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　湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
1．（2025八下·新田期中）下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·新田期中）若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·新田期中）在一个凸n边形中，它的内角和是，则n为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2025八下·新田期中）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（　　）
A．50米 B．100米 C．150米 D．200米
5．（2025八下·新田期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．，， B．
C．， D．
6．（2025八下·新田期中）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（　　）
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
7．（2025八下·新田期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形 D．三角形的外角和是
8．（2025八下·新田期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为9尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·新田期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（　　）
A．若，则四边形为矩形
B．若，则四边形为菱形
C．若是平行四边形，则与互相平分
D．若是正方形，则与互相垂直且相等
10．（2025八下·新田期中）如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·新田期中）在中， ． 若， 则　 　．
12．（2025八下·新田期中）在中，，则　 　°．
13．（2025八下·新田期中）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是　 　．（写出一种即可）
14．（2025八下·新田期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于　 　．
15．（2025八下·新田期中）如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为　 　．
16．（2025八下·新田期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 　 　．
17．（2025八下·新田期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　．
18．（2025八下·新田期中）如图，矩形的面积为1，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形，的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为　 　
19．（2025八下·新田期中）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数．
20．（2025八下·新田期中）在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.
21．（2025八下·新田期中）如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
22．（2025八下·新田期中）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
23．（2025八下·新田期中）某小区在创文工作中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，通过测量得到，，，，．
（1）求、两点之间的距离；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
24．（2025八下·新田期中）如图所示，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，且的周长为，求的面积．
25．（2025八下·新田期中）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝3642+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　 　三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　．
（3）若一个三角形的三边长为a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
26．（2025八下·新田期中）已知线段，E是上的一点，且，以为一边在的上方作矩形，点F是边上的一个动点；
（1）如图1，连接、，当____________时，四边形是平行四边形；
（2）若四边形恰好是菱形，求此时矩形的另一边长的值；
（3）如图2，若矩形的另一边长，连接，将四边形沿着翻折得到四边形；
①如图3，折叠后四边形的顶点M落在边上，求的值；
②折叠后的四边形的边所在的直线经过矩形的顶点时，直接写出此时的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】 【解答】解：该图案不是中心对称图形，故A不符合题意；
该图案不是中心对称图形，故B不符合题意；
该图案不是中心对称图形，故C不符合题意；
该图案是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的概念，依次对四个图形进行分析即可作出判断．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．
2．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角是，
∴另一个锐角的度数是：，
故答案为：C
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求解．
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，米，
∴米，
故答案为：B．
【分析】根据含角的直角三角形的性质求解．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，，∴，∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，
∴可设，，，
∴，
解得，
∴，，，
∴不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理分别对四个选项计算，再作出判断即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC =45°，
∵，
∴∠ABE=∠AEB===67.5°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90-67.5°=22.5°．
故答案为：C．
【分析】先利用正方形的性质得出∠BAC=45°，再利用等腰三角形的性质得出答案．
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；中心对称及中心对称图形；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：菱形对角线相互垂直，但不一定相等，故A选项错误；
矩形的对角线相等，但不一定垂直，故B选项错误；
平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故C选项错误；
三角形的外角和是，故D选项正确，
故答案为：D．
【分析】根据矩形，菱形的性质，轴对称图形，多边形外角和，依次对四个选项作出判断．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解∶设绳索长为x尺，则长为尺，
根据题意，得，
故答案为∶A．
【分析】利用勾股定理列出方程即可．
9．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，
，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
但与不一定互相平分，故选项C不符合题意；
A．，
，
四边形为菱形，故本选项不符合题意；
B．时，，
则四边形为矩形，故本选项不符合题意；
D．当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，故本选项不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可．
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，解得：，
，
，
分别为的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】先根据平行四边形的性质求得，再利用直角三角形的性质求得，然后利用含有30度角的直角三角形的性质求出BN，再利用勾股定理求出AN，接着利用三角形中位线定理得到，得出当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到的最小值为，即可得到答案．
11．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【分析】直接利用勾股定理求解．
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
．
，
，解得：，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的对角相等求解.
