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高一年级下学期冲刺期末模拟预测数 学
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．某班有50人，其中30名男生，20名女生，现调查平均身高，已知男、女生身高明显不同，抽取一个容量样本为10的样本，则抽出的男、女生人数之差为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
3．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．已知复数，则（）
A． B． C．4 D．5
5．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（）
A． B． C． D．
6．如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（）
A． B．
C．与平面所成的角为 D．四面体的体积为
7．线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（）
A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm
8．已知复数，，且，在复平面内对应向量为，，，（O为坐标原点），则的最小值为（）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．平行四边形三个顶点的坐标分别为，另一个顶点的坐标可以是（）
A． B． C． D．
10．定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）
A． B．
C．若，则 D．
11．（多选）下列对于棱长为a的正四面体的性质描述中正确的有（）
A．四个面都是正三角形 B．该正四面体的表面积为
C．该正四面体的体积为 D．有且只有两组对棱垂直
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．抛掷两枚硬币，事件A：至少有一个正面朝上，事件B：两个正面朝上，则事件A、B的关系是 .
13．若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为 ．
14．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系．
16．我们来定义“中位数”：中位数即一组从小到大排列的数据中，处于“中间”位置的数据，也就是说有大约的数据小于中位数，也有大约的数据大于中位数，即中位数左、右两边的数据的频率之和是相同的，都为．请利用“中位数”的定义，并根据下列某一组数据的频率分布直方图，估算这组数据中位数的值．
17．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面.证明：.
18．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求．
19.在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
(1)求第一次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率．
参考答案
1．D
【详解】抽出的男生人数为，女生人数为，
故抽出的男、女生人数之差为.
故选：D
2．B
【详解】连接，，如图所示.
易得，所以直线与所成的角为（或其补角）.
不妨设.
在中，易得，，，
由余弦定理得，
即直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
3．D
【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误;
对于B：因为，所以，
且，所以,所以或，故有两解，故B错误；
对于C：因为，所以无解，故C错误；
对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确.
故选：D
4．A
5．B
利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解.
【详解】连接，，则过点.如图所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，
∴.
故选：B.
6．B
对于A，若，根据线面垂直的判定定理得，得出矛盾可判断A；根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断B；由平面得就是与平面所成的角，求出可判断C；求出四面体的体积可判断D.
【详解】对于A，因为，，所以，
若，因为，，平面，平面，所以平面，
可得，这与矛盾，故A错误；
对于B，因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
得，又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，所以，故B正确；
对于C，平面，所以就是与平面所成的角，
因为，所以与平面所成的角为，故C错误；
对于D，四面体的体积为，故D错误.
故选：B.
7．D
根据A，B是否在平面的同一侧分类讨论进行求解即可.
【详解】当A，B在平面同侧时，如图所示：设，，
显然，由梯形中位线定理可知：，

当A，B在平面异侧时，如图所示：设，，

则有，且，
由平行线成比例定理可知中：
，
，得，
故选：D.
8．B
根据复数设出，表达出和，得到表达式，即可求出的最小值.
【详解】由题意，
，，且，
所以得，
设,
∴,
，
，
其中,
∴时, 取最小值为.
故选：B.
9．BCD
根据给定条件，按平行四边形的对角线情况分类，结合向量的坐标运算得解.
【详解】记点分别为，第4个顶点为，
当线段为平行四边形对角线时，，则点，B是；
当线段为平行四边形对角线时，，则点，D是；
当线段为平行四边形对角线时，，则点，C是.
故选：BCD
10．BD
A选项，可举出反例，当不共线且为负数时，；B选项，根据定义得到B正确；C选项，根据题意得到共线；D选项，结合正弦函数的值域得到D正确.
【详解】对于A，，，
若不共线,且为负数，则，而，
此时，故A错误；
对于B，由定义知，，故B正确；
对于C，若，则，共线，故C错误；
对于D，由定义知，又，
故，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：BD
11．ABC
根据正四面体的几何结构，以及锥体的侧面积和体积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】根据正四面体的定义知，正四面体的四个面都是全等的等边三角形，所以A正确；
如图所示，正四面体的棱长为，取等边的中心，连接，延长交于点，
可得平面，即为正四面体的高，设，
在等边中，可得，根据重心的性质，可得，
在直角中，可得，即，
又由正三角形的面积为，所以该正四面体的表面积为，
其体积为，所以B、C正确；
在正四面体中，由平面，且平面，所以，
又由，且，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证：，即正四面体的三组对棱均互相垂直，所以D错误．
故选：ABC.
12．
列举出事件A发生的不同结果以及事件B发生的不同结果，从而可得答案.
【详解】事件A：至少有一个正面朝上，事件A发生的不同结果是：（正，反），（反，正），（正，正）；
事件B：：两个正面朝上，事件发生的不同结果是：（正，正）；
所以，事件A、B的关系是.
故答案为：.
13．/
由正弦定理求得三角形的内角，然后再由面积公式计算．
【详解】由正弦定理得，
是三角形内角，则或，
若，则不合题意，舍去，故，，
．
故答案为：．
14．
通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
15．(1)答案见解析；
(2)事件互斥；事件互为对立事件；
(3)事件是事件与事件的并事件.
（1）利用列举法列出试验的样本空间，再分别列出各事件的基本事件作答.
（2）利用互斥事件与对立事件的定义逐个判断作答.
（3）根据事件分析事件的并事件及关系作答.
【详解】（1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，
所以试验的样本空间，
事件，事件，事件，
事件.
（2）由（1）知，，而，所以事件互斥，不对立；
，所以事件互为对立事件.
（3）由（1）知，，所以事件是事件与事件的并事件.
16．
设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】解：设中位数为，前个矩形的面积之和为，
前个矩形的面积之和为，，
由中位数的定义可得，解得.
因此，这组数据的中位数为.
17．证明见解析
利用面面垂直的性质推理即得.
【详解】在三棱台中，平面平面，，
而平面平面，平面，
所以平面.
∵面，面，
∴
18．(1)或
(2)当时，；当时，
（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.
（2）根据角的大小，结合余弦定理，即可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
因为，所以，因为，或.
（2）因为，，
当时， ，
因为，则；
当时， ，
因为，则.
综上，当时，；当时，
19．(1)
(2)
（1）根据古典概型求解即可；
（2）根据互斥事件的概率加法公式求解.
【详解】（1）两次取球的基本事件为，，共20个，
所以第一次取到红球的概率.
（2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件，
由（1）可知两次取到红球的概率，
两次取到黑球的概率，
所以两次取到的球颜色相同的概率.

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