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新课预习衔接 空间向量及其运算的坐标表示
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 金安区校级期末）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（　　）
A．9 B．8 C．3 D．
2．（2024 隆回县校级期末）已知，，则（　　）
A．﹣19 B．﹣9 C．9 D．19
3．（2024 合肥期末）已知（1，﹣2，1），（﹣1，2，﹣1），则等于（　　）
A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（﹣2，0，﹣2） D．（2，1，﹣3）
4．（2024春 临洮县校级期中）设点M（1，﹣1，3），A（﹣2，0，4），O（0，0，0），若，则点B的坐标为（　　）
A．（1，0，﹣2） B．（﹣1，﹣1，7） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）
5．（2024 阿勒泰地区期末）已知向量，，则（　　）
A．（﹣3，2，5） B．（﹣3，2，﹣5）
C．（﹣3，﹣2，5） D．（﹣3，﹣2，﹣5）
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 桐柏县期末）已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则m＝4，n＝﹣4 B．若，则m＝﹣4，n＝4
C．若，则m﹣n+1＝0 D．若，则n﹣m+1＝0
（多选）7．（2024 解放区校级期末）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是（　　）
A．平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0）
B．平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）
C．平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1）
D．平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1）
三．填空题（共3小题）
8．（2024 新化县期末）已知向量，则λ＝　 　．
9．（2022秋 梁园区校级期末）已知向量（1，2，﹣2），则向量的单位向量　 　．
10．（2024 北辰区校级月考）已知向量，，，且（）∥，则m+n＝　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 福建期中）已知（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．
（1）若l∥α，求a，b的关系式；
（2）若l⊥α，求a，b的值．
12．（2023 西乡塘区校级开学）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面EAD1⊥平面EFD1．
13．（2024 晋江市期中）已知向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），O为坐标原点，点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．
（1）求|2|；
（2）若点E在直线AB上，且⊥b，求点E的坐标．
14．（2023春 宝塔区校级期中）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
（1）AE⊥CD；
（2）PD⊥平面ABE．
15．（2022秋 台山市校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4
（1）求证AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD？并说明理由．
新课预习衔接 空间向量及其运算的坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 金安区校级期末）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（　　）
A．9 B．8 C．3 D．
【考点】空间向量运算的坐标表示；空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】C
【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算．
【解答】解：由题意A（1，1，2），B（﹣1，3，4），C（2，4，4），则D（0，2，3），
所以，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模长，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
2．（2024 隆回县校级期末）已知，，则（　　）
A．﹣19 B．﹣9 C．9 D．19
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】由空间向量的数量积坐标公式即可求得结果．
【解答】解：因为，，所以，
则（﹣2）×3+（﹣1）×3+0×1＝﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3．（2024 合肥期末）已知（1，﹣2，1），（﹣1，2，﹣1），则等于（　　）
A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（﹣2，0，﹣2） D．（2，1，﹣3）
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算，求出向量的坐标即可．
【解答】解：∵（1，﹣2，1），（﹣1，2，﹣1），
∴（﹣1﹣1，2﹣（﹣2），﹣1﹣1）＝（﹣2，4，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算与坐标表示的应用问题，是基础题目．
4．（2024春 临洮县校级期中）设点M（1，﹣1，3），A（﹣2，0，4），O（0，0，0），若，则点B的坐标为（　　）
A．（1，0，﹣2） B．（﹣1，﹣1，7） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】设B（x，y，z），根据，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解．
【解答】解：设B（x，y，z），
则，且，
因为，可得，
解得x＝﹣1，y＝﹣1，z＝7，
即点B（﹣1，﹣1，7）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
5．（2024 阿勒泰地区期末）已知向量，，则（　　）
A．（﹣3，2，5） B．（﹣3，2，﹣5）
C．（﹣3，﹣2，5） D．（﹣3，﹣2，﹣5）
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】D
【分析】直接利用向量的坐标运算的应用求出结果．
【解答】解：向量，，
则（﹣3，﹣2，﹣5）．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 桐柏县期末）已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则m＝4，n＝﹣4 B．若，则m＝﹣4，n＝4
C．若，则m﹣n+1＝0 D．若，则n﹣m+1＝0
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】AC
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出m，n的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出m，n的关系判断C，D．
【解答】解：若，则，得m＝4，n＝﹣4，故A正确，B错误；
若，则，即m﹣n+1＝0，故C正确，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
（多选）7．（2024 解放区校级期末）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是（　　）
A．平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0）
B．平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）
C．平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1）
D．平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1）
【考点】平面的法向量．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】AC
【分析】由已知图形结合线面垂直的性质逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：因为（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，
