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四川省广安友谊中学2024-2025学年九年级下学期5月模拟数学试题
1．（2025·广安模拟）的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025，
故答案为：C ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.
2．（2025·广安模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减、同底数幂除法、积的乘方计算、完全平方公式，对四个式子分别计算，再得出结论.
3．（2025·广安模拟）下列几何体中三个视图完全相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故A不符合题意；
圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故B不符合题意；
圆柱的三视图既有圆又有长方形，故C不符合题意；
球的三视图都是圆，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三视图的概念分析各个图形的三视图，再作出判断即可．
4．（2025·广安模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（1，-4）关于原点对称的点的坐标是（-1，4）.
故答案为：B.
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，可得答案.
5．（2025·广安模拟）下列说法正确的是（　　）
A．将580000用科学记数法表示为：
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定
D．“五边形的内角和是”是必然事件
【答案】D
【知识点】事件的分类；科学记数法表示大于10的数；中位数；方差；众数；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A：，错误；
B：这组数据中，中位数是，众数是8，错误；
C：甲乙两组平均成绩相同，方差越小，则成绩越稳定，成绩稳定的应该是乙组同学成绩，错误；
D：五边形内角和是是必然事件，正确.
故答案为：D.
【分析】根据科学记数法，中位数和众数，方差，五边形内角和公式即可判断出正确答案.
6．（2025·广安模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有人，物品价值元，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可．
7．（2025·广安模拟）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
，
整理得：，
合并同类项得：，
解得：．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，列出关于k的不等式求解，求出的取值范围．
8．（2025·广安模拟）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过D作垂足为F，
∵的面积为5，
∴，
∴，解得：，
∵平分交于点D，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形面积公式可得DF，再根据角平分线的性质即可解答．
9．（2025·广安模拟）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
10．（2025·广安模拟）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在、0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，
②错误；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，
③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．
④错误．
综上所述，①③正确，共2个．
故答案为：B
【分析】根据二次函数与坐标轴的交点、二次函数的图象与性质结合题意对①②③④逐一判断即可求解。
11．（2025·广安模拟）因式分解： 　 　.
【答案】(x+3y)(x-3y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y).
故答案为：(x+3y)(x-3y).
【分析】观察原式形式可知刚好是平方差公式的形式，由平方差公式： 两个数的平方差等于两个数的和与这两个数的差的积，可对原式进行因式分解.
12．（2025·广安模拟）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
方程两边都乘，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
13．（2025·广安模拟）如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接、，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接、，先根据等边对等角及三角形内角定理得出，，计算出
∠OCD=45°，从而得到等腰直角三角形OCD，再利用正弦函数的定义，求出半径OD，最后根据扇形面积公式及即可解答.
14．（2025·广安模拟）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：12．
【分析】根据题中的作图描述，得到平分，由“边角边”得到，再由全等的性质及勾股定理即可求解.
15．（2025·广安模拟）（1）计算：．
（2）先化简再求值，再从中选一个适当的代数式代入求值．
【答案】解：（1），
（2）
，
由，，得且，
∴选，则原式=．
【知识点】负整数指数幂；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、零指数幂，即可计算；
（2）先利用分式的混合运算法则将分式化简，再根据分式有意义的条件，把已知数据代入得出答案得到．
16．（2025·广安模拟）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级 时长（单位：分钟） 人数
10
10
4
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出m，n的值；
（2）该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数；
（3）本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）解：抽样调查的人数为（人，
，
．
．
（2）解：列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
（3）恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用等级的人数除以占比求出抽样调查的人数，再用等级的人数除以抽样调查的人数再乘以求出的值．用总人数减去其它等级的人数，求出的值；
（2）运用900乘以等级的占比解题；
（3）列表得到所有等可能的结果数，找出符合条件的的结果数，根据概率公式解题即可．
17．（2025·广安模拟）平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等．
如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，
由题意得：，，
∵，，
，
在中，，
，
∴，
，，
，
，
，
，
∵在中，，，
，，
∵在中，，，
，
，
点到的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】先根据，，可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再利用平角定义可得，从而可得，进而可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算．
18．（2025·广安模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把代入一次函数解析式求出，再将代入反比例函数解析即可求出的值；
（2）由于直线与直线平行，得，再把点代入求出B点坐标，代入中，求出，从而得出平移距离；结合图象判断出当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集．
（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，
∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
19．（2025·广安模拟）如图，是的直径，C为上一点，点D是的中点，连接交于点E，延长至F，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求和长．
【答案】（1）解：连接，
是的直径
，
，
垂直平分，
，
，
即，
∵点是的中点，
，
，
，
，
即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，
，
即，
，
，
在中，，
，
即，
，
，
，
，
∵是的直径，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得（不合，舍去）或，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，由圆周角定理可知，得出，再根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形三线合一得出，根据圆周角的性质得，即可得，即得，即可求证；
（2）由（1）可得，利用三角函数可得BD=2，，勾股定理求出，设，则，由勾股定理得，解方程求出即可求解；
（1）解：连接，
是的直径，
，
，
垂直平分，
，
，
即，
∵点是的中点，
，
，
，
，
即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，，
，
在中，，
，
即，
，
，
在中，，
，
即，
，
，
，
，
∵是的直径，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得（不合，舍去）或，
．
20．（2025·广安模拟）比较大小：　 　1．（填“>”或“<”）
【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵
∴
∴，即
故答案为：＞．
【分析】根据，再由不等式的性质将不等式变形，即可判断.