13．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，
∴为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌．
∵正方形的一个内角的度数为，，
∴只用正方形可以进行平面镶嵌，
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】根据围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角求解．
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；内错角的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形性质得出，，，再利用角平分线的意义，结合等角对等边可求得DE，然后利用CE=CD-DE即可求解．
15．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
，，平分，，
，
．
故答案为：6．
【分析】先根据角平分线的性质定理求得DE，再利用三角形的面积公式求解．
16．【答案】3
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
【分析】先根据菱形的面积公式，求出菱形的对角线BD的长，再利用直角三角形斜边的性质求出OH即可．
17．【答案】139
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴=25+144=169，AB=5，AC=12，
∴=169-×5×12=169-30=139，
故答案为：139．
【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ．
18．【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵矩形的面积为1，
∴，，
取的中点，连接，则，
∴，
根据平行四边形的性质，得到，
取的中点，连接，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或．
【分析】先根据矩形ABCD的面积为1，得出，，再根据平行四边形的性质得出，从而可得到，进而得出，就可得到，从而可得解答即可．
19．【答案】解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
解得．
∴这个多边形的边数是7．
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解．
20．【答案】解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x．
∵x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴∠C=3x=90°．
∵AB=8cm，
∴BC=4cm．
∴最短的边的长是4cm．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；直角三角形的判定
【解析】【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，根据三角形的内角和定理求得每个角的度数，从而得出 △ABC 是直角三角形，再含有30°的直角三角形的性质求解．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴的长．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（）利用即可证明；
（）设，由勾股定理得，由全等三角形的性质得，进而得，可用x表示出BE，然后在中根据勾股定理得到关于x的方程求解．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∴OA+OC=BO+OD，
即，
是矩形．
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
∵四边形是矩形，
，
∵，，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到，，从而可得，再根据矩形的判定可得到结论；
（2）先证明是等边三角形，从而可求得AB，根据勾股定理求得BC．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
， 即，
是矩形．
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
是矩形，
，
在中，，
．
23．【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
，
∴（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理得出；
（2）先证明是直角三角形，再利用直角三角形面积求解．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
是的中点，是斜边上的中线，
，，
在与中，
，
∴，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，是斜边上的中线，
∴，
四边形是菱形；
（2）解：连接，设，，
四边形是菱形，
，
，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
的周长为，，
，，
，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先利用AAS证明，再根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形， 从而可证明，于是可证明四边形是菱形；
（2）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得出，设，，得出，，求出， 再求出结果即可．
（1）证明：∵，
∴，
是的中点，是斜边上的中线，
，，
又，
∴，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
中，，是斜边上的中线，
∴，
四边形是菱形；
（2）解：如下图所示，连接，
四边形是菱形，
，
，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形，
，
设，，
的周长为，，
，，
，
两边同时平方可得：，
展开得：，
，
整理得：，
，
，
．
25．【答案】（1）锐角；
（2）13或；
（3）解：∵ a＝，b＝，c＝，
∴a2﹣b2﹣c2＝x2+3z2﹣x+y2﹣2y+＝（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+，
∵（x﹣）2≥0，（y﹣1）2≥0，3z2≥0
∴（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+＞0
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵72+82＝49+64＝113＞92，
∴ 以 7，8，9三边长的三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵ 一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，
①当x为斜边时，
52+122＝x2，解得：x＝13；
当x为直角边时，斜边为12，
∴52+ x2＝122，解得：x=，
综上所述，x的值为13或.
