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甘肃省白银市2025年中考数学真题试卷
1．（2025·白银）（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】
解：-2+5=3
故答案为：D.
【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加取绝对值较大加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，即可解答.
2．（2025·白银）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约45142000000颗，彰显了中国芯片业的强大实力.数据45142000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：45142000000=4.5142×1010，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
3．（2025·白银）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据整式的加减运算法则：字母及字母指数不变，系数相加，可判断A；由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减，可判断B；根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可判断C；根据积的乘方法则，结果等于每一个因式的乘方，可判断D；逐一判断即可解答.
4．（2025·白银）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1=80°，∠2=110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条α与木条b平行，则可将木条旋转（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴可将木条绕点顺时针旋转的度数为：110°-80°=30°，
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得，然后结合题意得将木条绕点顺时针旋转的度数.
5．（2025·白银）关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥3
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，据此得关于的不等式，解不等式即可得的取值范围.
6．（2025·白银）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设原多边形的边数为，
∵原多边形的内角和为1620°，
∴，
解得：，
∵按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数增加1，
∴新多边形的边数为12，
故答案为：A.
【分析】设原多边形的边数为，根据多边形内角和公式得关于的方程，解方程求出的值，再根据新多边形的边数增加1得到答案.
7．（2025·白银）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补得，由圆周角定理得，据此即可求的度数.
8．（2025·白银）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺词增出：阅读是人类获取知识，启智增惠、培养遐想的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，养浩然之气。中华民族自
古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格。如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（　　）
A．2022年，人均纸质书阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书箱阅读量逐年上升
【答案】C
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：A、2022年，人均纸质书阅读量为5本，故A正确；
B、2023年，人均电子书籍阅读量为11本，故B正确；
C、由12.3÷5.3≈2.3，得2024年，人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误；
D、2016年至2024年，人均电子书箱阅读量逐年上升，故D正确；
故答案为：C.
【分析】根据统计图中的数据逐项进行判断即可.
9．（2025·白银）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，
∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m，
故答案为：B.
【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解.
10．（2025·白银）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与×的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
【答案】A
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；三角形的中位线定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：根据题意，可知当点与点重合时，的面积取得最大值，最大值为4，
∵是等腰直角三角形，，为的中点，
∴，
∴，
当点运动到中点时，有是中位线，
∴
故答案为：A.
【分析】根据点的运动可知的面积先增大再减小，且当点与点重合时，的面积取得最大值为4，然后结合三角形中线的性质以及三角形面积公式求出的长，最后根据三角形中位线定理求出的长.
11．（2025·白银）因式分解： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = 。
故答案为： 。
【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。
12．（2025·白银）方程的解是　 　.
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：.
【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程得的值，最后检验的值即可.
13．（2025·白银）已知点A（2，y1）.B（6，y2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，如果y1＞y2那么k=　 　（请写出一个符合条件的k值）
【答案】1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数上，且，
∴，
∴，
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】根据反比例函数的图像与性质，当时，在每一象限内，随的增大而减小；当时，在每一象限内，随的增大而增大，据此即可求解.
14．（2025·白银）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处.B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm，则AD=　 　cm
【答案】12
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，为等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵把平行四边形纸片沿对角线折叠，点落在点处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形以及等边三角形的性质得，，，从而得，由折叠的性质求出，进而得，最后利用含30°的直角三角形的性质求出的值.
15．（2025·白银）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列人国家非物质文化进产名录，为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD。已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为　 　cm.
【答案】195
【知识点】图形的相似；相似比
【解析】【解答】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，
∴大、小风筝相似，且相似比为3：1，
∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，
∴大风筝两条对角线的长分别为30×3=90cm和35×3=105cm，
∴大风筝两条对角线长的和为90+105=195cm，
故答案为：195.
【分析】根据相似图形的定义得大、小风筝相似以及它们的相似比，从而得大风筝两条对角线的长，进而求和即可.
16．（2025·白银）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衔之美。如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……则第5个图形中共有　 　个正方形.
