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浙江省宁波市余姚市子陵教育集团2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷
1．（2024八上·余姚期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2024八上·余姚期中）若a＜b，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a+3＞b+3 C．﹣3a＞﹣3b D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，A选项错误；
B、，B选项错误；
C、，C选项正确；
D、，D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据不等式性质，，不等式两边同时加上或减去相同的数或者不等式两边同时乘以一个正数，不等式都不变号，不等式两边同时乘以一个负数不等式是变号的.
3．（2024八上·余姚期中）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．50° B．65° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°，
∴180°-50°-50°＝80°，
∴等腰三角形的顶角为80°，.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质结合内角和定理求解即可.
4．（2024八上·余姚期中）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM，
A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
全等三角形的判定共有四种方法，即三边对应相等两三角形全等（SSS），两边及夹角对应相等两三角形全等（SAS），两角及夹边对应相等两三角形全等（ASA），两角及一角的对边对应相等两三角形全等（AAS）．
5．（2024八上·余姚期中）如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是（　　）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：，
故选：C．
【分析】
先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出长，再根据勾股定理求出即可．
6．（2024八上·余姚期中）给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①② D．①
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①三角形任何两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
②三角形任何一外角等于不相邻的两内角之和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③两边和夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有①，
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边关系可得①正确；根据三角形外角的性质可得②不正确；根据三角形全等的判定可得③不正确。故而得出真命题只有①，即可得出答案。
7．（2024八上·余姚期中）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
∴选项符合题意，
故选：．
【分析】
由三角形的外角性质知．，又因为已知，则等量代换得，所以DC=DB，即点D在线段BC的垂直平分线上.
8．（2024八上·余姚期中）若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为（　　）
A．5 B． C．5或4 D．5或
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由已知条件在直角三角形中可得，
由勾股定理可知，当3和4分别的直角边时，
第三边，
当3是直角边，4是斜边时，
第三边.
故答案为：5或.
【分析】根据直角三角形勾股定理，分两种情况，第一种情况为当3和4分别的直角边时，求第三边，第二种情况是当3是直角边，4是斜边时，求第三边.
9．（2024八上·余姚期中）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设ED=x，则AE=6-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6-x）2，
解得：x=，
∴ED=．
故选：B．
【分析】
由矩形的对边平行得，由折叠的性质得．等量代换得，即，此时可设，则，在中应用勾股定理即可.
10．（2024八上·余姚期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值．
∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，
∴∠COD=2∠AOB=80°，
在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°，
∴∠OCD=∠ODC=50°；
在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，
∴△CON≌△PON，
∴∠OCN=∠NPO=50°，
同理∠OPM=∠ODM=50°，
∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°．
故选：B．
【分析】
先分别过点P作OA、OB的对应点D和C，再连接CD分别交OA和OB于点M和N，由轴对称的性质知PM=DM、PN=CN，则△PMN的周长等于线段CD的长，即此时△PMN的周长最小，再根据轴对称的性质可得∠COD等于∠AOB的2倍即80°，OC=OP=OD，则由等腰三角形的内角和得∠OCD等于∠ODC等于50°，再由轴对称的性质可证△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，则由全等三角形的对应角相等可得∠OCN等于∠NPO等于50°，∠OPM等于∠ODM等于50°，再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
11．（2024八上·余姚期中）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
【分析】先表示“x的3倍与y的差”为3x-y，再由“差是负数”可得差是小于0的数，从而即可列出不等式.
12．（2024八上·余姚期中）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 　 　（只填一个）．
【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由已知条件和三角形的三边关系可知，
解得：
是整数，，4，5，6，7
故答案为：3.
【分析】根据三角形形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得.
13．（2024八上·余姚期中）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　 　．
【答案】两直线平行，内错角相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
14．（2024八上·余姚期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，则△ABC是 　 　三角形．
【答案】等边
【知识点】等边三角形的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由，
可知，
∴
∴，
∴是等边三角形.
故答案为：等边.
【分析】根据平方和绝对值的性质，，根据等边三角形的性质可知.
15．（2024八上·余姚期中）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是　 　
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为E，，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长．
16．（2024八上·余姚期中）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为　 　．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
17．（2024八上·余姚期中）解不等式（组），把解集在数轴上表示出来．
（1）3﹣x＜2x+6；
（2）
【答案】（1）解：移项得：﹣x﹣2x＜6﹣3，
合并同类项得：﹣3x＜3，
系数化为1得：x＞﹣1，
在数轴上表示解集为：
（2）解：
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示解集为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1方法可得，在数轴上表示；
（2）解不等式组，根据（1）方法分别求出每个不等式的解，在找到两个不等式的解集，在数轴上表示出来.
