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专题1.5 数轴中的九类动态问题
数轴中的动态问题属于（2024）浙教版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.动态规律（左右跳跃）模型 2
考点2.动态中点与n等分点模型 3
考点3.单（多）动点匀速模型 6
考点4.单（多）动点变速模型 8
考点5.动点往返运动模型 11
考点6.动态定值（无参型）模型 14
考点7.动态定值（含参型）模型 17
考点8.数轴折叠（翻折）模型 20
考点9.数轴上的线段移动模型 23
模块3：培优训练 28
①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，
则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。
②数轴动点问题主要步骤：
1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：
（1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
（2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。
考点1.动态规律（左右跳跃）模型
例1．（2024·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________．
【答案】##
【详解】解：∵第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；则实际移动的长度为：-1+2=1，
第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；则实际移动的长度为：-2+3=1，
第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；则实际移动的长度为：-3+4=1，…
∴第n次移动后点P在数轴上表示的数为：-3+n=n-3．故答案为：n-3．
例2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，
，该点运动到2025秒时对应的数为，故选：A．
例3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（ ）
A．673 B．674 C．675 D．676
【答案】C
【详解】解：∵动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，
∴每6秒点P完成一次前进和一次后退运动，且每6秒内点P向数轴正方形运动2个单位，
∵，∴为，故选：C．
例4．（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得，点A1表示的数为，点A2表示的数为，
点A3表示的数为，…，点表示的数为，
∴点表示的数为.
∵的中点表示的数为，∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：.故答案：．
考点2.动态中点与n等分点模型
例1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　）
A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒
【答案】C
【详解】解：点表示的数为，∴，∵，则，∴点表示的数为，
∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）；根据题意，设经过秒，
∴点表示的数为：，点表示的数为：，
第一种情况，点在原点左边，点在原地右边，
∴，，且∴，解得，；
第二种情况，点都在原点左边，
∴，，且，∴，解得，；
第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；
综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等，故选：C ．
例2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ．
【答案】或4或7
【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，
当点P是线段的中点时，，解得：；
当点Q是线段的中点时，，解得：；
当点A是线段的中点时，，解得：．
综上所述，t的值为或4或7．故答案为：或4或7．
例3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）阅读理解：
若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点．
(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”）
(2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？
【答案】(1)不是，是(2)或
(3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点
【详解】（1）解：由题意得：，，
，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点，故答案为：不是，是；
（2）设这个数是， 由题意得：，解得：或，
数或所表示的点是[，]的赞点，故答案为：或；
（3）设点运动的时间为，由题意得：，，，
点到达点所用的时间为（秒），分四种情况：
①当时，，解得：，此时是[，]的赞点；
②当时，，解得：，此时是[，]的赞点；
③当时，，解得：，此时是[，]的赞点；
④当时，，解得：，此时是[，]的赞点；
综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点．
例4．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．
（1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______；
【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？
【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______．
【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为；（）；
【详解】解：（），∴，，∴，，
∴点对应的数为，点对应的数为∴的中点所对应的数为，故答案为：；
（）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为，
∴，解得，当时，的中点所对应的数为；
（）根据题意：五等分点公式点对应的数为，故答案为：；
考点3.单（多）动点匀速模型
例1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．4 B．2 C．2或4 D．或
【答案】C
【详解】解：动点所表示的数是，是线段的中点，点所表示的数是，
，，，或，解得或．故选：C．
例2．（24-25七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得；
当点在点的右侧时，由题意得，解得；
∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或；故选：D．
例3．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题：
(1)A点表示的数为______，B点表示的数为______；(2)t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______；
(3)请求出当t为何值时，；(4)运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？
【答案】(1)，(2)， (3) 或 (4) 、或
【详解】（1）已知，且，∴，
∵在点O的左侧，在点O的右侧，∴A点表示的数为，B点表示的数为．
（2）点P从点A出发，向数轴负方向运动，
∵点P的运动速度是每秒3个单位长度，∴点P表示的数为，
点M从点B出发，向数轴负方向运动，
∵点M的运动速度是每秒5个单位长度， ∴点M表示的数为．
（3）由（2）可知，点P表示的数为，点Q表示的数为，
∴，
当时，即，则或，解得或．
（4）由题意可知，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，
∴，，，
当时，，即，解得，
当时，，即，或解得或，
当时，点M表示的数为，点P表示的数为，此时两点重合，故舍去；
当时，，得或，解得或，
当时，点P表示的数为，点表示的数为，两点重合，舍去；
综上所述，或或．
考点4.单（多）动点变速模型
例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为．
(1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数；
(3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值．
【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3)
