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广东省潮州市潮安区2025年中考一模百校联考数学试题
1．（2025·潮安模拟）如果表示零上20度，则零下20度表示（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·潮安模拟）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·潮安模拟）据国家统计局消息：2024年出生人口人，为7年来首次同比增长，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·潮安模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·潮安模拟）已知，点和关于原点中心对称，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·潮安模拟）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·潮安模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·潮安模拟）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·潮安模拟）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·潮安模拟）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
11．（2025·潮安模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·潮安模拟）某班开展“强国有我”主题演讲，共有2位男同学和3位女同学报名参加，现从中随机抽取1位同学进行演讲，则抽到男同学的概率为　 　．
13．（2025·潮安模拟）已知点在一次函数的图象上，则　 　．
14．（2025·潮安模拟）分式方程的解是　 　．
15．（2025·潮安模拟）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于　 　．
16．（2025·潮安模拟）计算：
17．（2025·潮安模拟）如图，已知，，是的中位线，其中点D在边上，点E在边上．
（1）用圆规和直尺在中作出中位线.（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，求的长．
18．（2025·潮安模拟）如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为5m，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，）．
（1）求点到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点时，，求的度数．
19．（2025·潮安模拟）某校在校园艺术节活动中，举行“校园最美学生”评选活动，经过年级推荐与师生投票，先后有30名学生进入候选人名单，根据规则，候选人要参加品德考查、素养考试、情景模拟三项测试，每项测试满分为100分，除第二项为笔试外，第一项、第三项均由七位评委打分，取平均分作为该项的测试成绩，再将品德考查、素养考试、情景模拟三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小明、小月的三项测试成绩和总评成绩如表，这30名学生的总评成绩频数分布直方图 （每组含最小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
品德考查 素养考试 情景模拟
小明 83 72 80 78
小月 86 84
（1）在情景模拟测试中，七位评委给小月打出的分数如下：65，72，68，69，74，69，73．这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；
（2）请你计算小月的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名“校园最美学生”．试分析小明、小月能否入选，并说明理由．
20．（2025·潮安模拟）端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个．
（1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？
（2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
21．（2025·潮安模拟）综合与实践
【主题】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．
【探究发现】如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接DE，DB，设，，求的值（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现，顶角的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比，请在（1）的条件下证明：
【拓展应用】（3）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，，请直接写出这个菱形较长的对角线长．
22．（2025·潮安模拟）如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，连接，．
（1）求的值；
（2）在绕点旋转过程中，当点落在对角线上时，求的长；
（3）连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
23．（2025·潮安模拟）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，点，点是菱形的边的中点，反比例函数经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，求点的坐标；
（3）如图2，点在上，连接，，点是线段上的动点，连接，作关于直线的轴对称图形，作的外接圆，当的圆心在菱形上或内部时，求的半径的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：如果表示零上20度，则零下20度表示，
故选：D．
【分析】正负数表示具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形．
故答案为：B．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，为整数．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，同底数幂的乘法运算逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和关于原点中心对称，
∴
∴
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得m，n值，再带图代数式即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，即，
解得：，
的取值范围是，
故选：B．
【分析】根据二次方程有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，；
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴在数轴上表示为：
，
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的图象关于轴对称，
关于轴的对称点为，
，且时，函数值随自变量的增大而减小，
；
故选：D．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
∴，即，
解得，
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得DG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：提取公因式得：．
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽到的同学总共有5种等可能情况，
抽到男同学总共有2种可能情况，
故抽到男同学的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴
解得：
故答案为：．
【分析】根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ∵分式方程，
∴4x=2(x-2），
∴4x-2x=-4，
解得：x=-2，
当x=-2时，x(x-2）=-2×（-2-2）=8≠0，
∴x=-2是方程的解，
故答案为：x=-2.
【分析】利用解分式方程的方程求出x=-2，再检验求解即可。
15．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，再根据三角形的外角定理得出，再解直角三角形可得PQ，EQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，线段为所求；
（2）解：是的中位线，
．
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，分别交，于点E，D，连结即可；
（2）根据三角形的中位线定理即可求出答案.