【答案】31
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图形的正方形个数为1，
第2个图形的正方形个数为1+21=3，
第3个图形的正方形个数为1+21+22=7，
......
第n个图形的正方形个数为1+21+22+...+2n-1，
∴当n=5时，即第5个图形的正方形个数为1+21+22+23+24=31，
故答案为：31.
【分析】先分别求出前3个图形的正方形个数，从而得到规律：第n个图形的正方形个数为1+21+22+...+2n-1，进而将n=1代入进行计算即可.
17．（2025·白银）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据开平方运算得，根据二次根式的乘法运算，再计算加减即可解答 ．
18．（2025·白银）解不等式组：
【答案】解：解不等式组：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式①，解不等式，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，解答即可．
19．（2025·白银）化简：.
【答案】解：原式=
=
=
.
【知识点】平方差公式及应用；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】先利用平方差公式将分式分母进行展开，然后将除法变成乘法进行约分化简，最后进行分式的加法计算.
20．（2025·白银）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，放称“月洞门”，其形制可追翻至汉代，但真正在美学与功能上成热于宋代，北宋建筑学家李诚编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一，如图2是古人根据（营造法式》中的”五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN.垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O：
④以点O为圆心，OC的长为半径作.
则就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】直接根据作图步骤进行尺规作图即可.
21．（2025·白银）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形、分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定、转动转盘，等转盘停止转动后、观察指针所将区城的颜色，若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘。
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为　 　.
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后、再第二次转动转盘），用
树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率。
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
∴共有9种等可能结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种，
∴指针所落区域颜色不同的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵转盘被等分成3个扇形、分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，
∴任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式进行求解；
（2）用”列表法“得到所有的等可能结果数，从而得指针所落区域颜色不同的结果数，进而利用概率公式进行求解.
22．（2025·白银）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系，随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低。为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动、如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m（测角仪的高度），DF=CE=5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）.（参考数据：sin22°≈0.37，co82°2≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）
【答案】解：设长为m，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴长城第一墩的高度约为8.3m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设长为m，在和，分别解直角三角形得的长，结合得关于的方程，解方程得的长，根据题意得的长，最后求的长即可.
23．（2025·白银）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m=　 　，n=　 　.
（2）　 　队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以。你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）。
【答案】（1）8.5；8
（2）乙
（3）解：小瑜说的不对，理由如下：
①甲、乙两人射击成绩的平均数相等，乙成绩的中位数和众数比甲高，故推荐乙队员参加比赛；
或②甲、乙两人射击成绩的平均数相等，乙成绩的方差小于甲的方差，发挥更稳定，故推荐乙队员参加比赛.（答案不唯一）
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）将乙队员的射击成绩按从小到大进行排列为：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10，
∴中位数，
∵甲队员射击成绩中8环的次数最多，
∴众数n=8，
故答案为：8.5，8；
（2）∵甲队员射击成绩的方差为2.01，乙队员射击成绩的方差为1.61，
∴2.01>1.61，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定，
故答案为：乙.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解；
（2）根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此得到答案；
（3）平均数相同，可根据众数和中位数或者方差的意义进行求解.
24．（2025·白银）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象交于点B（-1，a）.将一次函数的图象向下平移m（m>0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为3时，求m的值.
【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
将点坐标代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵一次函数的图象交轴于点，
∴，
∵，
∴，
又∵的面积为3，
∴，
∴，
∵将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点，
∴平移后的一次函数表达式为，
∴，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点坐标代入一次函数表达式中求出的值，从而得，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式；
（2）过点作轴于，先求出，由点坐标得，然后利用三角形面积公式得，根据一次函数的平移变换规律得平移后的一次函数表达式，从而得，进而即可求出的值.
25．（2025·白银）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在上，，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，.
（1）证明：CD是的切线；
（2）若四边形ABCO是平行四边形，EF=3，求CD的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴在中，.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形“等边对等角”性质进行等量代换得，根据直径所对的圆周角是直角得，从而推出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）根据平行四边形的性质得，从而得，进而求出，然后证明四边形是菱形，根据菱形的性质得，于是推出为等边三角形，得，最后在中，解直角三角形求出的长.