18．（2024八上·余姚期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）在直线MN上找一点P，使PA+PC的值最小，标出点P的位置（保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：点P就是所求作的图形
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点A'、B'、C'；
（2）连接A'C交直线MN于点P，可得，可知△PAC的周长，根据两点之间线段最短可知此时△PAC的周长最小可得.
19．（2024八上·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=4，BC=6，CD=2．求∠ADC的度数．
【答案】解：连结BD，
∵ ∠A=90°，AD=AB=4 ，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴BD=AD=4，
∵BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°
∴ ∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】 连结BD ，可得△ABD为等腰直角三角形，可得BD=AD=4，再根据勾股定理的逆定理求解即可.
20．（2024八上·余姚期中）如图，AB＝AE，∠B＝∠E，∠BCA＝∠EDA，AF⊥CD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）试说明∠BAF与∠EAF的数量关系．
【答案】（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）
（2）解：∠BAF＝∠EAF，理由如下：
∵△ABC≌△AED，
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∵AF⊥CD，
∴∠CAF＝∠DAF，
∴∠BAC+∠CAF＝∠EAD+∠DAF，
∴∠BAF＝∠EAF
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）如图，根据已知条件，在△ABC和△AED中，根据全等三角形的角角边判定定理，∠BCA=∠EDA，∠B=∠E，AB=AE，可以证明△ABC≌△AED；
（2）在△ABC和△AED中，由（1）可知，△ABC≌△AED，根据已知条件和全等三角形定理以及等腰三角形的性质，可以证明∠BAF＝∠EAF.
21．（2024八上·余姚期中）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．
（1）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）若AD是BC边上的中线，，求S△AEC．
【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝85°，
∵AE是边BC上的高，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝5°
（2）解：∵AD是BC边上的中线，，
∴S△ABD＝S△ACD＝6cm2，
∵，S△ACD＝S△ADE+S△AEC，
∴S△AEC＝4cm2
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和，可知，角平分线的性质，平分可知，的值，是边上的高，，可求出；
（2）根据直角三角形斜边中线性质可得，是边上的中线，根据图形可知，可知.
22．（2024八上·余姚期中）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，
依题意， 得： ，
解得： .
答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，
依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400，
解得：a≤18．
答：A种型号的电风扇最多能采购18台
（3）解：依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060，
解得：a≥16．
∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a为整数，
∴a＝16，17，18．
∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，列二元一次方程组，可以设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据单价×销售量＝销售收入列二元一次方程组求解；
（2）根据进价×采购量=采购金，设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台列一元一次不等式求解.
23．（2024八上·余姚期中）对m、n定义一种新运算“ ”，规定：m n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5 6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2 3＝1，3 （﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“ ”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m n＝n m”都成立，试探究a、b应满足的关系．
【答案】（1）解：①由题意，∵2 3＝1，3 （﹣1）＝10，
∴可得方程组．
∴解得
∴a＝1，b＝2．
②由题意，∵a＝1，b＝2，
∴不等式组可化为
∴
又∵上面的不等式组有且只有两个整数解，
∴2≤＜3．
∴23≤t＜26
（2）解：由m n＝n m，
∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5．
∴ma﹣nb﹣na+mb＝0．
∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0．
∴（a+b）（m﹣n）＝0．
又∵m，n为任意数，
∴（m﹣n）不一定等于0．
∴a+b＝0
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）①根据定义的新运算和二元一次方程组求解，、的值；
②根据定义的新运算和不等式组的解法，，解不等式组的解集，根据已知条件不等式组有且只有两个整数解求出的值；
（2）根据定义新运算，根据 ，通过移项、合并同类项、以及任意数m、n，求出a与b的关系.
24．（2024八上·余姚期中）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：设AE交BC于点H，如图2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝26
（3）AE＝2a+2b
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）AE＝2a+2b；理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM＝2b，
∴DM＝＝b，
∴DE＝2DM＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°，
∴BE＝2NE，
∴BN＝＝NE＝a，
∴NE＝a，
∴BE＝2a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝2a+2b
故答案为：AE＝2a+2b.
【分析】（1）根据三角形全等的边角边判定定理，由已知条件，在△ACD和△BCE中，△ACD≌△BCE（SAS），根据三角形的全等定理可以判断AD＝BE；
（2）根据全等三角形定理，△ACD≌△BCE△CDE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AB的值；
（3）根据等腰三角形的性质，DM＝EM，根据直角三角形勾股定理，分别在在Rt△CMD中和Rt△BNE中，求出.