21．（2025·广安模拟）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为　 　.
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得：3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)=3xy+2y2-5-y2-3xy+4
=y2-1.
故答案为：y2-1.
【分析】根据题意列出3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)，然后根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”即可求解.
22．（2025·广安模拟）如图，在中，，，，则的度数为　 　；
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．
故答案为：
【分析】根据等腰三角形性质“等边对等角”和三角形内角和定理即可解答.
23．（2025·广安模拟）如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有　 　个；当（n为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有　 　个．（用含n的代数式表示）
【答案】3；
【知识点】三角形三边关系；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：当时，或4，
当时，，即，
c为偶数，则；
当时，，即，
c为偶数，则或8，满足条件；
三角形三边长分别为：2，6，6或4，6，6或4，6，8；
综上，当时，“幸运三角形” 有3个；
故答案为：3；
当时，“幸运三角形”是2，4，4，共1个；
当时，“幸运三角形”是2，6，6或4，6，6或4，6，8，共3个，；
当时， “幸运三角形”是2，8，8或4，8，8或4，8，10或6，8，8或6，8，10或6，8，12，共6个，；
当时， “幸运三角形”是2，10，10或4，10，10或4，10，12或6，10，10或6，10，12或6，10，14或8，10，10或8，10，12或8，10，14或8，10，16，共10个；，
“幸运三角形”的个数为：，
故答案为：．
【分析】先理解题目描述的新定义，先由b的值，确定a的值，再根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，确定c的范围，求出c的可能值，即可总结规律解答.
24．（2025·广安模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，…，
∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线的直线上，
由规律可得，，即点在第三象限的角平分线的直线上，
∴点，
故答案为：．
【分析】根据题意，选确定P点所在区域，，判断出点在第三象限的角平分线的直线上，再由点的变化规律写出坐标即可解答.
25．（2025·广安模拟）“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
【答案】（1）解：设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，
由题意可得：，
解得：
一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元；
（2）解：设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台，
由题意可得：，
解得：，
最少需要购买15台甲型自行车．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，根据等量关系列二元一次方程组求解；
（2）设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台， 根据不等关系列不等式求解．
26．（2025·广安模拟）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：连接，如图，
四边形是菱形，
点，点关于直线轴对称，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
；
（2）解：过点作于点，连接，，过点作于点，
四边形是菱形，，
，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
，
的最小值为，
，，
，
的最小值为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，利用线段垂直平分线的性质和菱形是轴对称图形即可证明出结论；
（2）过点作于点，连接，，过点作于点，证明出=2（AN+NG），再由垂线段最短即可找到2AH为所求最小值，再根据含30°的特殊直角三角形即可解答.
