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新课预习衔接 空间向量基本定理
一．选择题（共4小题）
1．（2024春 永昌县校级期末）已知是空间的一个基底，，若，则x+y＝（　　）
A．0 B．﹣6 C．6 D．5
2．（2024春 酒泉期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024春 长春期末）已知向量在基底下的坐标是（2，3，﹣1），则在基底下的坐标为（　　）
A．（﹣2，4，﹣1） B．（2，5，2） C．（2，5，﹣1） D．（﹣2，4，1）
4．（2024 德阳一模）已知，，表示共面的三个单位向量，⊥，那么（） （）的取值范围是（　　）
A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[1，1] D．[1，1]
二．多选题（共2小题）
（多选）5．（2024春 集宁区校级期末）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（　　）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，，则
D．若所在直线两两共面，则共面
（多选）6．（2024春 大荔县期末）给出下列命题，其中正确的有（　　）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
D．如果，是两个单位向量，则
三．填空题（共4小题）
7．（2024 江西期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝　 　．
8．（2024 南充月考）如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心．若，则x+y+z＝　 　．
9．（2024 市中区校级期中）若平面α的一个法向量为（﹣3，y，2），平面β的一个法向量为（6，﹣2，z），且α∥β，则y+z＝　 　．
10．（2023 公安县校级开学）已知基底，，，若，则μ＝　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 福建期中）已知（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．
（1）若l∥α，求a，b的关系式；
（2）若l⊥α，求a，b的值．
12．（2024 安康期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．若，，
（1）用基底表示向量；
（2）求向量的长度．
13．（2024 天河区校级月考）已知是空间的一个基底，且，，，．
（1）求证：M，A，B，C四点共面；
（2）能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由．
14．（2024 河南月考）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．
15．（2023春 宝塔区校级期中）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
（1）AE⊥CD；
（2）PD⊥平面ABE．
新课预习衔接 空间向量基本定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024春 永昌县校级期末）已知是空间的一个基底，，若，则x+y＝（　　）
A．0 B．﹣6 C．6 D．5
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间向量的共线与共面．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】首先化简向量，再代入向量平行的坐标表示公式，即可求解．
【解答】解：，因为，所以存在实数λ，使得，
所以，
所以解得
所以x+y＝6．
故选：C．
【点评】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题．
2．（2024春 酒泉期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据空间向量加法法则进行求解即可．
【解答】解：连接BD，
∵E为PD的中点，
∴（）（）
（）
（2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量基本定理的应用，根据向量加法法则进行转化是解决本题的关键，属基础题．
3．（2024春 长春期末）已知向量在基底下的坐标是（2，3，﹣1），则在基底下的坐标为（　　）
A．（﹣2，4，﹣1） B．（2，5，2） C．（2，5，﹣1） D．（﹣2，4，1）
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】由题意知，设在基底下的坐标为（x，y，z），根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解．
【解答】解：由题意知，设在基底下的坐标为（x，y，z），
所以，
所以，解得，
所以在基底下的坐标为（﹣2，4，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算和空间向量基本定理应用问题，是基础题．
4．（2024 德阳一模）已知，，表示共面的三个单位向量，⊥，那么（） （）的取值范围是（　　）
A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[1，1] D．[1，1]
【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【答案】D
【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可计算得到．
【解答】解：由⊥，则0，
又，为单位向量，则||，
则（） （）（）
＝（）1＝||cos1cos1，
由﹣1≤cos1，
则（） （）的取值范围是[1，1]．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）5．（2024春 集宁区校级期末）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（　　）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，，则
D．若所在直线两两共面，则共面
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用；空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理分别判断．
【解答】解：对于A：由空间向量基本定理，
可知只有当不共面时． 才能作为基底，得到，故A错误；
对于B：若是空间的一个基底，则不共面．，
求不出λ和μ，
所以也不共面，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
对于C：若，，则不一定平行，故C错误；
对于D：若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查的知识要点：空间向量的坐标运算，向量的垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
（多选）6．（2024春 大荔县期末）给出下列命题，其中正确的有（　　）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
D．如果，是两个单位向量，则
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理．
【答案】BD
【分析】根据共线向量、空间向量的基本定理、基底、单位向量概念等知识对选项进行分析，由此确定正确答案．
【解答】解：对于A，因为是空间的一组基底，所以，，为不共线的非零向量，故A错误；
对于B，因为，所以与共线，故，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C，当为空间的一组基底时，对于空间任一向量，