1 / 1浙江省宁波市余姚市子陵教育集团2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷
1．（2024八上·余姚期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·余姚期中）若a＜b，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a+3＞b+3 C．﹣3a＞﹣3b D．
3．（2024八上·余姚期中）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．50° B．65° C．80° D．100°
4．（2024八上·余姚期中）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．
5．（2024八上·余姚期中）如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是（　　）
A．5 B． C．6 D．
6．（2024八上·余姚期中）给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①② D．①
7．（2024八上·余姚期中）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·余姚期中）若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为（　　）
A．5 B． C．5或4 D．5或
9．（2024八上·余姚期中）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．
10．（2024八上·余姚期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
11．（2024八上·余姚期中）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为　 　．
12．（2024八上·余姚期中）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 　 　（只填一个）．
13．（2024八上·余姚期中）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　 　．
14．（2024八上·余姚期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，则△ABC是 　 　三角形．
15．（2024八上·余姚期中）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是　 　
16．（2024八上·余姚期中）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为　 　．
17．（2024八上·余姚期中）解不等式（组），把解集在数轴上表示出来．
（1）3﹣x＜2x+6；
（2）
18．（2024八上·余姚期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）在直线MN上找一点P，使PA+PC的值最小，标出点P的位置（保留作图痕迹）．
19．（2024八上·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=4，BC=6，CD=2．求∠ADC的度数．
20．（2024八上·余姚期中）如图，AB＝AE，∠B＝∠E，∠BCA＝∠EDA，AF⊥CD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）试说明∠BAF与∠EAF的数量关系．
21．（2024八上·余姚期中）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．
（1）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）若AD是BC边上的中线，，求S△AEC．
22．（2024八上·余姚期中）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．（2024八上·余姚期中）对m、n定义一种新运算“ ”，规定：m n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5 6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2 3＝1，3 （﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“ ”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m n＝n m”都成立，试探究a、b应满足的关系．
24．（2024八上·余姚期中）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，A选项错误；
B、，B选项错误；
C、，C选项正确；
D、，D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据不等式性质，，不等式两边同时加上或减去相同的数或者不等式两边同时乘以一个正数，不等式都不变号，不等式两边同时乘以一个负数不等式是变号的.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°，
∴180°-50°-50°＝80°，
∴等腰三角形的顶角为80°，.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质结合内角和定理求解即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM，
A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
全等三角形的判定共有四种方法，即三边对应相等两三角形全等（SSS），两边及夹角对应相等两三角形全等（SAS），两角及夹边对应相等两三角形全等（ASA），两角及一角的对边对应相等两三角形全等（AAS）．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：，
故选：C．
【分析】
先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出长，再根据勾股定理求出即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①三角形任何两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
②三角形任何一外角等于不相邻的两内角之和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③两边和夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有①，
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边关系可得①正确；根据三角形外角的性质可得②不正确；根据三角形全等的判定可得③不正确。故而得出真命题只有①，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
∴选项符合题意，
故选：．
【分析】
由三角形的外角性质知．，又因为已知，则等量代换得，所以DC=DB，即点D在线段BC的垂直平分线上.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由已知条件在直角三角形中可得，
由勾股定理可知，当3和4分别的直角边时，
第三边，
当3是直角边，4是斜边时，
第三边.
故答案为：5或.
【分析】根据直角三角形勾股定理，分两种情况，第一种情况为当3和4分别的直角边时，求第三边，第二种情况是当3是直角边，4是斜边时，求第三边.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设ED=x，则AE=6-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6-x）2，
解得：x=，
∴ED=．
故选：B．
【分析】
由矩形的对边平行得，由折叠的性质得．等量代换得，即，此时可设，则，在中应用勾股定理即可.
10．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值．
∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，
∴∠COD=2∠AOB=80°，
在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°，
∴∠OCD=∠ODC=50°；
在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，
∴△CON≌△PON，
∴∠OCN=∠NPO=50°，
同理∠OPM=∠ODM=50°，
∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°．
故选：B．
【分析】
先分别过点P作OA、OB的对应点D和C，再连接CD分别交OA和OB于点M和N，由轴对称的性质知PM=DM、PN=CN，则△PMN的周长等于线段CD的长，即此时△PMN的周长最小，再根据轴对称的性质可得∠COD等于∠AOB的2倍即80°，OC=OP=OD，则由等腰三角形的内角和得∠OCD等于∠ODC等于50°，再由轴对称的性质可证△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，则由全等三角形的对应角相等可得∠OCN等于∠NPO等于50°，∠OPM等于∠ODM等于50°，再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
11．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
【分析】先表示“x的3倍与y的差”为3x-y，再由“差是负数”可得差是小于0的数，从而即可列出不等式.