【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴，
∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ；
（2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，，
即或， 解得或，
当时，； 当时，；
答：当的值为或时，，此时点表示的数为或；
（3）解：若，则，
当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴，
∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴．
例2．（24-25七年级上·重庆·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为．
(1)请直接写出________，________；
(2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？
(3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，4(2)(3)存在，
【详解】（1）∵，∴，，∴，，故答案为：，4；
（2）∵，∴点N在数轴上表示有理数4，∵点B在数轴上表示有理数6，∴B点位置如图所示，
∵，由题意知，，，，∵，∴，
当时，， ∴（舍去），
当时，，∴时，使得；
（3）存在，理由如下，∵，∴相遇时，两点各自运动的时间为（秒），
∴由题意知，当时，，，∴，∴（舍去），
当时，，，∴,∴，
∴当时，．
例3．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题：
(1)当点P运动5秒时，______，______，______．
(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离：
______，______，______．
(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？
(4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，11，22(2)
(3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25
【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为，
；故答案为：，11，22；
（2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为，
∴；故答案为：；
（3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：，
此时点P表示的有理数为；
即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4；
（4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）；
①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为，
由题意得：，解得：，
不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为，
则，方程无解，
此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等；
此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得；
符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上，
此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等；
⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是，
所以，解得；
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25．
考点5.动点往返运动模型
例1．（24-25七年级上·陕西安康·期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示的数为a，b，c．已知a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数．
(1)填空：______，______，______；并在数轴上标出原点O；
(2)若动点M，N分别从点A，B同时出发沿数轴向左运动，点M的速度是每秒2个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点M可以追上点N？
(3)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动．设运动的时间为t秒，当点Q到原点O的距离为3时，求点P表示的数．
【答案】(1)5，，(2)运动7秒后，点M可以追上点N(3)或
【详解】（1）解：a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数，
，，，故答案为：5，，；
（2）解：设运动秒后，点M可以追上点N，根据题意得：，解得：，
运动7秒后，点M可以追上点N；
（3）解：当点Q由点A向点O运动时，
，，解得：，此时点P表示的数是；
当点Q由点O向点A运动时，，，解得：，
此时点P表示的数是；综上所述，点P表示的数是或
例2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．P点运动时间为．(1)直接写出____，____；(2)若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由；(3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．①当点Q是中点时，求出此时t的值．②当点P从点A开始运动后的时间____秒时，P，Q两点之间的距离为2．
【答案】(1)；9(2)不发生变化，理由见解析(3)①或；②2或8或10或或
【详解】（1）解：，，，
，．故答案为：；9．
（2）解：由题意得，P点表示的数为，为的中点，点表示的数为，
为的中点，点表示的数为，
．在P点运动的过程中，线段的长度不发生变化，恒为定值．
（3）解：由题意得，，，，
点P从点B运动到点C时间为，点P从点A运动到点B时间为,点Q从点A运动到点C时间为,即可知点Q的运动情况为：先是在点A静止，再开始由点A运动到点C，再由点C运动到点A，再由点A继续运动，即点Q在A与C之间运动了一个来回；
P点表示的数为，点B表示的数为，中点表示的数为，
①当点Q静止时，即，在此过程点P和点B均在点Q的右侧，故点Q不会是中点；
当点Q从点A运动到点C时，即，
此时Q点表示的数为，，解得：；
当点Q从点C运动到点A时，即，此时Q点表示的数为，
，解得：；
当点Q再次到达点A时，还继续出发向点C运动，即运动了3个单位长度，在此过程点P和点B均在点Q的右侧，故此时点Q不会是中点；综上所述，t的值为或．
②当点Q静止时，即，此时Q点表示的数为，
，解得：；
当点Q从点A运动到点C时，即，此时Q点表示的数为，
，或，解得：或；
当点Q从点C运动到点A时，即，此时Q点表示的数为，
，或，解得：或；
当点Q再次到达点A时，还继续出发向点C运动，即，
此时Q点表示的数为，，
或，解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述，当点P从点A开始运动后的时间秒时，P，Q两点之间的距离为2．
故答案为：2或8或10或或．
例3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上有、两个定点，
(1)线段的中点表示的数为 ；若数轴上点，满足时，则点所表示的数为 ．
(2)数轴上的动点、、按以下方式运动（速度单位：单位／秒）；、分别以 、的速度从点出发向右运动，同时以 的速度从点出发向左运动，当、相遇后，立即反向按原速运动，而当、相遇后，又立即反向按原速运动，依此类推，当、相遇时，点的运动路程是 个单位；
(3)若点为线段的中点，点为线段的中点，点为线段的中点，依此类推，点为线段的中点，它们在数轴上表示的数分别为， 为正整数）．
①当时，求出的值；②记， 求当时，的值等于 ．
【答案】(1)；或(2)(3)①；②
【详解】（1）解：线段的中点表示的数为
设点所表示的数为根据题意得：，即（）或（），解得：或
点在数轴上所表示的数为或；故答案为：或；
（2）设经过秒，点，相遇，根据题意得：解得：
点的运动路程是个单位．故答案为：；
（3）①由题意得：表示的数为，表示的数为，表示的数为，…，表示的数为，表示的数为，
∴当时， ，
则当时，为定值为；
②由①得：当时，，，
同理得：，，…，，
∴，，
．
考点6.动态定值（无参型）模型
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数b，C点表示数7，b是最小的正整数，
(1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则折痕与数轴交点对应的点是________，并且点B与数________对应的点重合；(2)若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位向右运动，点C以4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，求的值.
