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新课预习衔接 直线的方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 盐田区校级期末）“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y+7＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
2．（2024 邢台期末）若直线（3m﹣1）x+（m﹣1）y+1＝0与直线（m+1）x+（2﹣2m）y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）
A．m＝1或m B．m或m＝1 C．m D．m
3．（2024 重庆模拟）已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．9
4．（2024 邢台期末）已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C．k≤﹣4或 D．以上都不对
5．（2024 吉林期末）设直线l的方程为x+ycosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围（　　）
A．[0，π） B．[）
C．[] D．[）∪（]
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 临川区校级期末）已知直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，则（　　）
A．若l1⊥l2，则
B．若l1∥l2，则ab＝3
C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当b＜0时，l2不经过第一象限
（多选）7．（2024 渭滨区期末）已知直线l1：ax+2y+3a＝0和直线l2：3x+（a﹣1）y+7﹣a＝0，下列说法正确的是（　　）
A．当时，l1⊥l2
B．当a＝﹣2时，l1∥l2
C．直线l1过定点（﹣3，0）
D．当l1，l2平行时，两直线的距离为
三．填空题（共3小题）
8．（2024 九江二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知A（0，2），B（4，2），C（a，﹣1），且△ABC为圆x2+y2+Ex+Fy＝0内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为 　 　．
9．（2024 揭阳期末）求过两条直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程 　 　．
10．（2024 解放区校级期末）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，若l1∥l2，则m的值是 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 盐田区校级期末）已知菱形ABCD中，A（﹣4，7），C（2，﹣3），BC边所在直线过点P（5，9）．求：
（1）AD边所在直线的方程；
（2）对角线BD所在直线的方程．
12．（2024 邢台期末）已知直线l1：（a+1）x﹣2y﹣1＝0，直线l2：（2a﹣1）x﹣（a﹣2）y+1＝0．
（1）若l1∥l2，求实数a的值；
（2）若l1⊥l2，求实数a的值．
13．（2024 叙州区校级期末）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0．
（1）证明：不论m为何值，直线l过定点M．
（2）过（1）中点M，且与直线l垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l的方程．
14．（2024春 浦东新区期中）已知△ABC中，A（﹣2，1），B（4，3）．
（1）若C（3，﹣2），求BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（2）若点M（3，1）为边AC的中点，求BC边所在直线的一般式方程．
15．（2024 武汉期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求实数a的值．
新课预习衔接 直线的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 盐田区校级期末）“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y+7＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】A
【分析】分别当a＝3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．
【解答】解：当a＝3时，两直线分别为：3x+2y+9＝0，3x+2y+7＝0，
∴两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
∴a＝3或a＝﹣2，
综上所述，a＝3是两直线平行的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断，是基础题．
2．（2024 邢台期末）若直线（3m﹣1）x+（m﹣1）y+1＝0与直线（m+1）x+（2﹣2m）y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）
A．m＝1或m B．m或m＝1 C．m D．m
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】分类讨论；分类法；直线与圆；数据分析．
【答案】B
【分析】由题意，分类讨论，利用两条直线平行的性质，求得m的值．
【解答】解：∵直线（3m﹣1）x+（m﹣1）y+1＝0与直线（m+1）x+（2﹣2m）y﹣1＝0平行，
当m＝1时，两直线即 x，x，显然两直线平行，满足条件．
当m＝﹣1时，两直线即﹣4x﹣2y+1＝0，y，显然两直线不平行．
由，求得m，
综上可得，m＝1或m，
故选：B．
【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．
3．（2024 重庆模拟）已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．9
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；数据分析．
【答案】C
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a+2b＝1，再利用基本不等式的，求得的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0，且l1⊥l2，
∴（a﹣1）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab，8，当且仅当a＝2b时，等号成立．
则的最小值为8，
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
4．（2024 邢台期末）已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C．k≤﹣4或 D．以上都不对