26．（2025·白银）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外）、△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上.
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说
明理由：
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，点与点重合，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由(2)得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，，从而得，然后求出，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求出，，然后利用“一线三垂直”全等模型证明，得；
（3）过点作于点，先推出，根据平行线分线段成比例定理得，从而得是的中位线，进而由三角形中位线定理得，然后结合（2）中的三角形全等得，于是有，最后在中，利用勾股定理即可得.
27．（2025·白银）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，B（0，-4）两点，M为OA的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD.求的面积；
（3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转得到OF.
①当时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接PF，当点E在运动时，求PF的最小值.
【答案】（1）解：将代入，得，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线交轴于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，点的横坐标为2，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：①点在抛物线上，理由如下：
如图2，画出线段，连接，过点作于点，
∵ 将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴点在抛物线上；
②如图3，连接并延长交轴于点（若点与点重合，则点与点重合)，过点作于，连接，，
由①同理可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，
当，即点与重合时，的值最小，
∴的最小值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；垂线段最短及其应用；三角形三边关系；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）将点坐标代入抛物线表达式中求出的值即可求解；
（2）先求出点坐标，从而得是等腰直角三角形，进而得，，然后求出点的横坐标为2，，，于是得，最后利用三角形面积公式进行求解；
（3）①画出线段，连接，过点作于点，根据旋转的性质得，，由“旋转全等”模型推出，得，，然后证明是等腰直角三角形，得，，于是求出，最后将点坐标代入抛物线表达式进行验证即可；
②连接并延长交轴于点（若点与点重合，则点与点重合)，过点作于，连接，，先求出，是等腰直角三角形，则有，，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得，由三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，接下来由垂线段最短得当，即点与重合时，的值最小，最后得的最小值为的值.
1 / 1甘肃省白银市2025年中考数学真题试卷
1．（2025·白银）（　　）
A． B． C． D．3
2．（2025·白银）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约45142000000颗，彰显了中国芯片业的强大实力.数据45142000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·白银）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·白银）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1=80°，∠2=110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条α与木条b平行，则可将木条旋转（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
5．（2025·白银）关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥3
6．（2025·白银）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
7．（2025·白银）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
8．（2025·白银）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺词增出：阅读是人类获取知识，启智增惠、培养遐想的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，养浩然之气。中华民族自
古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格。如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（　　）
A．2022年，人均纸质书阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书箱阅读量逐年上升
9．（2025·白银）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
10．（2025·白银）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与×的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
11．（2025·白银）因式分解： =　 　.
12．（2025·白银）方程的解是　 　.
13．（2025·白银）已知点A（2，y1）.B（6，y2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，如果y1＞y2那么k=　 　（请写出一个符合条件的k值）
14．（2025·白银）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处.B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm，则AD=　 　cm
15．（2025·白银）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列人国家非物质文化进产名录，为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD。已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为　 　cm.
16．（2025·白银）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衔之美。如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……则第5个图形中共有　 　个正方形.
17．（2025·白银）计算：．
18．（2025·白银）解不等式组：
19．（2025·白银）化简：.
20．（2025·白银）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，放称“月洞门”，其形制可追翻至汉代，但真正在美学与功能上成热于宋代，北宋建筑学家李诚编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一，如图2是古人根据（营造法式》中的”五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN.垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O：
④以点O为圆心，OC的长为半径作.
则就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.
21．（2025·白银）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形、分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定、转动转盘，等转盘停止转动后、观察指针所将区城的颜色，若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘。
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为　 　.
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后、再第二次转动转盘），用
树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率。
22．（2025·白银）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系，随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低。为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动、如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m（测角仪的高度），DF=CE=5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）.（参考数据：sin22°≈0.37，co82°2≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）
23．（2025·白银）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m=　 　，n=　 　.