【答案】(1)，4(2)12
【详解】（1）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合，在数轴上A点表示数，C点表示数7，
∴，∴则折痕与数轴交点对应的点是，
∵B点表示数b，b是最小的正整数，∴，则，
∴点B与数4对应的点重合，故答案为：，4；
（2）解：依题意，秒钟后，点表示，点表示，点表示，
，，，
故的值不变，其值为12．
例2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边．
(1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒．
①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？
②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ．
【答案】(1)12或24(2)①2.5或3.5；②2或
【详解】（1）解：∵，∴①当点C在点B左侧时，，
②当点C在点B右侧时，，
∴，∴；故答案为：12或24；
（2）解：①令点A表示的数为0，则点B表示的数为16，点D表示的数为4，点M表示的数为，点N表示的数为，
∵不确定点P在点B左侧还是右侧，∴，∴，
解得：或，答：当t为秒或秒时，；
②当点P与点Q相遇时，，即，解得：，
分两种情况：Ⅰ．点P与点Q相遇前即时，，，，
当时，，解得：或（不合题意，舍去）；
Ⅱ．点P与点Q相遇后即时，，，
，
当时，，解得：，故答案为：2或．
例3．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）已知数轴上A，B两点对应的数分别为，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，
(1)______，______（用含x的式子表示）；
(2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P以每秒1个单位长度的速度从O点向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是的中点，问的值是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)，；(2)存在，当或7时，；(3)的值不发生变化，理由见详解．
【详解】（1）解：依题意，，；故答案为：；．
（2）解：存在，过程如下：依题意，分三种情况：
①当点在、之间时，；
②当点在点右边时，，，令，解得；
③当点在点左边时，，，令，解得，
综上，当或7时，；
（3）解：的值不发生变化，理由如下：设运动时间为，
根据题意得，，，，
∴，∴，∴，
故，，，
．∴的值不发生变化．
考点7.动态定值（含参型）模型
例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离．
如图，数轴上有、两点，其中表示，点表示数．
(1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为______；
(2)点、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点追上点后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当点回到原点时都停止运动．设运动时间为．①当追上时，求、两点之间的距离；②在点返回原点的过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或(2) 存在，
【详解】（1）解：设点表示的数为，由题意可得：，
即：，或，解得：或，
即：点表示的数为或，故答案为：或；
（2）解：①当追上时，点表示的数为：，
点表示的数为：，点表示的数为：，
由题意可得：，解得：，
此时，、两点之间的距离为：；
②存在，，理由如下：当追上时，点、表示的数相等，为，
此后，点表示的数为：，点表示的数为：，
点表示的数为：，，
，
，
分两种情况讨论：）当时，，
为定值，，解得：；
）当时，，
为定值，，解得：；综上，．
例2．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点．
(1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________．
(2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由．
(3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，4，(2)存在，或(3)存在，时，定值为28
【详解】（1）解：∵，，∴，
∴，∴，∴点A表示的数为，点B表示的数为，
∴，故答案为：，4，；
（2）解：设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为，
当P、Q两点相遇前，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为；
当P、Q两点相遇后，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为；
∵，∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为；
（3）解：存在，当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，
则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为，
∴，
当，即时，为定值28
例3．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则．
根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示）
(2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发．
①若点，两点到原点的距离相等，求的值；
②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系．
【答案】(1)(2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或
【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12，∴，
∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
∴点表示的数为，故答案为：；
（2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴点表示的数为：，
∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：，
∵点，两点到原点的距离相等，∴，
当时，，解得，；当时，，解得，；
综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等；
②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为，
如图所示，点在店左边，
∴，，∴
，
∵的值不随的变化而变化，∴；如图所示，点在店右边，
∴，，
∴，
∵的值不随的变化而变化，∴；
综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或．
考点8.数轴折叠（翻折）模型
例1．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知，、、三点在数轴上的位置如图所示，这三点对应的数分别、、，点为原点，如果，与是同类项，线段的中点是．
(1)直接写出、、的值，则有：_______，_________，_______．
(2)动点、分别从点、同时出发，点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，当和相距5个单位长度时，求的值．
(3)点、从各自的位置出发在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，若将线段沿着原点向右翻折，使点落在数轴的正半轴上的点处，若线段和线段的其中一段为另一段的2倍，请求出这时点表示的数．
【答案】(1)；1；18(2)或(3)
【详解】（1）解：∵，∴或，∵点A在原点左侧，∴，∴，
∵与是同类项，∴，∴，∵线段的中点是，∴，∴；
（2）解：∵点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，
∴点P表示的数为，点Q表示的数为，
根据题意得：或解得：或，
即当和相距5个单位长度时，的值为或．
（3）解：设运动时间为x秒，则x秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为，
当时，，解得：,（负数不符合题意舍去），
此时点A表示的数为：；当时，，
解得：，不符合题意舍去；
综上分析可知：线段和线段的其中一段为另一段的2倍时，点表示的数为．
例2．（2024·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：
（一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；
（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；
（3）如图，数轴上点A表示的数为 1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位．