所以AD⊥平面ABB1A1，故A正确；
因为（﹣1，0，0），而（1，1，1） 1≠0，
所以（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，故B错误；
因为（0，1，﹣1），（﹣1，0，1），
（1，1，1） 0，（1，1，1） 0，
B1C∩CD1＝C，所以（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；
因为（0，1，1），而 （0，1，1）＝2≠0，
所以（0，1，1）不是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查平面的法向量，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 新化县期末）已知向量，则λ＝　3或﹣2　．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】3或﹣2．
【分析】先求出，再求出，然后求出λ即可．
【解答】解：，
所以，解得λ＝3或者λ＝﹣2．
故答案为：3或﹣2．
【点评】本题考查空间向量的运算，属于基础题．
9．（2022秋 梁园区校级期末）已知向量（1，2，﹣2），则向量的单位向量　　．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标．
【解答】解：∵，∴，
∴向量的单位向量．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．
10．（2024 北辰区校级月考）已知向量，，，且（）∥，则m+n＝　18　．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】18．
【分析】根据空间向量平行的坐标运算列方程组求解参数，即可得结论．
【解答】解：由题意得，（3，1，6），
因为（）∥，
所以，
解得m＝6，n＝12，
所以m+n＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 福建期中）已知（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．
（1）若l∥α，求a，b的关系式；
（2）若l⊥α，求a，b的值．
【考点】平面的法向量；直线与平面平行．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）5a﹣b+3＝0．
（2）a，b．
【分析】（1）由线面平行可得⊥，利用向量垂直数量积为0可得a，b的关系式；
（2）由线面垂直可得∥，利用向量平行的性质能求出a，b的值．
【解答】解：（1）∵（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，
（1，2，3）是平面α的法向量，
若l∥α，则⊥，
∴3+2（a+b）+3（a﹣b）＝0，
可得5a﹣b+3＝0．
（2）∵（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，
（1，2，3）是平面α的法向量，
若l⊥α，则∥，
∴，即，解得a，b．
【点评】本题考查平面的法向量，线面平行、垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2023 西乡塘区校级开学）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面EAD1⊥平面EFD1．
【考点】平面与平面垂直．
【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间向量及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【答案】证明见解析．
【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可．
【解答】证明：如图建立空间直角坐标系，
则E（0，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），，，，，设面EAD1的法向量为，
则，即，
令x＝1，则y＝z＝1，所以；
设面EFD1的法向量为，
则，即，
令x＝2，则y＝z＝﹣1，所以；
因为，所以，
所以平面EAD1⊥平面EFD1．
【点评】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量证明面面垂直的方法等知识，属于基础题．
13．（2024 晋江市期中）已知向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），O为坐标原点，点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．
（1）求|2|；
（2）若点E在直线AB上，且⊥b，求点E的坐标．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）（，，）．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：（1）（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），
则（2，﹣6，4）+（﹣2，1，1）＝（0，﹣5，5），
故；
（2）点E在直线AB上，
则可设（﹣3+t，﹣1﹣t，4﹣2t）（t≠0），
∵⊥，（﹣2，1，1），
∴，即﹣2（﹣3+t）+（﹣1﹣t）+（4﹣2t）＝0，解得，
故点E的坐标为（，，）．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．d
14．（2023春 宝塔区校级期中）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
（1）AE⊥CD；
（2）PD⊥平面ABE．
【考点】直线与平面垂直；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】证明题；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE．
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．
【解答】证明：（1）PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥面PAC，AE 面PAC，
∴CD⊥AE．
（2）PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴PA＝AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面 ABCD，可得AB⊥PA，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
∴易知BA⊥PD，
∴PD⊥面ABE．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
15．（2022秋 台山市校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4
（1）求证AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD？并说明理由．
【考点】直线与平面垂直．
【专题】方程思想；定义法；立体几何；直观想象；数学运算．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）存在，理由见解答．
【分析】（1）以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明AC⊥BC1．
（2）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，则（﹣3λ，4λ，0），利用向量法求出在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，这时点D与点B重合．
【解答】解：（1）证明：直三棱柱中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，AC、BC、CC1两两垂直，
以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），
∵，（0，﹣4，4），
∴0，∴AC⊥BC1．
（2）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，
则（﹣3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，
于是，则D（3﹣3λ，4λ，0），
∵（﹣3，0，0），且AC1⊥CD，∴﹣9+9λ＝0，解得λ＝1，
∴在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，这时点D与点B重合．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查了方程思想，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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