（2）　 　队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以。你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）。
24．（2025·白银）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象交于点B（-1，a）.将一次函数的图象向下平移m（m>0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为3时，求m的值.
25．（2025·白银）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在上，，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，.
（1）证明：CD是的切线；
（2）若四边形ABCO是平行四边形，EF=3，求CD的长.
26．（2025·白银）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外）、△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上.
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说
明理由：
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.
27．（2025·白银）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，B（0，-4）两点，M为OA的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD.求的面积；
（3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转得到OF.
①当时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接PF，当点E在运动时，求PF的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】
解：-2+5=3
故答案为：D.
【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加取绝对值较大加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，即可解答.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：45142000000=4.5142×1010，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据整式的加减运算法则：字母及字母指数不变，系数相加，可判断A；由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减，可判断B；根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可判断C；根据积的乘方法则，结果等于每一个因式的乘方，可判断D；逐一判断即可解答.
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴可将木条绕点顺时针旋转的度数为：110°-80°=30°，
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得，然后结合题意得将木条绕点顺时针旋转的度数.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，据此得关于的不等式，解不等式即可得的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设原多边形的边数为，
∵原多边形的内角和为1620°，
∴，
解得：，
∵按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数增加1，
∴新多边形的边数为12，
故答案为：A.
【分析】设原多边形的边数为，根据多边形内角和公式得关于的方程，解方程求出的值，再根据新多边形的边数增加1得到答案.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补得，由圆周角定理得，据此即可求的度数.
8．【答案】C
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：A、2022年，人均纸质书阅读量为5本，故A正确；
B、2023年，人均电子书籍阅读量为11本，故B正确；
C、由12.3÷5.3≈2.3，得2024年，人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误；
D、2016年至2024年，人均电子书箱阅读量逐年上升，故D正确；
故答案为：C.
【分析】根据统计图中的数据逐项进行判断即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，
∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m，
故答案为：B.
【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；三角形的中位线定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：根据题意，可知当点与点重合时，的面积取得最大值，最大值为4，
∵是等腰直角三角形，，为的中点，
∴，
∴，
当点运动到中点时，有是中位线，
∴
故答案为：A.
【分析】根据点的运动可知的面积先增大再减小，且当点与点重合时，的面积取得最大值为4，然后结合三角形中线的性质以及三角形面积公式求出的长，最后根据三角形中位线定理求出的长.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = 。
故答案为： 。
【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。
12．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：.
【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程得的值，最后检验的值即可.
13．【答案】1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数上，且，
∴，
∴，
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】根据反比例函数的图像与性质，当时，在每一象限内，随的增大而减小；当时，在每一象限内，随的增大而增大，据此即可求解.
14．【答案】12
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，为等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵把平行四边形纸片沿对角线折叠，点落在点处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形以及等边三角形的性质得，，，从而得，由折叠的性质求出，进而得，最后利用含30°的直角三角形的性质求出的值.
15．【答案】195
【知识点】图形的相似；相似比
【解析】【解答】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，
∴大、小风筝相似，且相似比为3：1，
∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，
∴大风筝两条对角线的长分别为30×3=90cm和35×3=105cm，
∴大风筝两条对角线长的和为90+105=195cm，
故答案为：195.
【分析】根据相似图形的定义得大、小风筝相似以及它们的相似比，从而得大风筝两条对角线的长，进而求和即可.
16．【答案】31
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图形的正方形个数为1，
第2个图形的正方形个数为1+21=3，
第3个图形的正方形个数为1+21+22=7，
......
第n个图形的正方形个数为1+21+22+...+2n-1，
∴当n=5时，即第5个图形的正方形个数为1+21+22+23+24=31，
故答案为：31.
【分析】先分别求出前3个图形的正方形个数，从而得到规律：第n个图形的正方形个数为1+21+22+...+2n-1，进而将n=1代入进行计算即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据开平方运算得，根据二次根式的乘法运算，再计算加减即可解答 ．
18．【答案】解：解不等式组：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式①，解不等式，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，解答即可．
19．【答案】解：原式=
=
=
.