（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．
（4）若折叠纸条，表示 3的点与表示1的点重合，则表示 4的点与表示 的点重合；
（5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示 1的点，则A点表示的数为 ；
（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ．
【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或
【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为；
（2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为
机器人向左移动两次，则B点表示的数为
机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或
（3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，，
由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10
（4）由题意可得：对称中心为，则表示 4的点与表示2的点重合
故答案为2
（5）由题意可得，A点在表示 1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6
（6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8
当在左侧时，，点N表示的数为-4
当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或
例3．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③
【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，
它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；
它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；
它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…，
由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n，
它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是；
当，即 时，，
所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是；
当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；
故答案为： ，1012．
（2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1．
因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：．
②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1．
又因为，
所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013．
③由折叠可知，，
因为点M、N表示的数分别是、8，所以 ．
又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以．
因为，，所以点P表示的数为．故答案为：．
考点9.数轴上的线段移动模型
例1．（24-25七年级上·云南昭通·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．已知数是最大的负整数，且数，满足．
(1)填空：______，______，______；(2)若数轴上有一点，满足，且点在点的右侧，求点表示的数；(3)在（）的条件下，线段和分别以个单位长度秒和个单位长度秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，为线段的中点，为线段的中点．若，求的值．
【答案】(1)，，；(2)；(3)或．
【详解】（1）解：∵，∴，，
∵数是最大的负整数，∴，故答案为：，，；
（2）解：设点表示的数为，根据题意，得，
解得，所以点表示的数为；
（3）解：由（）（），得，，，四点在数轴上所表示的数分别为，，，，
所以运动前，两点在数轴上所表示的数分别为，，则运动秒后，，两点在数轴上所表示的数分别为，，
分两种情况讨论：线段没有追上线段，，解得；
线段追上线段后，，解得；综上所述，的值为或．
例2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变）
(1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示）
(2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值．
【答案】(1)，(2)5，．(3)(4)或．
【详解】（1）解：由题意可得：在运动过程中，点B表示的数是，
∵点D在数轴上表示的数是14，线段的长度为4个单位长度，
∴点C表示，∴在运动过程中，点C表示的数是．故答案为：，．
（2）解：∵线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14，∴点A表示，点C表示，∴在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，
∵当点C和点B表示的数相同时，开始重叠，∴，解得：，
∴当时，线段与线段开始有重叠部分；
∵点D和点A表示的数相同时，开始不再有重叠部分；∴，解得：，
∴当时，线段与线段开始不再有重叠部分．故答案为：5，．
（3）解：∵在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，点C在线段上，∴，，
∵，∴，解得：，∴当点C在线段上，且时，t的值为．
（4）解：∵当点C和点B相遇时，即点C和点B表示的数相同时，∴，解得：，
∵当点B与点D相遇时，即点D和点B表示的数相同时，
∴，解得：，此后点C的运动每秒个单位长度向左运动，
∴当点C和点B相遇后，时点C表示的数为5，以后点C表示的数为；
当点C在点A的右侧时，，
∵，∴，解得：或不合题意舍弃；
当点B与点D相遇后，点C表示的数为
当点C在点A的右侧时，，
∵，∴，解得：符合题意或不合题意舍弃；
综上，当时，或．
例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，长方形的长是6个单位长度，宽是4个单位长度，长方形的长是10个单位长度，宽是3个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为14．
(1)填空：点H在数轴上表示的数是____________，点A在数轴上表示的数是____________．
(2)若点P在线段上，且点P到点D与到点E的距离和为20，求点P在数轴上表示的数．
(3)若长方形在数轴上向右运动，长方形固定不动，设两个长方形重叠部分的面积为S．
①整个运动过程中，S首次达到最大值时，D点所表示的数是____________．
②当时，求此时D点所表示的数．
【答案】(1)；(2)；(3)2；点所表示的数为或．
【详解】（1）解：∵长方形的长是个单位长度，宽是个单位长度，长方形的长是个单位长度，宽是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且两点之间的距离为，
点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是,故答案为：；
（2）解：是个单位长，点在数轴上表示的数为,
点在数轴上表示的数是.设点表示的数是,
点在线段上，，
点在线段上，且点到点与到点的距离和为，
,解得：,点表示的数是；
（3）解：首次达到最大值时，即点与点重合时，如图,
由题意可知未移动之前，
∴当点与点重合时，点与点都移动了个单位长度，
∴D点所表示的数是，故答案为：，
由题意可知两个长方形重叠部分的宽为个单位长度，且,
两个长方形重叠部分的长为个单位长度，
分类讨论：当长方形与长方形重合之前，时，如图，
此时，点所表示的数是，
当长方形与长方形重合之后，时，如图，
此时，，点所表示的数是，
综上可知，此时点所表示的数为或．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：，，，解得：，，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，表示的数是，表示的数是，
根据题意可得：，即：，解得：或，故选：．
2．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（ ）
A．2 B．1 C．2或 D．或1
【答案】D
【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：或，解得：或，
的值为或1．故选：D．
3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．4或16 D．8或16
【答案】D
【详解】解：，且，点、表示的数分别为，10，根据题意得，，，
长分两种情况：①当时，，，
要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即，
②当时，，，
要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即，故答案为：D．