12．【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由已知条件和三角形的三边关系可知，
解得：
是整数，，4，5，6，7
故答案为：3.
【分析】根据三角形形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得.
13．【答案】两直线平行，内错角相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
14．【答案】等边
【知识点】等边三角形的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由，
可知，
∴
∴，
∴是等边三角形.
故答案为：等边.
【分析】根据平方和绝对值的性质，，根据等边三角形的性质可知.
15．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为E，，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长．
16．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
17．【答案】（1）解：移项得：﹣x﹣2x＜6﹣3，
合并同类项得：﹣3x＜3，
系数化为1得：x＞﹣1，
在数轴上表示解集为：
（2）解：
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示解集为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1方法可得，在数轴上表示；
（2）解不等式组，根据（1）方法分别求出每个不等式的解，在找到两个不等式的解集，在数轴上表示出来.
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：点P就是所求作的图形
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点A'、B'、C'；
（2）连接A'C交直线MN于点P，可得，可知△PAC的周长，根据两点之间线段最短可知此时△PAC的周长最小可得.
19．【答案】解：连结BD，
∵ ∠A=90°，AD=AB=4 ，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴BD=AD=4，
∵BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°
∴ ∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】 连结BD ，可得△ABD为等腰直角三角形，可得BD=AD=4，再根据勾股定理的逆定理求解即可.
20．【答案】（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）
（2）解：∠BAF＝∠EAF，理由如下：
∵△ABC≌△AED，
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∵AF⊥CD，
∴∠CAF＝∠DAF，
∴∠BAC+∠CAF＝∠EAD+∠DAF，
∴∠BAF＝∠EAF
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）如图，根据已知条件，在△ABC和△AED中，根据全等三角形的角角边判定定理，∠BCA=∠EDA，∠B=∠E，AB=AE，可以证明△ABC≌△AED；
（2）在△ABC和△AED中，由（1）可知，△ABC≌△AED，根据已知条件和全等三角形定理以及等腰三角形的性质，可以证明∠BAF＝∠EAF.
21．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝85°，
∵AE是边BC上的高，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝5°
（2）解：∵AD是BC边上的中线，，
∴S△ABD＝S△ACD＝6cm2，
∵，S△ACD＝S△ADE+S△AEC，
∴S△AEC＝4cm2
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和，可知，角平分线的性质，平分可知，的值，是边上的高，，可求出；
（2）根据直角三角形斜边中线性质可得，是边上的中线，根据图形可知，可知.
22．【答案】（1）解：设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，
依题意， 得： ，
解得： .
答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，
依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400，
解得：a≤18．
答：A种型号的电风扇最多能采购18台
（3）解：依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060，
解得：a≥16．
∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a为整数，
∴a＝16，17，18．
∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，列二元一次方程组，可以设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据单价×销售量＝销售收入列二元一次方程组求解；
（2）根据进价×采购量=采购金，设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台列一元一次不等式求解.
23．【答案】（1）解：①由题意，∵2 3＝1，3 （﹣1）＝10，
∴可得方程组．
∴解得
∴a＝1，b＝2．
②由题意，∵a＝1，b＝2，
∴不等式组可化为
∴
又∵上面的不等式组有且只有两个整数解，
∴2≤＜3．
∴23≤t＜26
（2）解：由m n＝n m，
∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5．
∴ma﹣nb﹣na+mb＝0．
∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0．
∴（a+b）（m﹣n）＝0．
又∵m，n为任意数，
∴（m﹣n）不一定等于0．
∴a+b＝0
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）①根据定义的新运算和二元一次方程组求解，、的值；
②根据定义的新运算和不等式组的解法，，解不等式组的解集，根据已知条件不等式组有且只有两个整数解求出的值；
（2）根据定义新运算，根据 ，通过移项、合并同类项、以及任意数m、n，求出a与b的关系.
24．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：设AE交BC于点H，如图2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝26
（3）AE＝2a+2b
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）AE＝2a+2b；理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM＝2b，
∴DM＝＝b，
∴DE＝2DM＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°，
∴BE＝2NE，
∴BN＝＝NE＝a，
∴NE＝a，
∴BE＝2a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝2a+2b
故答案为：AE＝2a+2b.
【分析】（1）根据三角形全等的边角边判定定理，由已知条件，在△ACD和△BCE中，△ACD≌△BCE（SAS），根据三角形的全等定理可以判断AD＝BE；
（2）根据全等三角形定理，△ACD≌△BCE△CDE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AB的值；
（3）根据等腰三角形的性质，DM＝EM，根据直角三角形勾股定理，分别在在Rt△CMD中和Rt△BNE中，求出.
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