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2024-2025学年度下学期期末质量检测高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．从22，33，44，55这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．若D为的边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，则m，n可能平行、异面或者相交
B．若，，则n与可能平行、相交或者
C．若，，则
D．若，，则
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在正方体中，三棱锥的体积为9，则正方体的棱长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在复平面内，复数，对应的向量为，，其中O是原点，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第一象限
C．当时，复数为纯虚数 D．向量对应的复数为
10．已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则
C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则
11．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，然后朝着山顶方向，沿倾斜角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为______．
13．已知向量，，在网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______．
14．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，通常用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点B的曲率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求圆锥的表面积．
16．（本小题满分15分）
某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；
（2）若用分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．
17．（本小题满分15分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B的值；
（2）若，，，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点E在棱上．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求；
（3）当取得最小值时，求二面角的余弦值．
19．（本小题满分17分）
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若P是的“费马点”，，．
（1）求角A；
（2）若，求的周长；
（3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
高一数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B C D A D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 BC ACD AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．3 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
【解析】
（1）连结，如下图示：
、O分别为、的中点，
，又平面，平面，平面．
（2），P为的中点，．
，
圆锥的表面积 ．
16．（本小题满分15分）
【解析】（1），则，
；，
故40百分位数在，则40百分位数为，
平均数；
（2）因为按比例分配的分层随机抽样，故，，
三层中抽取的样本量分别为：；；；
从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，
抽取的人编号为4、5、6，记事件“抽取的两人都及格”，则
，
所以；
，
所以；．
17．（本小题满分15分）
【解析】
（1）在中，若，
由正弦定理得，故，
即，由余弦定理得，
因为，故．
（2）因为，，所以，
由（1）得，因为，由正弦定理得，，
则，，
于是，，
因为，所以，故，
所以的范围是．
18．（本小题满分17分）
【解析】
（1）因为平面，平面，所以，
因为为菱形，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面．
（2）连接，因为平面，平面，
平面平面，所以，
因为O是中点，所以E是中点．
因为平面，所以E到平面的距离．
因为菱形中，，，
所以，
所以．
（3）由平面，平面，平面，得，，
故即为二面角的平面角．
当取得最小值时，，又，
所以平面，所以，
菱形中，计算得，，
又，所以，
在中，，解得．
在中，，
所以二面角的余弦值为．
19．（本小题满分17分）
【解析】
（1）由正弦定理，已知，可化为，
即，即，
由于，，所以，所以．
（2）由（1）知，的三个内角均小于120°，所以
设，，，则
．
所以，
由得：，
即，由余弦定理得，，
即，即，
又，联立解得，．
所以的周长为．
（3）由（2）知，在，，中，由余弦定理得
，联立得，
所以，所以，
，
即，令，，
由对勾函数性质知在上单调递减，
所以．即m的取值范围为．

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