4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】解：点在线段上，，
；
点在线段上， ，
，，综上：
∴最大值为，最小值为，∴，故选：B．
5．（2024·广东·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时，
点表示数的为，②正确；
当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动
则，，，③错误；
当时，，，由题意得，，解得，不符题意；
当时，，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，当时，，
由题意得，，解得，此时三点重合，成立；
当时，，由题意得，，解得，不符题意；
当时，，由题意得，，解得，不符题意；
④正确 故选：D
6．（24-25七年级上·四川南充·期末）如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（）
A．0 B． C．或0 D．或
【答案】C
【详解】解：设点运动了秒时，，
表示的数为，点表示的数为8，，
由题意得：点运动了秒时，点与点相遇
当点与点相遇前，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，，
点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，，
，，解得：，点表示的有理数为；
当点与点相遇后返回时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
，点从点出发，与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动，
，，，解得：，
点表示的有理数为；综上所述，点表示的有理数为或0，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ．
【答案】 秒或秒
【详解】解：∵数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等，
∴数轴的原点对应的刻度为，∴点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是，
∵点P从点A向右移动，速度为4个单位长度/秒，点Q从点B向右移动，速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒，∴点P表示的数为，点Q表示的数为，
当P在点Q左边时，，解得，；
当点P在点Q右边时，，解得，；
综上所述，当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为秒或秒。故答案为：①；② 秒或秒．
8．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ．
【答案】
【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，解得：，，相遇点所表示的数为．故答案为：．
9．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ．
【答案】或
【详解】解：由题意得，点N表示的数为，设点Q运动的时间为t秒，
当点P在点Q左边时，则，解得，∴点P表示的数为；
当点P在点Q右边时，则，解得，∴点P表示的数为；
综上所述，点P对应的数为或，故答案为：或．
10．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒．
(1)则_____________；_____________；
(2)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示）
(3)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示）
【答案】(1)；(2)；(3)；
【详解】（1）解：∵，∴，
解得：；故答案为：；；
（2）解：由（1）得点A所表示的数为，点B所表示的数为，
∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，∴点C所表示的数为4，
又∵点D所表示的数为12，∴从运动到的过程中，点表示的数是；从运动到的过程中，点表示的数是；故答案为：；；
（3）解：∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，
∴点C所表示的数，点B，C之间的距离，
∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动，
∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒），
又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒），
∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒），
∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：；
∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒），
∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，
∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒），
∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒），
∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：．故答案为：；．
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．
（1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ；
【答案】 40
【详解】解：（1）M点对应的数是：；故答案为：40；
（2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90，，
设t秒后P、Q相遇，，解得，
此时点P走过的路程为，此时C点表示的数为．
即：C点对应的数是．故答案为：．
12．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），且，下列结论：

①，；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有 个．
【答案】3
【详解】解：∵，∴，，∴，，故①正确；
∴，当点B与点O重合时，点B在点C的左侧，
∴C对应的数是2，∴，故②错误；
当点C与点A重合时，点C对应的数是4，点B对应的数是2，设点P对应的数是x，
则，，，∴，故③正确；
设B表示的数为，则C表示的数为， ∵M为线段的中点，∴M表示的数为，
∵N为线段的中点，A表示的数是4，∴N表示的数为
∴，故④正确，∴正确的是①③④，有3个．故答案为：3．
三、解答题（本题共12小题，每题7分，共84分。答案写在答题卡上）
13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．

(1)求的长；(2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）．①问为何值时，为的中点？②当时，求的值．
【答案】(1)18(2)①2或②4或8或12
【详解】（1）解：∵，两点对应的数分别为和，，两点对应的数互为相反数，
∴点对应的数为，∴；
（2）解：设点对应的数为，点对应的数为，
则：，，
①当时，，即：，解得：，
当时，，即：，解得：，
综上所述，的值为2或；
②当时，∵，∴，解得：或，
当时，∵，∴，解得：或（舍），
综上所述，的值为4或8或12．
14．（2024·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度
【详解】（1）∵，2的绝对值是2，，的绝对值是2，∴点P对应的数是1．
（2）当P在之间，（不可能有）
当P在A的左侧，，得
当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则．
答：点P所经过的总路程是个单位长度．
15．（2024·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为 2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【解析】(1)∵A表示的数为 2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13 （ 2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；．
(2)①t秒后，点P表示的数为 2＋3t，点Q表示的数为13 2t；故答案为： 2＋3t；13 2t．
②根据题意得： 2＋3t＝13 2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为 2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
(3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，
返回途中，P表示的数是13 3（t 5），Q表示的数是 2＋2（t ），