【知识点】平方差公式及应用；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】先利用平方差公式将分式分母进行展开，然后将除法变成乘法进行约分化简，最后进行分式的加法计算.
20．【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】直接根据作图步骤进行尺规作图即可.
21．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
∴共有9种等可能结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种，
∴指针所落区域颜色不同的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵转盘被等分成3个扇形、分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，
∴任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式进行求解；
（2）用”列表法“得到所有的等可能结果数，从而得指针所落区域颜色不同的结果数，进而利用概率公式进行求解.
22．【答案】解：设长为m，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴长城第一墩的高度约为8.3m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设长为m，在和，分别解直角三角形得的长，结合得关于的方程，解方程得的长，根据题意得的长，最后求的长即可.
23．【答案】（1）8.5；8
（2）乙
（3）解：小瑜说的不对，理由如下：
①甲、乙两人射击成绩的平均数相等，乙成绩的中位数和众数比甲高，故推荐乙队员参加比赛；
或②甲、乙两人射击成绩的平均数相等，乙成绩的方差小于甲的方差，发挥更稳定，故推荐乙队员参加比赛.（答案不唯一）
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）将乙队员的射击成绩按从小到大进行排列为：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10，
∴中位数，
∵甲队员射击成绩中8环的次数最多，
∴众数n=8，
故答案为：8.5，8；
（2）∵甲队员射击成绩的方差为2.01，乙队员射击成绩的方差为1.61，
∴2.01>1.61，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定，
故答案为：乙.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解；
（2）根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此得到答案；
（3）平均数相同，可根据众数和中位数或者方差的意义进行求解.
24．【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
将点坐标代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵一次函数的图象交轴于点，
∴，
∵，
∴，
又∵的面积为3，
∴，
∴，
∵将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点，
∴平移后的一次函数表达式为，
∴，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点坐标代入一次函数表达式中求出的值，从而得，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式；
（2）过点作轴于，先求出，由点坐标得，然后利用三角形面积公式得，根据一次函数的平移变换规律得平移后的一次函数表达式，从而得，进而即可求出的值.
25．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴在中，.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形“等边对等角”性质进行等量代换得，根据直径所对的圆周角是直角得，从而推出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）根据平行四边形的性质得，从而得，进而求出，然后证明四边形是菱形，根据菱形的性质得，于是推出为等边三角形，得，最后在中，解直角三角形求出的长.
26．【答案】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，点与点重合，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由(2)得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，，从而得，然后求出，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求出，，然后利用“一线三垂直”全等模型证明，得；
（3）过点作于点，先推出，根据平行线分线段成比例定理得，从而得是的中位线，进而由三角形中位线定理得，然后结合（2）中的三角形全等得，于是有，最后在中，利用勾股定理即可得.
27．【答案】（1）解：将代入，得，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线交轴于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，点的横坐标为2，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：①点在抛物线上，理由如下：
如图2，画出线段，连接，过点作于点，
∵ 将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴点在抛物线上；
②如图3，连接并延长交轴于点（若点与点重合，则点与点重合)，过点作于，连接，，
由①同理可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，
当，即点与重合时，的值最小，
∴的最小值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；垂线段最短及其应用；三角形三边关系；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）将点坐标代入抛物线表达式中求出的值即可求解；
（2）先求出点坐标，从而得是等腰直角三角形，进而得，，然后求出点的横坐标为2，，，于是得，最后利用三角形面积公式进行求解；
（3）①画出线段，连接，过点作于点，根据旋转的性质得，，由“旋转全等”模型推出，得，，然后证明是等腰直角三角形，得，，于是求出，最后将点坐标代入抛物线表达式进行验证即可；
②连接并延长交轴于点（若点与点重合，则点与点重合)，过点作于，连接，，先求出，是等腰直角三角形，则有，，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得，由三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，接下来由垂线段最短得当，即点与重合时，的值最小，最后得的最小值为的值.
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