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专题1.1 从自然数到有理数
1. 通过生活实例认识正数和负数及0的特殊性；
2. 会用正负数表示相反意义的量；会用正负数表示允许偏差及相关运算；
3. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类；
4. 本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.正数、负数、零的概念辨析 3
考点2.正数、负数的分类 3
考点3.正负数表示相反意义的量 4
考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 5
考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 6
考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算 7
考点7.有理数的相关概念辨析 9
考点8.有理数的分类 10
考点9.有理数中的新定义集合 12
模块3：培优训练 14
1.正数与负数
1）正数：像8848，36，，，1.31等，这样大于的数叫做正数。正数都大于。
2）负数：像-500，-60，-，-0.5等，这样的数叫做负数。负数都小于。
3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“”号不可省略．
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。
2.用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。
3.“0”的特殊性
1）既不是正数，也不是负数；2）是正数与负数的分界；3）是自然数；
4）的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度。
4.常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；
5.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数。
3）有理数：整数和分数统称为有理数。
4）有理数的分类：
1）2）
考点1.正数、负数、零的概念辨析
【解题方法】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。
例1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数 B．一个数不是正数就是负数 C．0是负数 D．在正数前面加“”号，就成了负数
变式1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（　　）
A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数
C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数
变式2.（24-25武汉市七年级期中）下列结论正确的是（ ）
A．0既是.正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数
考点2.正数、负数的分类
【解题方法】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
例1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数．
变式1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（ ）
A．1.2 B．1 C． D．0
考点3.正负数表示相反意义的量
【解题方法】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。
例1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（ ）．
A．水位为时，记作 B．水位为时，记作
C．表示达到警戒水位 D．表示水位为
变式2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（ ）同学．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算
【解题方法】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。
例1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数）
城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔
时差
奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（ ）．
A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分
C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分
变式1．（2024·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2024年12月7日气象预报截图，预报显示当天最高气温6℃，最低气温-4℃，这一天我市的温差是______℃．
变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：
城市 悉尼 纽约
时差/时
当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（ ）
A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时
C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时
考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差
【解题方法】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。
例1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”；随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是（ ）
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量 294 300 299 305
A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味
变式3．（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ．
考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算
【解题方法】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。
例1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（ ）
A．83分 B．85分 C．91分 D．92分
变式1．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）化学实验课上，嘉嘉对4个小包装的同一药品进行了称量，以标准克数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，下面4个选项分别是记录结果．接下来，需要选择实际克数最接近标准克数的药品来做试验，应选择（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（ ）
A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁
变式3．（2024·浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：
班级 1班 2班 3班 4班
实际购书量（本） a 32 c 22
实际购书量与计划购书量的差值（本） b
(1)直接写出___， ___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．
考点7.有理数的相关概念辨析
【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．
例1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
例2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（24-25七年级上·天津·阶段练习）对于，下列说法不正确的是（ ）
A．是非正数 B．是分数 C．是有理数 D．是非负整数
变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数
C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数
考点8.有理数的分类
【解题技巧】
正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；
正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；
整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数；
有理数：整数和分数统称为有理数。
例1．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下面的有理数填在相应的大括号里：
，，，，，． （友情提示：将各数用逗号分开）
正数集合______…；负数集合______…；非负整数集合______…．
例2．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
变式1．（23-24七年级上·江苏·期末）在0，，，，中，有理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数
3．（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里：
，，，，，，，，，．
整数集合：{ …} 正分数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
考点9.有理数中的新定义集合
【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。
常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。
例1．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．
(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）；
(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；
(3)在中，属于非负有理数的是 　 　．
变式1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（ ）
A．B． C．D．
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数．
阅读材料回答下列问题：（1）是 循环小数（填“纯”或“混”）；（2）的循环节是 ．
变式3．（24-25七年级上·山东日照·期末）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（ ）
A． B． C． D．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·山西·期末）中国人最早使用负数，在中国古代一部数学著作中首次正式引入负数及其加减法运算法则，这部数学著作是（ ）
A．《算法统宗》 B．《算学启蒙》 C．《九章算术》 D．《测圆海镜》
2．（24-25重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25七年级上·广西·期中）下列关于有理数的说法正确的是（　　）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数
4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（ ）
A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁
5．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（ ）
A．83分 B．85分 C．91分 D．92分
6．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）图纸上一个零件的标注为，这里的表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是，现有另一零件的标注为，这个标注中零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为：，，，，，，，则该零件的标准尺寸不可能是( )
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）某零食包装袋上标有如下文字：净含量以下容量中不符合标注的是（ ）
A．220g B．209g C．210g D．217g
8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）下列各数是负数的是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（24-25七年级上·山东·期末）在，π，0，11，，3这六个数中，正数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）武汉市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 4
袋数 1 4 3 4 5 3
若标准质量为400克，则抽样检测的20袋食品的平均质量为（ ）
A．417 B．399.15 C．400.85 D．401
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2024·河南开封·二模）北京冬季里某一天的气温为，的含义是 .