根据题意得：13 3（t 5）＝ 2＋2（t ），解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13 3×（9 5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
16．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．

(1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
【答案】(1)(2)或(3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2
【详解】（1）解：∵，∴在之间，则，，
∴，解得，，∴x的值为1．
（2）解：由题意知，，
∵，∴，即，或，解得或．
（3）解：的值不会随着t的变化而变化；
由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2．
17．（24-25七年级上·浙江·期末）如图1所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以发现终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
(1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ；
(2)如果点A表示数5，将点A向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离为 ；
(3)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你猜想终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ．
(4)如图2，在数轴上从左到右边依次有A，B，C三点，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每秒钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每秒钟4个单位长度从点C向左运动，经过 秒后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等．
【答案】(1) 3 7(2) 7 2(3) /(4)或4
【详解】（1）解： 点A表示数，点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是．
A，B两点间的距离是．故答案为：3；7．
（2）解：点A表示数5，将A点向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度．
终点B表示的数是，A，B两点间的距离．故答案为：7；2．
（3）解：点A表示数m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，
那么终点B表示的数是， A、B两点间的距离是；故答案为：，．
（4）解：如图，，，．令B对应的数为0，A对应的数为3，C对应的数为5．
由题意，设t秒后点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等，
①当Q在B右侧时，t秒后，，，．（秒）．
②当Q在B左侧时，t秒后，，，
．（秒）．故答案为：或4．
18．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点．
(1)若点到的距离为，点到的距离为．①当时，求点所表示的数．②当时，求点所表示的数．(2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数．
【答案】(1)①；②点所表示的数为或；(2)点所表示的数为或或或
【详解】（1）解：①，
当时，点是的中点，点所表示的数．
②当时，若在左侧，，点所表示的数
若在之间，，点所表示的数点所表示的数为或．
（2）解：，，点所表示的数
，，点所表示的数
，，点所表示的数
，,点所表示的数
点所表示的数为或或或．
19．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且．
(1)应用： ， ；(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．
【答案】(1)6；10(2)；或；(3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．
【详解】（1）解：，，故答案为：6；10；
（2）解：t秒时点A表示的数是，此时或，
故答案为：；或；
（3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，
当点A与点B重合时，，解得，
当时，，，
∴，此时的值随着时间t的变化而改变；
当时，，，
∴，此时的值不随着时间t的变化而改变，
综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．
20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．

(1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________．
(2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离．
(3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，．
【答案】(1)2或(2)10(3)8或12
【详解】（1）设点B对应的数是b，
因为，所以，解得或．故答案为：2或；
（2）由（1）知点B对应的数是2，点A运动了（单位长度），
∴（秒），∴点B向左运动了（单位长度），
则点B运动到了点，所以A，B之间的距离是；
（3）因为，解得或，，所以经过8秒或12秒．
21．（24-25七年级上·浙江·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为．
素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）；
探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间．
【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒．
【详解】解：探索1：点表示，点表示，，，
在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半，
在段速度为个单位长度/秒，从点运动至点的时间为：（秒）；
探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍，
在段速度为个单位长度/秒，
由探索1可得：在段运动时间为：秒，，
点表示，表示的数为：；
探索3：设秒后，
①当在上时，，，
，，，
，（秒）；
②当在上时，，，
，，（秒）．
综上：动点运动的时间为秒或秒．
22．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行．
素材1 宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图：
素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推． 数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠．
问题解决
探究1 图2中数字5代表______站．
探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）．
探究3 如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2．5个单位长度．
【答案】探究1：世纪大道；探究2：；探究3：出发4分钟或分钟后两人相距个单位长度
【详解】解：（1）∵以东门口站为原点，∴图2中数字5代表世纪大道站．
（2）点在数轴上表示的数为．
（3）设A运动分钟后在数轴上表示的数为，
①当两辆地铁相遇前相距个单位长度时，，则（分钟）；
②当两辆地铁相遇后相距个单位长度时，
则（分钟）．
综上所述，出发4分钟或分钟后两人相距个单位长度．
23．（24-25七年级上·浙江·期中）阅读材料并回答问题：
对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”．
(1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？(2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________．
【答案】(1)，；(2)或或．
【详解】（1）解：∵，，∴不是点，的“关联点”，
∵，，∴，∴是点，的“关联点”，
∵，，∴∴是点，的“关联点”，
∵，，∴不是点，的“关联点”，
综上可知：，是点，的“关联点”；
（2）设表示的数为，则由题意得，∴，，
∵点是点，的“关联点”，∴当时，即，
则或，解得：或；
当时，即，则或，
解得：或（不合题意，舍去）；
综上可知：点表示的数是或或，故答案为：或或．
24．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”）
(2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式．
①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？
②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”．