（1）解：连接，如图，
四边形是菱形，
点，点关于直线轴对称，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
；
（2）解：过点作于点，连接，，过点作于点，
四边形是菱形，，
，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
，
的最小值为，
，，
，
的最小值为．
27．（2025·广安模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，
当时，，
解得：或，
，，
设直线BC的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
1 / 1四川省广安友谊中学2024-2025学年九年级下学期5月模拟数学试题
1．（2025·广安模拟）的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．（2025·广安模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·广安模拟）下列几何体中三个视图完全相同的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·广安模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广安模拟）下列说法正确的是（　　）
A．将580000用科学记数法表示为：
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定
D．“五边形的内角和是”是必然事件
6．（2025·广安模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·广安模拟）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·广安模拟）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．（2025·广安模拟）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．4
10．（2025·广安模拟）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025·广安模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·广安模拟）分式方程的解是　 　．
13．（2025·广安模拟）如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．（2025·广安模拟）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为　 　．
15．（2025·广安模拟）（1）计算：．
（2）先化简再求值，再从中选一个适当的代数式代入求值．
16．（2025·广安模拟）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级 时长（单位：分钟） 人数
10
10
4
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出m，n的值；
（2）该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数；
（3）本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
17．（2025·广安模拟）平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等．
如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）
18．（2025·广安模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
19．（2025·广安模拟）如图，是的直径，C为上一点，点D是的中点，连接交于点E，延长至F，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求和长．
20．（2025·广安模拟）比较大小：　 　1．（填“>”或“<”）
21．（2025·广安模拟）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为　 　.
22．（2025·广安模拟）如图，在中，，，，则的度数为　 　；
23．（2025·广安模拟）如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有　 　个；当（n为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有　 　个．（用含n的代数式表示）
24．（2025·广安模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为　 　．
25．（2025·广安模拟）“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
26．（2025·广安模拟）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
27．（2025·广安模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025，
故答案为：C ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减、同底数幂除法、积的乘方计算、完全平方公式，对四个式子分别计算，再得出结论.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故A不符合题意；
圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故B不符合题意；
圆柱的三视图既有圆又有长方形，故C不符合题意；
球的三视图都是圆，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三视图的概念分析各个图形的三视图，再作出判断即可．
4．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（1，-4）关于原点对称的点的坐标是（-1，4）.
故答案为：B.
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】事件的分类；科学记数法表示大于10的数；中位数；方差；众数；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A：，错误；
B：这组数据中，中位数是，众数是8，错误；
C：甲乙两组平均成绩相同，方差越小，则成绩越稳定，成绩稳定的应该是乙组同学成绩，错误；
D：五边形内角和是是必然事件，正确.
故答案为：D.
【分析】根据科学记数法，中位数和众数，方差，五边形内角和公式即可判断出正确答案.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有人，物品价值元，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
，
整理得：，
合并同类项得：，
解得：．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，列出关于k的不等式求解，求出的取值范围．
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过D作垂足为F，
∵的面积为5，
∴，
∴，解得：，
∵平分交于点D，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形面积公式可得DF，再根据角平分线的性质即可解答．
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在、0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，
②错误；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，
③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．
④错误．
综上所述，①③正确，共2个．
故答案为：B
【分析】根据二次函数与坐标轴的交点、二次函数的图象与性质结合题意对①②③④逐一判断即可求解。
11．【答案】(x+3y)(x-3y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y).
故答案为：(x+3y)(x-3y).
【分析】观察原式形式可知刚好是平方差公式的形式，由平方差公式： 两个数的平方差等于两个数的和与这两个数的差的积，可对原式进行因式分解.
12．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
方程两边都乘，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接、，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接、，先根据等边对等角及三角形内角定理得出，，计算出
∠OCD=45°，从而得到等腰直角三角形OCD，再利用正弦函数的定义，求出半径OD，最后根据扇形面积公式及即可解答.
14．【答案】12
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：12．
【分析】根据题中的作图描述，得到平分，由“边角边”得到，再由全等的性质及勾股定理即可求解.