18．【答案】（1）解：过点作于，延长交于，则四边形为矩形，
，，
则，
点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
（2）解：由（1）可知，四边形为矩形，且
在中，
∵，
∴，
．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于，延长交于，则四边形为矩形，根据矩形性质可得
，，再根据正弦定义可得PF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：过点作于，延长交于，则四边形为矩形，
，，
则，
点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
（2）由（1）可知，四边形为矩形，且
在中，
∵，
∴，
．
19．【答案】（1），，
（2）解：由题意得
，
答：小月的总评成绩为
（3）解：小明不一定选上，小月肯定能选上；
由频数分布直方图得
分数在的有人，
选拔人，
故小月肯定能选上；
分数在的有人，
在这个分数段选人，但小明分数不一定是最高的，
故小明不一定选上．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】（1）解：将65，72，68，69，74，69，73从小到大排列为65，68，69，69，72，73 ，74，
中间的数据为，
中位数为；
出现最多的数据为，
众数为；
，
故答案：，，；
【分析】（1）由中位数、众数、算术平均数的定义，即可求出答案.
（2）由加权平均数的定义即可求出答案.
（3）由频数分布直方图结合他们的成绩进行分析，即可求出答案.
（1）解：将65，72，68，69，74，69，73从小到大排列为65，68，69，69，72，73 ，74，
中间的数据为，
中位数为；
出现最多的数据为，
众数为；
，
故答案：，，；
（2）解：由题意得
，
答：小月的总评成绩为分；
（3）解：小明不一定选上，小月肯定能选上；
由频数分布直方图得
分数在的有人，
选拔人，
故小月肯定能选上；
分数在的有人，
在这个分数段选人，但小明分数不一定是最高的，
故小明不一定选上．
20．【答案】（1）解：设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据题意，得
，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
（元），
答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元；
（2）解：设售价定为元，利润为元，根据题意，得
，
，
二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
当时，有最大值，最大值为720元，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据“用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个”列出分式方程，解方程即可求出答案.；
（2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据题意，得
，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
（元），
答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元；
（2）解：设售价定为元，利润为元，根据题意，得
，
，
二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
当时，有最大值，最大值为720元，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
21．【答案】（1）解：根据折叠可知．
，
；
根据折叠可知，，，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）证明：，，
．
由折叠知，
，
，
，
，
即，
整理得：，
解得：（舍去），
经检验是原方程的解，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：菱形较长对角线．
如图3，在上截取，连接，
，四边形是菱形，
是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，
根据黄金三角形的底与腰的比值为，
可得，
．
，，
，
．
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得，，，由三角形内角和定理可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理可得．由折叠知，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值解方程即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据菱形性质可得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，，由题意可得，则．根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据补角可得，再根据等边对等角可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：四边形是矩形，，，
，
，
将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，
，，，
∴，
，
；
（2）解：分以下两种情况：
①当点在上时，如图
，，，
，
在中，，
由（1）可得，，
；
②当点在延长线时，如图所示
，
在中，，
，
，即，
；
综上所述，的长为或；
（3）能，或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：能，或，理由如下：
分以下两种情况：
第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
由（1）可得，，，
设，，
旋转，
，，，
是等腰三角形，
过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，点是中点，
，
在中，，
，
整理得，，
解得，（负值舍去），
；
第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
与重合，
，，，，
，是等腰三角形，
，
过点作与点，
，，
四边形是矩形，
，
．
【分析】（1）根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得，，，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当点在上时，根据边之间的关系可得，，，CE=2，再根据勾股定理可得FC，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在延长线时，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理科二CF，根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（3）分情况讨论：，是以为直角边的三角形，设，，根据旋转性质可得，，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，过点作于点，交于点，则，根据相似三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得，根据勾股定理可得AK，根据边之间的关系可得KH，根据线段中点可得CK，再根据勾股定理可得KH，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；，是以为直角边的三角形，根据题意可得，，，，根据直线平行判定定理可得，过点作与点，则，，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，即可求出答案.