【答案】(1)是(2)①或或②或或
【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，
一条线段的中点是这条线段的“巧点”，故答案为：是；
（2）解：①，，，解得：，，
若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：
）当时，此时，点表示的数是：；
）当时，此时，点表示的数是：；
）当时，此时，点表示的数是：；
综上，点表示的数是或或，答：点表示的数是或或；
②如图，
当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，
当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：
）当时，，解得：；
）当时，，解得：；
）当时，，解得：；
综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”．
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专题1.5 数轴中的九类动态问题
数轴中的动态问题属于（2024）浙教版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.动态规律（左右跳跃）模型 2
考点2.动态中点与n等分点模型 3
考点3.单（多）动点匀速模型 6
考点4.单（多）动点变速模型 8
考点5.动点往返运动模型 11
考点6.动态定值（无参型）模型 14
考点7.动态定值（含参型）模型 17
考点8.数轴折叠（翻折）模型 20
考点9.数轴上的线段移动模型 23
模块3：培优训练 28
①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，
则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。
②数轴动点问题主要步骤：
1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：
（1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
（2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。
考点1.动态规律（左右跳跃）模型
例1．（2024·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________．
例2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（ ）
A． B． C． D．
例3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（ ）
A．673 B．674 C．675 D．676
例4．（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ．
考点2.动态中点与n等分点模型
例1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　）
A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒
例2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ．
例3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）阅读理解：
若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点．
(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”）
(2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？
例4．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．
（1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______；
【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？
【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______．
考点3.单（多）动点匀速模型
例1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．4 B．2 C．2或4 D．或
例2．（24-25七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（ ）
A． B． C．或 D．或
例3．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题：
(1)A点表示的数为______，B点表示的数为______；(2)t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______；
(3)请求出当t为何值时，；(4)运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？
考点4.单（多）动点变速模型
例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为．
(1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数；
(3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值．
例2．（24-25七年级上·重庆·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为．
(1)请直接写出________，________；(2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？(3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由．
例3．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题：
(1)当点P运动5秒时，______，______，______．
(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离：
______，______，______．
(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？
(4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
考点5.动点往返运动模型
例1．（24-25七年级上·陕西安康·期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示的数为a，b，c．已知a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数．
(1)填空：______，______，______；并在数轴上标出原点O；
(2)若动点M，N分别从点A，B同时出发沿数轴向左运动，点M的速度是每秒2个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点M可以追上点N？
(3)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动．设运动的时间为t秒，当点Q到原点O的距离为3时，求点P表示的数．
例2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．P点运动时间为．(1)直接写出____，____；(2)若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由；(3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．①当点Q是中点时，求出此时t的值．②当点P从点A开始运动后的时间____秒时，P，Q两点之间的距离为2．
例3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上有、两个定点，
(1)线段的中点表示的数为 ；若数轴上点，满足时，则点所表示的数为 ．
(2)数轴上的动点、、按以下方式运动（速度单位：单位／秒）；、分别以 、的速度从点出发向右运动，同时以 的速度从点出发向左运动，当、相遇后，立即反向按原速运动，而当、相遇后，又立即反向按原速运动，依此类推，当、相遇时，点的运动路程是 个单位；
(3)若点为线段的中点，点为线段的中点，点为线段的中点，依此类推，点为线段的中点，它们在数轴上表示的数分别为， 为正整数）．
①当时，求出的值；②记， 求当时，的值等于 ．
考点6.动态定值（无参型）模型
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数b，C点表示数7，b是最小的正整数，
(1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则折痕与数轴交点对应的点是________，并且点B与数________对应的点重合；(2)若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位向右运动，点C以4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，求的值.