【考点】恒过定点的直线．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】画出图形，由题意得 所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，
解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，
即 k，或 k4，
∴k，或k≤﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
5．（2024 吉林期末）设直线l的方程为x+ycosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围（　　）
A．[0，π） B．[）
C．[] D．[）∪（]
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】C
【分析】根据题意，分cosθ＝0和cosθ≠0两种情况加以讨论，结合余弦函数的值域和正切函数的单调性，即可得到直线l的倾斜角α的取值范围．
【解答】解：由题意，当cosθ＝0时，l的方程化x+3＝0，
此时，直线l的倾斜角α为90°；
当cosθ≠0时，将直线化成斜截式：yx
直线x+ycosθ+3＝0（θ∈R）的倾斜角为α，可得tanα
∵﹣1≤cosθ≤1且cosθ≠0
∴tanα∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
∵0°≤α＜180°，∴结合正切函数的单调性，可得45°≤α≤135°，且α≠90°
综上所述，直线l的倾斜角α的取值范围是：[]
故选：C．
【点评】本题给出直线方程含有余弦函数系数的形式，求直线倾斜角范围，着重考查了余弦函数的值域和正切函数的单调性等知识，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 临川区校级期末）已知直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，则（　　）
A．若l1⊥l2，则
B．若l1∥l2，则ab＝3
C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当b＜0时，l2不经过第一象限
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】BCD
【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可．
【解答】解：由题知，直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，
对于A，当l1⊥l2时，a+3b＝0，解得或a＝b＝0，故A错误；
对于B，当l1∥l2时，﹣ab+3＝0，解得ab＝3，故B正确；
对于C，在直线l1：ax﹣3y+1＝0中，
当x＝0时，，当y＝0时，，
所以l1与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
对于D，由题知当b＜0时，的图象为
故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查直线垂直、平行的性质，属于基础题．
（多选）7．（2024 渭滨区期末）已知直线l1：ax+2y+3a＝0和直线l2：3x+（a﹣1）y+7﹣a＝0，下列说法正确的是（　　）
A．当时，l1⊥l2
B．当a＝﹣2时，l1∥l2
C．直线l1过定点（﹣3，0）
D．当l1，l2平行时，两直线的距离为
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；向量法；直线与圆；数学运算．
【答案】ACD
【分析】对于A，通过k1 k2＝﹣1是否成立来判断；对于B，将a＝﹣2代入即可判断；对于C，将直线l1变形为a（x+3）+2y＝0，进而可得定点；对于D，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解．
【解答】解：对于A，当时，那么直线l1为，
直线l2为，此时两直线的斜率分别为和k2＝5，
所以有k1 k2＝﹣1，所以l1⊥l2，故A选项正确；
对于B，当a＝﹣2时，那么直线l1为x﹣y+3＝0，直线l2为x﹣y+3＝0，此时两直线重合，故B选项错误；
对于C，由直线l1：ax+2y+3a＝0，整理可得：a（x+3）+2y＝0，故直线l1过定点（﹣3，0），故C选项正确；
对于D，当l1，l2平行时，a（a﹣1）＝6，且2（7﹣a）≠3a（a﹣1），a（7﹣a）≠3 3a，解得：a＝3，
可得直线l1为：3x+2y+9＝0，l2为：3x+2y+4＝0，
此时两直线的距离，故D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断方法，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 九江二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知A（0，2），B（4，2），C（a，﹣1），且△ABC为圆x2+y2+Ex+Fy＝0内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为 　y＝1　．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】y＝1．
【分析】根据题意，将点A、B坐标代入△ABC的外接圆方程，由此求出圆心M与点C的坐标，然后算出△ABC的重心G的坐标，由GM确定的直线求出△ABC的欧拉线方程．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2+Ex+Fy＝0经过A（0，2）、B（4，2），所以，解得，
可得圆方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，圆心为M（2，1），半径r．
将C（a，﹣1）代入圆M的方程，得（a﹣2）2+（﹣1﹣1）2＝5，解得a＝3或1．
①当a＝3时，C的坐标为（3，﹣1），可得△ABC的重心为G（，），即G（，1），
结合△ABC的外心为M（2，1），可得欧拉线就是直线GM，方程为y＝1；
②当a＝1时，C的坐标为（1，﹣1），可得△ABC的重心为G（，），即G（，1），
同理可得△ABC的欧拉线方程为y＝1．
综上所述，△ABC的欧拉线方程为y＝1．
故答案为：y＝1．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、圆的方程及其性质等知识，属于中档题．
9．（2024 揭阳期末）求过两条直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程 　3x﹣4y+8＝0　．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】3x﹣4y+8＝0．
【分析】联立，解得两条直线的交点P的坐标，设与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程为3x﹣4y+m＝0，把P坐标代入解得m，即可得出要求的直线方程．
【解答】解：联立，解得，∴两条直线的交点为P（0，2），
