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新课预习衔接 空间向量及其运算
一．选择题（共5小题）
1．（2024 浙江模拟）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，且，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024春 红桥区期末）已知向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），如果，那么x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
3．（2024 西安期末）向量，，若，则（　　）
A．， B．，
C．， D．x＝y＝1
4．（2024 玉林期末）如图，在四面体OABC中，N是BC的中点．设，，，用，，表示，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 诸暨市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，点P在A1C上，且，则（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024春 栖霞区校级月考）给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数λ，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（2，0，2）
D．点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，﹣1）
（多选）7．（2024 咸阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若A（1，2，3），B（2，﹣1，0），C（﹣1，2，0），D四点可以构成一个平行四边形，则D的坐标可以为（　　）
A．（0，﹣1，﹣3） B．（﹣2，5，3） C．（4，﹣1，3） D．（3，﹣2，0）
三．填空题（共3小题）
8．（2024春 华安县校级月考）已知，则　 　．
9．（2024春 连云港期中）设、是两个不共线的向量，已知2k，3，2，若A、B、D三点共线，求k的值为　 　．
10．（2024春 滨海新区校级期末）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 浙江模拟）棱长为2的正四面体PABC中，设，，．M，N分别是棱AB，PC的中点．
（1）用向量，，表示；
（2）求．
12．（2024 广丰区校级期末）如图，在棱长为4的正四面体ABCD中，E是AD的中点，，记．
（1）求x+y+z的值；
（2）求 ．
13．（2024 泰山区校级开学）如图所示，已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
14．（2024春 龙岩期中）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．
15．（2024春 长春期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是正方形，AD＝AB＝2，AA1＝1，∠A1AB＝∠DAA1＝60°，3，，设．
（1）试用表示；
（2）求MN的长度．
新课预习衔接 空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 浙江模拟）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据向量减法、加法和数乘的几何意义，及向量的数乘运算即可得解．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，是基础题．
2．（2024春 红桥区期末）已知向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），如果，那么x等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用．
【答案】B
【分析】利用向量与向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量（x，2，﹣1），（2，4，﹣2），，
∴，
解得x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（2024 西安期末）向量，，若，则（　　）
A．， B．，
C．， D．x＝y＝1
【考点】空间向量的共线与共面；平面向量的相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量平行的坐标表示列出方程组，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：因为向量，，且，
所以y≠0，且，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量平行的坐标表示及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
4．（2024 玉林期末）如图，在四面体OABC中，N是BC的中点．设，，，用，，表示，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】熟练利用向量加法的三角形法则进行运算即可．
【解答】解：∵在四面体OABC中，N是BC的中点，，，，
∴（）．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的运算，属于基础题．
5．（2024 诸暨市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，点P在A1C上，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024春 栖霞区校级月考）给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数λ，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（2，0，2）
D．点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，﹣1）
【考点】空间向量的数量积运算；平面向量的相等与共线；空间中的点的坐标；空间向量的共线与共面．
【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】AC
【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C．
【解答】解：对于A，可知，即A正确；
对于B，显然时，恒成立，此时λ不唯一或者不存在，故B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于D，易知点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，1），故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，涉及到向量共线，空间中的点对称等问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