15．【答案】解：（1），
（2）
，
由，，得且，
∴选，则原式=．
【知识点】负整数指数幂；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、零指数幂，即可计算；
（2）先利用分式的混合运算法则将分式化简，再根据分式有意义的条件，把已知数据代入得出答案得到．
16．【答案】（1）解：抽样调查的人数为（人，
，
．
．
（2）解：列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
（3）恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用等级的人数除以占比求出抽样调查的人数，再用等级的人数除以抽样调查的人数再乘以求出的值．用总人数减去其它等级的人数，求出的值；
（2）运用900乘以等级的占比解题；
（3）列表得到所有等可能的结果数，找出符合条件的的结果数，根据概率公式解题即可．
17．【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，
由题意得：，，
∵，，
，
在中，，
，
∴，
，，
，
，
，
，
∵在中，，，
，，
∵在中，，，
，
，
点到的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】先根据，，可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再利用平角定义可得，从而可得，进而可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算．
18．【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把代入一次函数解析式求出，再将代入反比例函数解析即可求出的值；
（2）由于直线与直线平行，得，再把点代入求出B点坐标，代入中，求出，从而得出平移距离；结合图象判断出当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集．
（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，
∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
19．【答案】（1）解：连接，
是的直径
，
，
垂直平分，
，
，
即，
∵点是的中点，
，
，
，
，
即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，
，
即，
，
，
在中，，
，
即，
，
，
，
，
∵是的直径，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得（不合，舍去）或，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，由圆周角定理可知，得出，再根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形三线合一得出，根据圆周角的性质得，即可得，即得，即可求证；
（2）由（1）可得，利用三角函数可得BD=2，，勾股定理求出，设，则，由勾股定理得，解方程求出即可求解；
（1）解：连接，
是的直径，
，
，
垂直平分，
，
，
即，
∵点是的中点，
，
，
，
，
即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，，
，
在中，，
，
即，
，
，
在中，，
，
即，
，
，
，
，
∵是的直径，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得（不合，舍去）或，
．
20．【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵
∴
∴，即
故答案为：＞．
【分析】根据，再由不等式的性质将不等式变形，即可判断.
21．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得：3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)=3xy+2y2-5-y2-3xy+4
=y2-1.
故答案为：y2-1.
【分析】根据题意列出3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)，然后根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”即可求解.
22．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．
故答案为：
【分析】根据等腰三角形性质“等边对等角”和三角形内角和定理即可解答.
23．【答案】3；
【知识点】三角形三边关系；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：当时，或4，
当时，，即，
c为偶数，则；
当时，，即，
c为偶数，则或8，满足条件；
三角形三边长分别为：2，6，6或4，6，6或4，6，8；
综上，当时，“幸运三角形” 有3个；
故答案为：3；
当时，“幸运三角形”是2，4，4，共1个；
当时，“幸运三角形”是2，6，6或4，6，6或4，6，8，共3个，；
当时， “幸运三角形”是2，8，8或4，8，8或4，8，10或6，8，8或6，8，10或6，8，12，共6个，；
当时， “幸运三角形”是2，10，10或4，10，10或4，10，12或6，10，10或6，10，12或6，10，14或8，10，10或8，10，12或8，10，14或8，10，16，共10个；，
“幸运三角形”的个数为：，
故答案为：．
【分析】先理解题目描述的新定义，先由b的值，确定a的值，再根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，确定c的范围，求出c的可能值，即可总结规律解答.
24．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，…，
∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线的直线上，
由规律可得，，即点在第三象限的角平分线的直线上，
∴点，
故答案为：．
【分析】根据题意，选确定P点所在区域，，判断出点在第三象限的角平分线的直线上，再由点的变化规律写出坐标即可解答.
25．【答案】（1）解：设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，
由题意可得：，
解得：
一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元；
（2）解：设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台，
由题意可得：，
解得：，
最少需要购买15台甲型自行车．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，根据等量关系列二元一次方程组求解；
（2）设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台， 根据不等关系列不等式求解．
26．【答案】（1）解：连接，如图，
四边形是菱形，
点，点关于直线轴对称，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
；
（2）解：过点作于点，连接，，过点作于点，
四边形是菱形，，
，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
，
的最小值为，
，，
，
的最小值为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，利用线段垂直平分线的性质和菱形是轴对称图形即可证明出结论；
（2）过点作于点，连接，，过点作于点，证明出=2（AN+NG），再由垂线段最短即可找到2AH为所求最小值，再根据含30°的特殊直角三角形即可解答.
（1）解：连接，如图，
四边形是菱形，
点，点关于直线轴对称，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
；
（2）解：过点作于点，连接，，过点作于点，
四边形是菱形，，
，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
，
的最小值为，
，，
，
的最小值为．
27．【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，
当时，，
解得：或，
，，
设直线BC的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
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