（1）解：四边形是矩形，，，
，
，
将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，
，，，
∴，
，
；
（2）解：分以下两种情况：
①当点在上时，如图
，，，
，
在中，，
由（1）可得，，
；
②当点在延长线时，如图所示
，
在中，，
，
，即，
；
综上所述，的长为或；
（3）解：能，或，理由如下：
分以下两种情况：
第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
由（1）可得，，，
设，，
旋转，
，，，
是等腰三角形，
过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，点是中点，
，
在中，，
，
整理得，，
解得，（负值舍去），
；
第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
与重合，
，，，，
，是等腰三角形，
，
过点作与点，
，，
四边形是矩形，
，
．
23．【答案】（1）解：∵点，点是菱形的边的中点，
∴
∵反比例函数经过点．
∴
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴
∵点，点
∴
∴，
∵
当和相似，则或
∴或
设，
∴或
解得：（舍去）或或或（舍去）
当时，，当时，
∴或
（3）解：∵
∴
∴是等腰直角三角形，
如图，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，
∵
∴
又∵，
∴
∴
设，
∴，即
∴，
∵，
∴即
∴
解得：
∴在直线上运动，
设为的外接圆半径为，则的外接圆半径也为
如图，当时，取得最小值，最小值为
当在上时，如图，此时取得最大值，
∵点，点
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
将代入，得
∴
∴．
∴的半径的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）根据线段中点性质可得，再根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得AD，再根据菱形性质可得，则，根据正切定义可得，，再根据相似三角形性质分类讨论，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，根据全等三角形判定定理可得，则，设，，则，即，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则在直线上运动，设为的外接圆半径为，则的外接圆半径也为，分情况讨论：当时，取得最小值，最小值为；当在上时，此时取得最大值，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，再将x=1代入解析式可得，再根据两点间距离即可求出答案.
（1）解：∵点，点是菱形的边的中点，
∴
∵反比例函数经过点．
∴
∴；
（2）如图，
∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴
∵点，点
∴
∴，
∵
当和相似，则或
∴或
设，
∴或
解得：（舍去）或或或（舍去）
当时，，当时，
∴或
（3）解：∵
∴
∴是等腰直角三角形，
如图，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，
∵
∴
又∵，
∴
∴
设，
∴，即
∴，
∵，
∴即
∴
解得：
∴在直线上运动，
设为的外接圆半径为，则的外接圆半径也为
如图，当时，取得最小值，最小值为
当在上时，如图，此时取得最大值，
∵点，点
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
将代入，得
∴
∴．
∴的半径的取值范围为．
1 / 1广东省潮州市潮安区2025年中考一模百校联考数学试题
1．（2025·潮安模拟）如果表示零上20度，则零下20度表示（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：如果表示零上20度，则零下20度表示，
故选：D．
【分析】正负数表示具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示.
2．（2025·潮安模拟）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形．
故答案为：B．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
3．（2025·潮安模拟）据国家统计局消息：2024年出生人口人，为7年来首次同比增长，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，为整数．
4．（2025·潮安模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，同底数幂的乘法运算逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·潮安模拟）已知，点和关于原点中心对称，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和关于原点中心对称，
∴
∴
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得m，n值，再带图代数式即可求出答案.
6．（2025·潮安模拟）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，即，
解得：，
的取值范围是，
故选：B．
【分析】根据二次方程有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
7．（2025·潮安模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，；
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴在数轴上表示为：
，
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可.
8．（2025·潮安模拟）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的图象关于轴对称，
关于轴的对称点为，
，且时，函数值随自变量的增大而减小，
；
故选：D．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
9．（2025·潮安模拟）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求出答案.
10．（2025·潮安模拟）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
∴，即，
解得，
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得DG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
11．（2025·潮安模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：提取公因式得：．
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．（2025·潮安模拟）某班开展“强国有我”主题演讲，共有2位男同学和3位女同学报名参加，现从中随机抽取1位同学进行演讲，则抽到男同学的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽到的同学总共有5种等可能情况，
抽到男同学总共有2种可能情况，
故抽到男同学的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
13．（2025·潮安模拟）已知点在一次函数的图象上，则　 　．
【答案】1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴
解得：
故答案为：．
【分析】根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
14．（2025·潮安模拟）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ∵分式方程，
∴4x=2(x-2），
∴4x-2x=-4，
解得：x=-2，
当x=-2时，x(x-2）=-2×（-2-2）=8≠0，
∴x=-2是方程的解，
故答案为：x=-2.