故答案为：13或；
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）分两种情况：①当x为斜边时；②当x为直角边时，斜边为12；由勾股定理即可求出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
26．【答案】（1）1
（2）解：若四边形恰好是菱形，则，
在中，；
（3）解：①∵ 将四边形沿着翻折得到四边形 ，
∴，，，
∴，
∴；
②设，则，
当直线经过点D时，如图，记交于点P，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
当直线经过点A时，如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
综上所述，或．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】解：（1）在矩形中，，，
∵，，
∴，
当时，，
则，且，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：1；
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，进而可得当时，，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理求解即可；
（3）①先根据折叠的性质求出MN与BE，再利用勾股定理求得ME，然后利用线段差求出AM求解即可；
②设，先用x表示出MF，分“直线经过点D”、“直线经过点A”两种情况，分别利用勾股定理列方程求解．
（1）解：在矩形中，，，
∵，，
∴，
当时，，
则，且，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：1；
（2）解：若四边形恰好是菱形，则，
在中，；
（3）解：①由折叠的性质得，，，，
在中，，
∴；
②设，则，
当直线经过点D时，如图，记交于点P，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
即；
当直线经过点A时，如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
即，
综上所述，或．
1 / 1　湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
1．（2025八下·新田期中）下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】 【解答】解：该图案不是中心对称图形，故A不符合题意；
该图案不是中心对称图形，故B不符合题意；
该图案不是中心对称图形，故C不符合题意；
该图案是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的概念，依次对四个图形进行分析即可作出判断．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．
2．（2025八下·新田期中）若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角是，
∴另一个锐角的度数是：，
故答案为：C
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求解．
3．（2025八下·新田期中）在一个凸n边形中，它的内角和是，则n为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．
4．（2025八下·新田期中）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（　　）
A．50米 B．100米 C．150米 D．200米
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，米，
∴米，
故答案为：B．
【分析】根据含角的直角三角形的性质求解．
5．（2025八下·新田期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．，， B．
C．， D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，，∴，∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，
∴可设，，，
∴，
解得，
∴，，，
∴不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理分别对四个选项计算，再作出判断即可．
6．（2025八下·新田期中）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（　　）
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC =45°，
∵，
∴∠ABE=∠AEB===67.5°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90-67.5°=22.5°．
故答案为：C．
【分析】先利用正方形的性质得出∠BAC=45°，再利用等腰三角形的性质得出答案．
7．（2025八下·新田期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形 D．三角形的外角和是
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；中心对称及中心对称图形；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：菱形对角线相互垂直，但不一定相等，故A选项错误；
矩形的对角线相等，但不一定垂直，故B选项错误；
平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故C选项错误；
三角形的外角和是，故D选项正确，
故答案为：D．
【分析】根据矩形，菱形的性质，轴对称图形，多边形外角和，依次对四个选项作出判断．
8．（2025八下·新田期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为9尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解∶设绳索长为x尺，则长为尺，
根据题意，得，
故答案为∶A．
【分析】利用勾股定理列出方程即可．
9．（2025八下·新田期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（　　）
A．若，则四边形为矩形
B．若，则四边形为菱形
C．若是平行四边形，则与互相平分
D．若是正方形，则与互相垂直且相等
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，
，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
但与不一定互相平分，故选项C不符合题意；
A．，
，
四边形为菱形，故本选项不符合题意；
B．时，，
则四边形为矩形，故本选项不符合题意；
D．当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，故本选项不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可．
10．（2025八下·新田期中）如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，解得：，
，
，
分别为的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】先根据平行四边形的性质求得，再利用直角三角形的性质求得，然后利用含有30度角的直角三角形的性质求出BN，再利用勾股定理求出AN，接着利用三角形中位线定理得到，得出当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到的最小值为，即可得到答案．
11．（2025八下·新田期中）在中， ． 若， 则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【分析】直接利用勾股定理求解．
12．（2025八下·新田期中）在中，，则　 　°．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
．
，
，解得：，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的对角相等求解.
13．（2025八下·新田期中）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是　 　．（写出一种即可）
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，
∴为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌．
∵正方形的一个内角的度数为，，
∴只用正方形可以进行平面镶嵌，
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】根据围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角求解．
14．（2025八下·新田期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；内错角的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形性质得出，，，再利用角平分线的意义，结合等角对等边可求得DE，然后利用CE=CD-DE即可求解．
15．（2025八下·新田期中）如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
，，平分，，
，
．
故答案为：6．
【分析】先根据角平分线的性质定理求得DE，再利用三角形的面积公式求解．
16．（2025八下·新田期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 　 　．
【答案】3
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
【分析】先根据菱形的面积公式，求出菱形的对角线BD的长，再利用直角三角形斜边的性质求出OH即可．
17．（2025八下·新田期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】139
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴=25+144=169，AB=5，AC=12，
∴=169-×5×12=169-30=139，
故答案为：139．
【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ．
18．（2025八下·新田期中）如图，矩形的面积为1，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形，的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为　 　
【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵矩形的面积为1，
∴，，
取的中点，连接，则，
∴，
根据平行四边形的性质，得到，
取的中点，连接，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或．
【分析】先根据矩形ABCD的面积为1，得出，，再根据平行四边形的性质得出，从而可得到，进而得出，就可得到，从而可得解答即可．
19．（2025八下·新田期中）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
解得．
∴这个多边形的边数是7．
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解．
20．（2025八下·新田期中）在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.