则存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，故C错误；
对于D，若，都是单位向量，则模长都为1，故，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查基底的定义，空间向量基本定理，命题真假的判断，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
7．（2024 江西期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝　　．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解．
【解答】解：连接BD，如图所示：
则，
又，所以．
故答案是：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
8．（2024 南充月考）如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心．若，则x+y+z＝　1　．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】1．
【分析】根据三角形重心的性质结合空间向量基本定理求解即可．
【解答】解：由于M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心，连接AM，
所以，
则，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题考查向量的线性运算及重心的向量式，属基础题．
9．（2024 市中区校级期中）若平面α的一个法向量为（﹣3，y，2），平面β的一个法向量为（6，﹣2，z），且α∥β，则y+z＝　﹣3　．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】数形结合；方程思想；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用面面平行的性质可得：∥，再利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵α∥β，
∴∥，
∴存在实数λ使得λ，
即（﹣3，y，2）＝λ（6，﹣2，z），
∴，解得λ，y＝1，z＝﹣4．
∴y+z＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了面面平行的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2023 公安县校级开学）已知基底，，，若，则μ＝　　．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的相等与共线．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】根据空间向量共线定理求解．
【解答】解：∵，，且，
∴，
解得μ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了空间向量共线定理，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 福建期中）已知（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．
（1）若l∥α，求a，b的关系式；
（2）若l⊥α，求a，b的值．
【考点】平面的法向量；直线与平面平行．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）5a﹣b+3＝0．
（2）a，b．
【分析】（1）由线面平行可得⊥，利用向量垂直数量积为0可得a，b的关系式；
（2）由线面垂直可得∥，利用向量平行的性质能求出a，b的值．
【解答】解：（1）∵（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，
（1，2，3）是平面α的法向量，
若l∥α，则⊥，
∴3+2（a+b）+3（a﹣b）＝0，
可得5a﹣b+3＝0．
（2）∵（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，
（1，2，3）是平面α的法向量，
若l⊥α，则∥，
∴，即，解得a，b．
【点评】本题考查平面的法向量，线面平行、垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2024 安康期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．若，，
（1）用基底表示向量；
（2）求向量的长度．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；数学运算．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得 （），把已知的条件代入化简可得结果．
（2）利用两个向量的数量积的定义求出基底中每个向量的模以及每两个向量的数量积，由|AC1|，运算求得结果．
【解答】解：（1）由题意可得 （），
故 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由条件得 1，2，3． ，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
故|AC1|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于中档题．
13．（2024 天河区校级月考）已知是空间的一个基底，且，，，．
（1）求证：M，A，B，C四点共面；
（2）能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据向量的线性（加减）关系判断是否成立，即可证结论；
（2）任何三个不共面的向量可以构成空间向量的一个基底，设向量，看能否求出对应的数值即可．
【解答】解：（1）由，，
而，则，
所以M，A，B，C四点共面；
（2）若共面，则设，
即，
所以，
则，
可得，
即，
即共面，
故不能作为基底．
【点评】本题考查向量共面的条件，使用了反证法，及用待定系数法表示空间向量，属于中档题．
14．（2024 河南月考）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（）（）﹣4．
【分析】设，又，根据对应系数相等列方程组求解即可．
【解答】解：设，整理可得：（x+y）（x﹣y）z，而向量，
所以，解得．
故（）（）﹣4．
【点评】本题考查用空间向量的基底求向量的方法，属于基础题．
15．（2023春 宝塔区校级期中）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
（1）AE⊥CD；
（2）PD⊥平面ABE．
【考点】直线与平面垂直；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】证明题；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE．
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．
【解答】证明：（1）PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥面PAC，AE 面PAC，
∴CD⊥AE．
（2）PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴PA＝AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面 ABCD，可得AB⊥PA，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
∴易知BA⊥PD，
∴PD⊥面ABE．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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