（多选）7．（2024 咸阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若A（1，2，3），B（2，﹣1，0），C（﹣1，2，0），D四点可以构成一个平行四边形，则D的坐标可以为（　　）
A．（0，﹣1，﹣3） B．（﹣2，5，3） C．（4，﹣1，3） D．（3，﹣2，0）
【考点】空间向量的共线与共面；空间中的点的坐标．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】ABC
【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D点坐标，即得答案．
【解答】解：由题意得．
设D的坐标为（x，y，z），
若四边形ABDC为平行四边形，则，则（1，﹣3，﹣3）＝（x+1，y﹣2，z），
此时D的坐标为（0，﹣1，﹣3）．
若四边形ABCD为平行四边形，则，
则（1，﹣3，﹣3）＝（﹣x﹣1，﹣y+2，﹣z），此时D的坐标为（﹣2，5，3）．
若四边形ADBC为平行四边形，则，
则（x﹣1，y﹣2，z﹣3）＝（3，﹣3，0），此时D的坐标为（4，﹣1，3）．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024春 华安县校级月考）已知，则　　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可．
【解答】解：由，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间向量数量积的运算，重点考查了空间向量模的运算，属基础题．
9．（2024春 连云港期中）设、是两个不共线的向量，已知2k，3，2，若A、B、D三点共线，求k的值为　　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：，
∵A、B、D三点共线，
∴存在实数m使得m，
∴2km（），∴2＝3m，k＝2m，
解得k．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（2024春 滨海新区校级期末）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为 　11　．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】方程思想；平面向量及应用；空间向量及应用．
【答案】11．
【分析】根据空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，可得存在实数m，n使得mn，解出即可得出．
【解答】解：（﹣2，2，﹣2），（﹣1，6，﹣8），（x﹣4，﹣2，0），
∵空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，
∴存在实数m，n使得mn，
∴，解得x＝11．m＝﹣4，n＝1．
故答案为：11．
【点评】本题考查了空间向量坐标运算性质、平面向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 浙江模拟）棱长为2的正四面体PABC中，设，，．M，N分别是棱AB，PC的中点．
（1）用向量，，表示；
（2）求．
【考点】空间向量及其线性运算；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】转化思想；对应思想；综合法；定义法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据空间向量基本定理求解即可；
（2）由空间向量模长公式和数量积公式求解即可．
【解答】解：（1）在棱长为2的正四面体PABC中，
设，，，N，M分别是棱PC、AB的中点，
连接PM，
则，
∵，，，
∴根据空间向量的线性运算得．
（2）∵，
∵在正四面体PABC中的夹角为，
∴，
∴．
【点评】本题考查空间向量线性运算，向量的数量积和向量的模的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（2024 广丰区校级期末）如图，在棱长为4的正四面体ABCD中，E是AD的中点，，记．
（1）求x+y+z的值；
（2）求 ．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）9．
【分析】（1）由题意，用、和表示，即可得出x、y、z的值；
（2）由（1）知，利用数量积计算 的值即可．
【解答】解：（1）因为E是AD的中点，，
所以（），
又xyz，所以，，，
所以x+y+z；
（2）因为，所以，
由正四面体ABCD的棱长为4，可得 4×4×cos8，
且16，所以．
【点评】本题考查了空间向量的线性表示与数量积计算问题，是基础题．
13．（2024 泰山区校级开学）如图所示，已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）16；（2）0；（3）2．
【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解．
【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
（1）B（2，0，0），C（2，4，0），E（1，0，1），D1（0，4，2），
所以，故．
（2）B（2，0，0），F（0，2，2），A（0，0，0），B1（2，0，2），
所以，所以．
（3）C1（2，4，2），，，所以．
【点评】本题考查利用空间直角坐标系求数量积，属于基础题．
14．（2024春 龙岩期中）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为AD的中点得，化简即得结果；
（2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果．
【解答】解：（1）∵，所以，
∴，
∵点E为AD的中点，∴．
（2）∵，由（1）得
．
【点评】本题考查了向量的运算性质，属于基础题．
15．（2024春 长春期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是正方形，AD＝AB＝2，AA1＝1，∠A1AB＝∠DAA1＝60°，3，，设．
（1）试用表示；
（2）求MN的长度．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；数形结合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）化简（）；
（2）由题意可得A、M、C1三点共线，且M是线段AC1的中点，从而可得（），即可得，利用模的定义求解即可．
【解答】解：（1）
（）
；
（2）∵，∴M是线段D1B的中点，
∴A、M、C1三点共线，且M是线段AC1的中点，
∴（），
∴（）（）
，
∵||＝2，||＝2，||＝1， 0， 2×1×cos60°＝1， 2×1×cos60°＝1，
∴||
．
即MN的长度为．
【点评】本题考查了空间向量的综合应用，考查了数形结合的思想与转化思想的应用，考查了化简运算的能力，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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