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第十三章 三角形
13.3 三角形的内角与外角
13.3.1三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质与判定
基础提优题
1. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=2∠B,则∠A 等于( )
A. 60° B. 30° C. 45° D. 90°
2.如图，已知直线a∥b，直线与直线a,b分别交于点A,B,AC⊥AB交直线b于点C.若∠2=50°,则∠1的度数为（ ）
A. 50° B. 40° C. 60° D. 30°
（第2题） （第3题）
3.将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°,则∠2的度数是（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
4.如图，点 E,F 分别在线段 AB,CD上,CE⊥AD于点G,BF⊥AD 于点 H,若∠B=∠C,则图中与∠A 互余的角有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
（第4题） （第5题）
5.如图,AD是△ABC的高,BE 是△ABC 的角平分线,BE,AD 相交于点 F,已知 ，，则∠AFE的度数为 （ ）
A. 55° B. 60° C. 65° D. 66°
6. Rt△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:m:4,则m的值是___________.
7.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC,∠C=90°,并画出了两锐角的平分线AD,BE及其交点F.小明发现，无论怎样改变A Rt△ABC的形状和大小, ∠AFB 的度数是定值。这个定值为_____________。
8.如图，在△ABC中,AD是 BC边上的高，点 E是 AB 上一点，连接 CE 交 AD 于点 M,且∠DCM=∠MAE,求证：△ACE 是直角三角形。
综合应用题
9.已知△ABC 的三个角分别是∠A,∠B,∠C,下列式子中：
①∠A=∠B-∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=∠B=∠C;④∠A+∠B= ∠C；
⑤∠A=2∠B=3∠C,不能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
10.在物理学中，过入射点垂直于镜面的直线叫作法线，光线在镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等，如图，两束光线分别从不同方向射向镜面m,入射点为 A 和 B,n ,n 为法线,的反射光线相交于点 P.若∠1=30°,∠2=50°,则∠APB的度数是（ ）
A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
（第10题） （第11题）
11.如图，在 Rt△ABC 和 Rt△ADE中,∠D=∠C=90°,∠B=30°,点 E 在线段 BC上,DE交AC 于点 F,若 DE∥AB,则∠DAF 的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30°
12.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以 AB为边画 Rt△ABC,使点 C在格点上，满足这样条件的点 C共有 ( )
A.5个 B.6个 C.7个 D. 8个
（第12题） （第13题）
13.如图，已 知在△ABC 中，∠BAC=40°,∠C=65°,将线段 AC 沿直线AB平移得到线段 DE，连接 AE，在整个运动中，当 AE垂直△ABC 的某一边时，∠E的度数为____________。
14. 如图，在△ABC 中,CD 是高,∠BAC =∠DCB.
(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)若 AE 是△ABC 的角平分线,AE,CD 相交于点F,求证:∠CFE=∠CEF.
创新拓展题
15.如图,AB∥CD,点 E 是 AB 上一点，连接CE.
(1)如图①，若CE平分∠ACD,过点 E 作 EM⊥CE 交CD于点M,试说明∠A=2∠CME;
(2)如图②，若AF平分∠CAB,CF平分∠DCE,且∠F=70°,求∠ACE 的度数；
(3)如图③，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M,MN⊥CM交AB于点N,CH⊥AB,垂足为 H.若，请直接写出∠MNB与∠A 之间的数量关系。
参考答案
1. A 2. B 3. B 4. D 5. C
6.2或6 【点拨】设∠A,∠B,∠C的度数分别为2x, mx,4x.当∠C为直角时,2x+ mx=4x,解得m=2;当∠B为直角时,2x+4x= mx,解得m=6.故m的值为2或6.
点易错 在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，做到不漏解不错解。
7.135°【点拨】
∵∠C=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵AD平分∠CAB, BE平分∠ABC, ∴∠FAB=∠CAB，∠FBA=∠CBA，
∴∠FAB＋∠FBA=(∠CAB +∠CBA)2=45°,∴ ∠AFB =180°－45°=135°.