【分析】利用解分式方程的方程求出x=-2，再检验求解即可。
15．（2025·潮安模拟）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，再根据三角形的外角定理得出，再解直角三角形可得PQ，EQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2025·潮安模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025·潮安模拟）如图，已知，，是的中位线，其中点D在边上，点E在边上．
（1）用圆规和直尺在中作出中位线.（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：如图，线段为所求；
（2）解：是的中位线，
．
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，分别交，于点E，D，连结即可；
（2）根据三角形的中位线定理即可求出答案.
18．（2025·潮安模拟）如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为5m，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，）．
（1）求点到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点时，，求的度数．
【答案】（1）解：过点作于，延长交于，则四边形为矩形，
，，
则，
点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
（2）解：由（1）可知，四边形为矩形，且
在中，
∵，
∴，
．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于，延长交于，则四边形为矩形，根据矩形性质可得
，，再根据正弦定义可得PF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：过点作于，延长交于，则四边形为矩形，
，，
则，
点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
（2）由（1）可知，四边形为矩形，且
在中，
∵，
∴，
．
19．（2025·潮安模拟）某校在校园艺术节活动中，举行“校园最美学生”评选活动，经过年级推荐与师生投票，先后有30名学生进入候选人名单，根据规则，候选人要参加品德考查、素养考试、情景模拟三项测试，每项测试满分为100分，除第二项为笔试外，第一项、第三项均由七位评委打分，取平均分作为该项的测试成绩，再将品德考查、素养考试、情景模拟三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小明、小月的三项测试成绩和总评成绩如表，这30名学生的总评成绩频数分布直方图 （每组含最小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
品德考查 素养考试 情景模拟
小明 83 72 80 78
小月 86 84
（1）在情景模拟测试中，七位评委给小月打出的分数如下：65，72，68，69，74，69，73．这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；
（2）请你计算小月的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名“校园最美学生”．试分析小明、小月能否入选，并说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：由题意得
，
答：小月的总评成绩为
（3）解：小明不一定选上，小月肯定能选上；
由频数分布直方图得
分数在的有人，
选拔人，
故小月肯定能选上；
分数在的有人，
在这个分数段选人，但小明分数不一定是最高的，
故小明不一定选上．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】（1）解：将65，72，68，69，74，69，73从小到大排列为65，68，69，69，72，73 ，74，
中间的数据为，
中位数为；
出现最多的数据为，
众数为；
，
故答案：，，；
【分析】（1）由中位数、众数、算术平均数的定义，即可求出答案.
（2）由加权平均数的定义即可求出答案.
（3）由频数分布直方图结合他们的成绩进行分析，即可求出答案.
（1）解：将65，72，68，69，74，69，73从小到大排列为65，68，69，69，72，73 ，74，
中间的数据为，
中位数为；
出现最多的数据为，
众数为；
，
故答案：，，；
（2）解：由题意得
，
答：小月的总评成绩为分；
（3）解：小明不一定选上，小月肯定能选上；
由频数分布直方图得
分数在的有人，
选拔人，
故小月肯定能选上；
分数在的有人，
在这个分数段选人，但小明分数不一定是最高的，
故小明不一定选上．
20．（2025·潮安模拟）端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个．
（1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？
（2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据题意，得
，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
（元），
答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元；
（2）解：设售价定为元，利润为元，根据题意，得
，
，
二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
当时，有最大值，最大值为720元，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据“用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个”列出分式方程，解方程即可求出答案.；
（2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据题意，得
，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
（元），
答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元；
（2）解：设售价定为元，利润为元，根据题意，得
，
，
二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
当时，有最大值，最大值为720元，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
21．（2025·潮安模拟）综合与实践
【主题】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．
【探究发现】如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接DE，DB，设，，求的值（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现，顶角的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比，请在（1）的条件下证明：
【拓展应用】（3）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，，请直接写出这个菱形较长的对角线长．
【答案】（1）解：根据折叠可知．
，
；
根据折叠可知，，，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）证明：，，
．
由折叠知，
，
，
，
，
即，
整理得：，
解得：（舍去），
经检验是原方程的解，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：菱形较长对角线．
如图3，在上截取，连接，
，四边形是菱形，
是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，
根据黄金三角形的底与腰的比值为，
可得，
．
，，
，
．