设与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程为3x﹣4y+m＝0，
把P（0，2）代入可得0﹣8+m＝0，
解得m＝8，
∴要求的直线方程为3x﹣4y+8＝0，
故答案为：3x﹣4y+8＝0．
【点评】本题考查了直线的交点、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（2024 解放区校级期末）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，若l1∥l2，则m的值是 　﹣8　．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】﹣8．
【分析】由题意，利用两直线平行的性质，分类讨论，求得m的值．
【解答】解：∵直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，l1∥l2，
当m+6＝0时，m＝﹣6，此时，直线l1：﹣3x+5y＝23，l2：x＝4，不满足条件．
当m+6≠0时，由题意可得，求得m＝﹣8．
综上，m＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 盐田区校级期末）已知菱形ABCD中，A（﹣4，7），C（2，﹣3），BC边所在直线过点P（5，9）．求：
（1）AD边所在直线的方程；
（2）对角线BD所在直线的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）4x﹣y+23＝0；
（2）3x﹣5y+13＝0．
【分析】（1）由直线BC过点P，C，求出直线的斜率，由点斜式求出直线BC的方程；因为菱形的对边平行，所以可设直线AD的方程，将A点代入可得参数的值，进而求出直线AD的方程；
（2）求出线段AC的中点及直线AC的斜率，由菱形的对角线互相垂直平分可得直线BD的方程．
【解答】解：（1）因为BC边所在直线过点P（5，9），
所以直线BC的方程为：y+3（x﹣2），
即4x﹣y﹣11＝0，在菱形ABCD中可知AD∥BC，
所以设直线AD的方程为4x﹣y+m＝0，将点A（﹣4，7）代入4 （﹣4）﹣7+m＝0，
所以m＝23，
所以直线AD的方程为：4x﹣y+23＝0；
（2）由题意可得线段AC的中点M（，），即M（﹣1，2），
kAC，
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线BD的斜率为，
所以BD所在的直线方程为y﹣2（x+1），即3x﹣5y+13＝0．
【点评】本题考查直线的平行和垂直的性质的应用，属于基础题．
12．（2024 邢台期末）已知直线l1：（a+1）x﹣2y﹣1＝0，直线l2：（2a﹣1）x﹣（a﹣2）y+1＝0．
（1）若l1∥l2，求实数a的值；
（2）若l1⊥l2，求实数a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）a＝5；
（2）或a＝1．
【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的充要条件列方程求参数值即可．
【解答】解：（1）由l1∥l2，则（a+1）×[﹣（a﹣2）]＝﹣2（2a﹣1），且﹣2×1≠﹣（a﹣2）×（﹣1），
解得a＝5；
（2）由l1⊥l2，则（a+1）（2a﹣1）+2（a﹣2）＝0，
解得或a＝1．
【点评】本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题．
13．（2024 叙州区校级期末）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0．
（1）证明：不论m为何值，直线l过定点M．
（2）过（1）中点M，且与直线l垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l的方程．
【考点】恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5x﹣4y﹣9＝0．
【分析】（1）将直线方程改写成m（2x+y﹣14）+x+2y﹣13＝0形式，解方程组，即可求出直线恒过的定点的坐标；
（2）设出与直线l垂直的方程，分别令x＝0、y＝0求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果．
【解答】（1）证明：直线l的方程（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0，
可整理为m（2x+y﹣14）+x+2y﹣13＝0，
由，解得，
所以直线l过定点M（5，4）；
（2）解：由（1）知，直线l过定点M（5，4），
设过点M且与直线l垂直的直线方程为y＝k（x﹣5）+4（k＜0），
令x＝0，则y＝﹣5k+4，
令y＝0，则，
所以，
因为k＜0，所以﹣k＞0，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即5x﹣4y﹣9＝0．
【点评】本题考查两条直线垂直的性质的应用及直线恒过定点的求法，属于基础题．
14．（2024春 浦东新区期中）已知△ABC中，A（﹣2，1），B（4，3）．
（1）若C（3，﹣2），求BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（2）若点M（3，1）为边AC的中点，求BC边所在直线的一般式方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）x+5y﹣3＝0；（2）x+2y﹣10＝0．
【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可．
【解答】解：（1）因为B（4，3），C（3，﹣2），
所以，
因为AD是BC边上的高，
所以，
所以高AD所在直线的方程为；
（2）因为点M（3，1）为边AC的中点，
所以，
因此BC边所在直线的方程为．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，考查直线方程的求法，是基础题．
15．（2024 武汉期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求实数a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】对应思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两直线垂直的公式A1A2+B1B2＝0，即可求解；
（2）根据两直线平行，A1B2＝A2B1，求解a，再代回直线验证．
【解答】解：（1）若l1⊥l2，则
1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解得a＝0或2；
（2）若l1∥l2，则
∴a2＝﹣2a+3，解得a＝﹣3或1．
a＝﹣3时，l1：x﹣3y+3＝0，l2：3x﹣9y+5＝0，满足l1∥l2，
a＝1时，l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣1＝0，此时l1与l2重合，
所以a＝﹣3．
【点评】本题考查直线平行与垂直的计算，属于基础题．
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