8.【证明】∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°.
∵∠DCM=∠MAE,∠CMD=∠AME,∴∠AEC=∠ADC=90°,∴△ACE是直角三角形。
9. C 【点拨】①∵∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;
②∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=×180°=90°,
∴△ABC是直角三角形;
③∵∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°,∴△ABC不是直角三角形；
,∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠C＋∠C=180°，
∴∠C=120°，∴△ABC不是直角三角形；
⑤∵∠A=2∠B=3∠C,∴设∠C=x,则,
, ，解得,
, , ，
∴△ABC不是直角三角形。
综上所述，不能判断△ABC是直角三角形的是③④⑤，共3个。
10. C 【点拨】如图，由题易知，
∠3=90°-∠1=90°-30°= , 50°=40°，
∴∠APB=180°－∠3－∠4=180°－60°－40°=80°.
11. D 【点拨】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=90°－30°=60°.∵DE∥AB，∴∠D＋∠DAB=180°.∵∠D=90°，∴∠DAB=180°－90°=90°，∴∠DAF=∠DAB－∠CAB=90°－60°=30°.
12. D 【点拨】根据题意可得以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有8个，如图所示.故选D.
13.50°或90°或25°【点拨】由题意得AC∥DE.
根据题意分三种情况：①当AE⊥AB时，则∠EAB=90°.
∵∠BAC=40°,∴∠CAE=∠EAB-
∥,
②当AE⊥AC时，则∠CAE=90°. ∵AC∥DE,∴∠E =∠CAE=90°;
③当AE⊥BC时，如图所示，则∠CAE+∠C=90°,
∵∠C=65°,∴∠CAE
∥, ∠CAE =25°.
综上所述，当AE垂直△ABC的某一边时，∠E的度数为50°或90°或25°.
14.(1)【解】△ABC是直角三角形。理由如下：
∵CD是高，∴∠CDB=90°,∴∠B+∠BCD=90°.
∵∠BAC=∠DCB，∴∠BCD＋∠B=90°,∴∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.
(2)【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF=∠CAE.
∵∠FDA=90°，易知∠ACE=90°，∴∠DAF＋∠AFD=90°，∠CAE＋∠CEA=90°，
∴∠AFD=∠CEF.又∵∠AFD=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF.
15.【解】(1)∵EM⊥CE,∴∠CEM=90°,∴∠ECD+∠CME=90°,
∴2∠ECD+2∠CME=180°.
∵CE平分∠ACD,∴∠ACD=2∠ECD,∴∠ACD+2∠CME=180°.
∵AB∥CD,∴∠ACD+∠A=180°,∴∠A=2∠CME.
(2)如图①，过点F作FI∥AB.
∵AB∥CD,∴F∥∥AB∥CD,∴∠AFI=∠BAF，∠CFI=∠DCF，
∴∠AFI+∠CFI=∠BAF+∠DCF，即∠AFC=∠BAF+∠DCF.
∵AF平分∠CAB,CF平分∠DCE,∴∠CAB=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF,
∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC.
∵∠AFC=70°,∴∠CAB+∠DCE=140°.
∵AB∥CD,∴∠CAB+∠ACD=∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°,
∴∠ACE =180°-(∠CAB+∠DCE)=180°-140°=40°.
(3)
【点拨】如图②，延长CM交AB于点G.
∵MN⊥CM,∴∠NMG=90°,∴∠MNB =90°∠MGN.
同理∠HCG =90°-∠MGN,∴∠MNB =∠HCG.
∴,设∠ACH=x,则∠ECH=2x,
∵CM平分∠DCE,∴设∠ECM=∠DCM=y,∴∠MNB=∠HCG=2x+y.
∵AB∥CD,CH⊥AB,∴CH⊥CD,∴∠HCD=90°,∴2x+2y=90°,∴x+y=45°,
∵CH⊥AB,∴∠A =90°-∠ACH =90°－x，
∴∠A+∠MNB =90°-x+2x+y=90°+x+y=135°，∴∠MNB=135°-∠A.
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