【答案】解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x．
∵x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴∠C=3x=90°．
∵AB=8cm，
∴BC=4cm．
∴最短的边的长是4cm．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；直角三角形的判定
【解析】【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，根据三角形的内角和定理求得每个角的度数，从而得出 △ABC 是直角三角形，再含有30°的直角三角形的性质求解．
21．（2025八下·新田期中）如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴的长．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（）利用即可证明；
（）设，由勾股定理得，由全等三角形的性质得，进而得，可用x表示出BE，然后在中根据勾股定理得到关于x的方程求解．
22．（2025八下·新田期中）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∴OA+OC=BO+OD，
即，
是矩形．
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
∵四边形是矩形，
，
∵，，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到，，从而可得，再根据矩形的判定可得到结论；
（2）先证明是等边三角形，从而可求得AB，根据勾股定理求得BC．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
， 即，
是矩形．
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
是矩形，
，
在中，，
．
23．（2025八下·新田期中）某小区在创文工作中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，通过测量得到，，，，．
（1）求、两点之间的距离；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
，
∴（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理得出；
（2）先证明是直角三角形，再利用直角三角形面积求解．
24．（2025八下·新田期中）如图所示，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，且的周长为，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
是的中点，是斜边上的中线，
，，
在与中，
，
∴，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，是斜边上的中线，
∴，
四边形是菱形；
（2）解：连接，设，，
四边形是菱形，
，
，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
的周长为，，
，，
，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先利用AAS证明，再根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形， 从而可证明，于是可证明四边形是菱形；
（2）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得出，设，，得出，，求出， 再求出结果即可．
（1）证明：∵，
∴，
是的中点，是斜边上的中线，
，，
又，
∴，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
中，，是斜边上的中线，
∴，
四边形是菱形；
（2）解：如下图所示，连接，
四边形是菱形，
，
，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形，
，
设，，
的周长为，，
，，
，
两边同时平方可得：，
展开得：，
，
整理得：，
，
，
．
25．（2025八下·新田期中）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝3642+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　 　三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　．
（3）若一个三角形的三边长为a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
【答案】（1）锐角；
（2）13或；
（3）解：∵ a＝，b＝，c＝，
∴a2﹣b2﹣c2＝x2+3z2﹣x+y2﹣2y+＝（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+，
∵（x﹣）2≥0，（y﹣1）2≥0，3z2≥0
∴（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+＞0
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵72+82＝49+64＝113＞92，
∴ 以 7，8，9三边长的三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵ 一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，
①当x为斜边时，
52+122＝x2，解得：x＝13；
当x为直角边时，斜边为12，
∴52+ x2＝122，解得：x=，
综上所述，x的值为13或.
故答案为：13或；
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）分两种情况：①当x为斜边时；②当x为直角边时，斜边为12；由勾股定理即可求出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
26．（2025八下·新田期中）已知线段，E是上的一点，且，以为一边在的上方作矩形，点F是边上的一个动点；
（1）如图1，连接、，当____________时，四边形是平行四边形；
（2）若四边形恰好是菱形，求此时矩形的另一边长的值；
（3）如图2，若矩形的另一边长，连接，将四边形沿着翻折得到四边形；
①如图3，折叠后四边形的顶点M落在边上，求的值；
②折叠后的四边形的边所在的直线经过矩形的顶点时，直接写出此时的值．
【答案】（1）1
（2）解：若四边形恰好是菱形，则，
在中，；
（3）解：①∵ 将四边形沿着翻折得到四边形 ，
∴，，，
∴，
∴；
②设，则，
当直线经过点D时，如图，记交于点P，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
当直线经过点A时，如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
综上所述，或．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】解：（1）在矩形中，，，
∵，，
∴，
当时，，
则，且，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：1；
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，进而可得当时，，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理求解即可；
（3）①先根据折叠的性质求出MN与BE，再利用勾股定理求得ME，然后利用线段差求出AM求解即可；
②设，先用x表示出MF，分“直线经过点D”、“直线经过点A”两种情况，分别利用勾股定理列方程求解．
（1）解：在矩形中，，，
∵，，
∴，
当时，，
则，且，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：1；
（2）解：若四边形恰好是菱形，则，
在中，；
（3）解：①由折叠的性质得，，，，
在中，，
∴；
②设，则，
当直线经过点D时，如图，记交于点P，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
即；
当直线经过点A时，如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
即，
综上所述，或．
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