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得，，，由三角形内角和定理可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理可得．由折叠知，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值解方程即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据菱形性质可得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，，由题意可得，则．根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据补角可得，再根据等边对等角可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2025·潮安模拟）如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，连接，．
（1）求的值；
（2）在绕点旋转过程中，当点落在对角线上时，求的长；
（3）连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：四边形是矩形，，，
，
，
将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，
，，，
∴，
，
；
（2）解：分以下两种情况：
①当点在上时，如图
，，，
，
在中，，
由（1）可得，，
；
②当点在延长线时，如图所示
，
在中，，
，
，即，
；
综上所述，的长为或；
（3）能，或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：能，或，理由如下：
分以下两种情况：
第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
由（1）可得，，，
设，，
旋转，
，，，
是等腰三角形，
过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，点是中点，
，
在中，，
，
整理得，，
解得，（负值舍去），
；
第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
与重合，
，，，，
，是等腰三角形，
，
过点作与点，
，，
四边形是矩形，
，
．
【分析】（1）根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得，，，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当点在上时，根据边之间的关系可得，，，CE=2，再根据勾股定理可得FC，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在延长线时，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理科二CF，根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（3）分情况讨论：，是以为直角边的三角形，设，，根据旋转性质可得，，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，过点作于点，交于点，则，根据相似三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得，根据勾股定理可得AK，根据边之间的关系可得KH，根据线段中点可得CK，再根据勾股定理可得KH，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；，是以为直角边的三角形，根据题意可得，，，，根据直线平行判定定理可得，过点作与点，则，，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，即可求出答案.
（1）解：四边形是矩形，，，
，
，
将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，
，，，
∴，
，
；
（2）解：分以下两种情况：
①当点在上时，如图
，，，
，
在中，，
由（1）可得，，
；
②当点在延长线时，如图所示
，
在中，，
，
，即，
；
综上所述，的长为或；
（3）解：能，或，理由如下：
分以下两种情况：
第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
由（1）可得，，，
设，，
旋转，
，，，
是等腰三角形，
过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，点是中点，
，
在中，，
，
整理得，，
解得，（负值舍去），
；
第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
与重合，
，，，，
，是等腰三角形，
，
过点作与点，
，，
四边形是矩形，
，
．
23．（2025·潮安模拟）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，点，点是菱形的边的中点，反比例函数经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，求点的坐标；
（3）如图2，点在上，连接，，点是线段上的动点，连接，作关于直线的轴对称图形，作的外接圆，当的圆心在菱形上或内部时，求的半径的取值范围．
【答案】（1）解：∵点，点是菱形的边的中点，
∴
∵反比例函数经过点．
∴
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴
∵点，点
∴
∴，
∵
当和相似，则或
∴或
设，
∴或
解得：（舍去）或或或（舍去）
当时，，当时，
∴或
（3）解：∵
∴
∴是等腰直角三角形，
如图，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，
∵
∴
又∵，
∴
∴
设，
∴，即
∴，
∵，
∴即
∴
解得：
∴在直线上运动，
设为的外接圆半径为，则的外接圆半径也为
如图，当时，取得最小值，最小值为
当在上时，如图，此时取得最大值，
∵点，点
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
将代入，得
∴
∴．
∴的半径的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）根据线段中点性质可得，再根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得AD，再根据菱形性质可得，则，根据正切定义可得，，再根据相似三角形性质分类讨论，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，根据全等三角形判定定理可得，则，设，，则，即，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则在直线上运动，设为的外接圆半径为，则的外接圆半径也为，分情况讨论：当时，取得最小值，最小值为；当在上时，此时取得最大值，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，再将x=1代入解析式可得，再根据两点间距离即可求出答案.
（1）解：∵点，点是菱形的边的中点，
∴
∵反比例函数经过点．
∴
∴；
（2）如图，
∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴
∵点，点
∴
∴，
∵
当和相似，则或
∴或
设，
∴或
解得：（舍去）或或或（舍去）
当时，，当时，
∴或
（3）解：∵
∴
∴是等腰直角三角形，
如图，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，
∵
∴
又∵，
∴
∴
设，
∴，即
∴，
∵，
∴即
∴
解得：
∴在直线上运动，
设为的外接圆半径为，则的外接圆半径也为
如图，当时，取得最小值，最小值为
当在上时，如图，此时取得最大值，
∵点，点
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
将代入，得
∴
∴．
∴的半径的取值范围为．
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