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第十三章 三角形
章末复习
【核心考点整合】
考点1 三角形的三边关系
1.小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形。若其中两条边的长度分别为1km 和3km，则另一条边的长度可能是 （ ）
A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km
2.四根木棒的长度分别为 5cm ,6cm,9 cm,13 cm，现从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则这样的取法共有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
考点2 三角形的稳定性
3.2024年8 月5日，巴黎奥运会射击项目进入最后一个比赛口，中国射击队最终以5金、2银、3铜的好成绩结束本届奥运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名。射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，其应用的几何原理是_____________________________________________.
考点3 三角形的高、中线和角平分线
4.如图, CM 是△ABC 的中线,BC=8cm ,若△BCM的周长比△ACM的周长大 3c m,则AC 的长为 （ ）
A. 3cm B. 4 cm C. 5cm D. 6 cm
（第4题） （第5题）
5.如图,CD,CE,CF 分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A. AB=2BF C. AE=BE D,CD⊥BE
6.如图,AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接CE,若△CDE的面积为 12cm ,则△ABC 的面积为____________cm .
（第6题） （第7题）
考点 4 三角形的内角和定理
7. 将一副三角板 ABC 和 DEF 按图示放置，直角顶点 E 在 AC边上,D,B,C,F四点共线，则∠CEF 的度数为_____________。
8.如图，在△ABC 中,∠A =62°,∠B=74°,∠ACB 的平分线交 AB 于点 D,DE∥BC 交AC 于点 E,求∠EDC 的度数。
考点5 直角三角形的性质与判定
9.如图,a∥b,Rt△ABC的直角顶点C在直线b上。若∠A=43°,∠2=25°,则∠1 等于（ ）
A. 18° B. 22° C. 25° D. 32°
10.有一道题目：“如图，在△ABC中,∠C=90°,将△ABC 沿 DE 折叠，使得点B落在边 AC上的点 F 处，若∠CFD=60°,且△AEF有两个内角相等，求∠A 的度数。”嘉嘉的答案是∠A=40°，淇淇说：“嘉嘉考虑得不全面，∠A 还应该有另外一个值。”下列判断正确的是 （ ）
A.淇淇说得不对,∠A 就是40° B.淇淇说得对，且∠A 的另一个值是50°
C.淇淇说得对，且∠A 的另一个值是 55° D.两人都不对，∠A 应有三个不同值
（第10题） （第11题）
考点6 三角形外角的性质
11.C60的发现使人类了解到一个全新的碳世界。如图是 C60的分子结构图，包括20个正六边形和 12个正五边形，其中正五边形的一个外角的大小是____________。
12.如图，已知AD平分∠BAC,点F是AD反向延长线上的一点,EF⊥BC于点E, ∠1=40°,∠C=65°.求∠B 和∠F 的度数。
【思想方法整合】
思想1 分类讨论思想
13.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”，例如：三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“灵动三角形”。如图， ，在射线OM 上找一点 A，过点 A作 AB⊥OM 交 ON 于点 B,以 A 为端点作射线AD,交线段OB 于点 C（规定0°＜∠OAC＜90°）. 当△ABC 为“灵动三角形”时,∠OAC的度数为___________。
思想2 数形结合思想
14.已知六边形，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是 （ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 14
思想3 从特殊到一般的思想
15.在△ABC 中,∠C=80°,点D,E分别是△ABC边. AC,BC上的点（不与A,B,C 重合），点 P 是平面内一动点（P与D,E不在同一直线上）。令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点 P 在边 AB 上，如图①所示，且∠α=40°,则
(2)若点 P 在△ABC 的外部，如图②所示，则∠α，∠1，∠2 之间有何数量关系？请说明理由；
(3)若点 P 在△ABC边 BA 的延长线上运动(CE<>
接写出∠α，∠1，∠2 之间的数量关系。
参考答案
1. A 2. C 3.三角形具有稳定性 4. C 5. C 6.48 7.15°
8.【解】∵∠A=62°,∠B=74°,∴∠ACB=180°-62°-74°=44°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∵DE∥BC,∴∠EDC=∠DCB=22°.
9. B 【点拨】如图，过点B作BD∥a.
∵a∥b,∴BD∥b.
∵∠A=43°,∠ACB =90°,∴∠ABC=80°-90°-43°=47°.
∵BD∥b,∠2=25°,∴∠4=∠2=25°,∴∠3=∠ABC-∠4=47°-25°=22°.
∵BD∥a,∴∠1=∠3=22°.
10. B 【点拨】∵∠C=90°,∠CFD=60°,∴∠CDF=30°,
∴∠FDE+∠BDE=180°-30°=150°.
∵△FDE是由△BDE沿DE 折叠得到的,∴∠DFE=∠B,∠FED= ,
令∠B=x°,则∠DFE=x°,∠A=90°-x°,∴∠AFE=180°-60°-, 30°.
∵△AEF有两个内角相等，∴有∠AEF=∠AFE,∠A=∠AEF两种情况。
当∠AEF=∠AFE时,2x-30=120-x,∴x=50,∴∠A=90°-x°=40°;
当∠A=∠AEF时,90-x=2x-30,∴x=40,∴∠A=90°-x°=50°. ∴∠A=40°或50°.结合选项，故选B.
11.72°
12.【解】∵AD平分∠BAC,∠1=40°,∴∠BAC=2∠1=80°.
∵∠C=65°,∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°- ,
.
∵EF⊥BC,∴∠F=90°-∠EDF=90°-75°=15°.
13.80°或52.5°或 30° 【点拨】∵AB⊥OM,∴∠OAB=90°,
∵∠MON=60°,∴∠ABO=30°.
∵0°<∠OAC<90°,∴0°< ∠BAC <90°, ∴∠BAC≠ 3 ∠ABC.
∵∠BCA>60°, ∴∠ABC ≠ 3 ∠ACB, ∠BAC ≠3∠ACB.
当∠ACB=3∠ABC 时,∵∠ABO=30°,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=60°,∴∠OAC=30°. 当∠ABC=3∠CAB时,∵∠ABO=30°,∴∠CAB=10°,∴∠OAC=80°;
当∠ACB=3∠CAB 时,∵∠ABO=30°,∴4∠CAB=180°-30°=150°,∴∠CAB=37.5°,∴∠OAC=52.5°.
综上所述,∠OAC 的度数为 80°或52.5°或30°.
14. D 【点拨】如图①，通过同一个顶点作三条对角线，这种分法有6种；如图②，从一个顶点作两条对角线，这种分法有2种；如图③，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有6+2+6=14（种）。
15.【解】(1)120 【点拨】∵∠C=80°,∠CEP=180°-∠2,∠CDP=180°-∠1,
∴180°-∠2+180°-∠1+∠α+80°=360°,
∴∠1+∠2=80°+∠α=80°+40°=120°.
(2)∠2-∠1=∠α-80°,理由如下：
设BC与PD交于点M.∵∠2=∠α+∠PMB,∠1=∠C+∠CMD,∠PMB=∠CMD,∠C=80°,
∴∠2-∠α=∠1-80°,∴∠2-∠1=∠α-80°.
(3)∠2-∠1=∠α+80°或∠2-∠1=80°-∠α.
【点拨】连接CP,如图①，∵∠2=80°+∠3+∠α+∠4,∠1=∠3+∠4,
∴∠2=80°+∠α+∠1,∴∠2-∠1=∠α+80°.
如图②,∵∠2=80°+∠3+∠4,∠1=∠3+∠4+∠α,∴∠2-∠1=80°-∠α.
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