例2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边．
(1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒．
①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？
②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ．
例3．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）已知数轴上A，B两点对应的数分别为，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，(1)______，______（用含x的式子表示）；
(2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P以每秒1个单位长度的速度从O点向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是的中点，问的值是否发生变化？请说明理由．
考点7.动态定值（含参型）模型
例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离．
如图，数轴上有、两点，其中表示，点表示数．
(1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为______；
(2)点、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点追上点后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当点回到原点时都停止运动．设运动时间为．①当追上时，求、两点之间的距离；②在点返回原点的过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例2．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点．
(1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________．
(2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由．
(3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
例3．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则．
根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示）
(2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发．
①若点，两点到原点的距离相等，求的值；
②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系．
考点8.数轴折叠（翻折）模型
例1．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知，、、三点在数轴上的位置如图所示，这三点对应的数分别、、，点为原点，如果，与是同类项，线段的中点是．
(1)直接写出、、的值，则有：_______，_________，_______．
(2)动点、分别从点、同时出发，点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，当和相距5个单位长度时，求的值．
(3)点、从各自的位置出发在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，若将线段沿着原点向右翻折，使点落在数轴的正半轴上的点处，若线段和线段的其中一段为另一段的2倍，请求出这时点表示的数．
例2．（2024·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：
（一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；
（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；
（3）如图，数轴上点A表示的数为 1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位．
（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．
（4）若折叠纸条，表示 3的点与表示1的点重合，则表示 4的点与表示 的点重合；
（5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示 1的点，则A点表示的数为 ；
（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ．
例3．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
考点9.数轴上的线段移动模型
例1．（24-25七年级上·云南昭通·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．已知数是最大的负整数，且数，满足．
(1)填空：______，______，______；(2)若数轴上有一点，满足，且点在点的右侧，求点表示的数；(3)在（）的条件下，线段和分别以个单位长度秒和个单位长度秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，为线段的中点，为线段的中点．若，求的值．
例2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变）
(1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示）
(2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值．
例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，长方形的长是6个单位长度，宽是4个单位长度，长方形的长是10个单位长度，宽是3个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为14．
(1)填空：点H在数轴上表示的数是____________，点A在数轴上表示的数是____________．
(2)若点P在线段上，且点P到点D与到点E的距离和为20，求点P在数轴上表示的数．
(3)若长方形在数轴上向右运动，长方形固定不动，设两个长方形重叠部分的面积为S．
①整个运动过程中，S首次达到最大值时，D点所表示的数是____________．
②当时，求此时D点所表示的数．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（ ）
A．2 B．1 C．2或 D．或1
3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．4或16 D．8或16
4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2024·广东·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
6．（24-25七年级上·四川南充·期末）如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（）
A．0 B． C．或0 D．或
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ．
8．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ．
9．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ．
10．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒．
(1)则_____________；_____________；
(2)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示）
(3)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示）
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．
（1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ；
12．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），且，下列结论：

①，；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有 个．
三、解答题（本题共12小题，每题7分，共84分。答案写在答题卡上）
13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．(1)求的长；(2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）．①问为何值时，为的中点？②当时，求的值．

14．（2024·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
15．（2024·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为 2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
16．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．

(1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
17．（24-25七年级上·浙江·期末）如图1所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以发现终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
(1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ；
(2)如果点A表示数5，将点A向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离为 ；
(3)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你猜想终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ．
(4)如图2，在数轴上从左到右边依次有A，B，C三点，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每秒钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每秒钟4个单位长度从点C向左运动，经过 秒后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等．
18．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点．
(1)若点到的距离为，点到的距离为．①当时，求点所表示的数．②当时，求点所表示的数．(2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数．
19．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且．
(1)应用： ， ；(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．
20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．

(1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________．
(2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离．
(3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，．
21．（24-25七年级上·浙江·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为．
素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）；
探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间．
22．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行．
素材1 宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图：
素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推． 数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠．
问题解决
探究1 图2中数字5代表______站．
探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）．
探究3 如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2．5个单位长度．
23．（24-25七年级上·浙江·期中）阅读材料并回答问题：
对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”．
(1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？(2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________．
24．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”）
(2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式．
①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？
②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”．
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