
Z 学考（数学）试题 第 4 页 （共 4 页）

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