12．（2024·福建龙岩·一模）钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作 ．
13．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是 。
城市 东京 北京 多伦多 纽约
国际标准时间
14．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在有理数，，，0，，，，中，可以写成负分数形式的数有 个。
15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）现在桌子上放着6枚一元硬币，全部正面朝上．做这样一个翻硬币游戏：每次翻转其中的4枚，最后把它们全部翻成反面朝上，则需要进行翻转的最少次数为 次．
16．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：，
负数集合：｛ …｝；正整数集合：｛ … ｝；分数集合：｛ …｝
18．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）把下列各数填入相应的大括号里：
，，0，，，2005，
整数集合：{ …}；正数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}．
19．（24-25七年级上·四川乐山·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．
①，②，③，④0，⑤0.01，⑥，⑦，⑧3.14，⑨100．
正数集合{ }； 整数集合{ }；
负分数集合{ }；非负整数集合{ }．
20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填入相应的集合中：
，，，，，，，．
正分数集合：{ …}；正整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；非正整数集合：{ …}．
21．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？
22．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km）
(1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？
(2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？
23．（24-25浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：
班级 1班 2班 3班 4班
实际购书量（本） a 32 c 22
实际购书量与计划购书量的差值（本） b
(1)直接写出___， ___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．
24.（24-25江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．
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专题1.1 从自然数到有理数
1. 通过生活实例认识正数和负数及0的特殊性；
2. 会用正负数表示相反意义的量；会用正负数表示允许偏差及相关运算；
3. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类；
4. 本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.正数、负数、零的概念辨析 3
考点2.正数、负数的分类 3
考点3.正负数表示相反意义的量 4
考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 5
考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 6
考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算 7
考点7.有理数的相关概念辨析 9
考点8.有理数的分类 10
考点9.有理数中的新定义集合 12
模块3：培优训练 14
1.正数与负数
1）正数：像8848，36，，，1.31等，这样大于的数叫做正数。正数都大于。
2）负数：像-500，-60，-，-0.5等，这样的数叫做负数。负数都小于。
3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“”号不可省略．
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。
2.用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。
3.“0”的特殊性
1）既不是正数，也不是负数；2）是正数与负数的分界；3）是自然数；
4）的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度。
4.常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；
5.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数。
3）有理数：整数和分数统称为有理数。
4）有理数的分类：
1）2）
考点1.正数、负数、零的概念辨析
【解题方法】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。
例1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数 B．一个数不是正数就是负数 C．0是负数 D．在正数前面加“”号，就成了负数
【答案】D
【详解】解：A、可以表示正数、负数和0，可以是负数、正数和0，故此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
B、一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
C、既不是正数也不是负数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
D、在正数的前面加“”号，就成了负数，此选项的说法正确，故此选项符合题意；故选：D．
变式1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（　　）
A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数
C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数
【答案】C
【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确；
B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确；
C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确；
D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确．故选：C
变式2.（24-25武汉市七年级期中）下列结论正确的是（ ）
A．0既是.正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数
【答案】D
【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误；B、不是正数，则此项错误；
C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误；
D、既不是正数也不是负数，则此项正确；故选：D．
考点2.正数、负数的分类
【解题方法】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
例1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数．
【答案】 ，， ， 0
【详解】解：在，，，，，这些数中，
正数有，，；负数有，；0既不是正数也不是负数．
故答案为：，，；，；0．
变式1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得：“”所表示的数是，故选：．
变式2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（ ）
A．1.2 B．1 C． D．0
【答案】C
【详解】A、1.2是正数，A项错误；B、1是正数，B项错误；
C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确；
D、0既不是正数也不是负数，D项错误．故选：C．
考点3.正负数表示相反意义的量
【解题方法】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。
例1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作，故选：A．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（ ）．
A．水位为时，记作 B．水位为时，记作
C．表示达到警戒水位 D．表示水位为
【答案】D
【详解】解：水位为时，记作，故A选项说法正确；
水位为时，记作，故B选项说法正确；表示达到警戒水位，故C选项说法正确；
表示水位为8.5m，故D选项说法不正确；故选：D．
变式2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（ ）同学．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【详解】解：张明前面的第2个同学李利记作，表示张明后面的第一个同学丙，
考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算
【解题方法】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。
例1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数）
城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔
时差
奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（ ）．
A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分
C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分
【答案】A
【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，
因为，巴黎与北京的时差为，
所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误；
因为，伦敦与北京的时差为，
所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确；
因为，纽约与北京的时差为，
所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误；
因为，首尔与北京的时差为，
所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误；故选：A．
变式1．（2024·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2024年12月7日气象预报截图，预报显示当天最高气温6℃，最低气温-4℃，这一天我市的温差是______℃．
【答案】10
【详解】∵当天最高气温6℃，最低气温-4℃，∴这一天我市的温差是10（℃），故答案为:10．
变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：
城市 悉尼 纽约
时差/时
当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（ ）
A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时
C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时
【答案】A
【详解】解：悉尼的时间：10月9日23时小时10月10日1时；
纽约的时间：10月9日23时小时10月9日10时．故选A．
考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差
【解题方法】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。
例1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：它们的直径最大相差：，故选：C．
变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：∵要求误差不大于，∴不合格的零件的尺寸有，共1个，故选：A．
变式2．（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”；随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是（ ）
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量 294 300 299 305
A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味
【答案】A
【详解】解：由题意可得净含量合格的范围为，
则300，299，305均在该范围内，294不在该范围内，那么净含量不合格的是原味，故选：A．
变式3．（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ．
【答案】25（答案不唯一）．
【详解】因为某种食品的说明书上标明保存温度是，
所以适合该食品保存的温度可以是，故答案为：25（答案不唯一）．
考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算
【解题方法】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。
例1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（ ）
A．83分 B．85分 C．91分 D．92分
【答案】B
【详解】解：依题意，小乐得了分，故选：B．
变式1．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）化学实验课上，嘉嘉对4个小包装的同一药品进行了称量，以标准克数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，下面4个选项分别是记录结果．接下来，需要选择实际克数最接近标准克数的药品来做试验，应选择（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A. 表示比标准克数多2克；B. 表示比标准克数少2克；
C. 表示比标准克数多5克；D. 表示比标准克数多1克，
所以，示实际克数最接近标准克数的是.故选D
变式2．（23-24七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（ ）
A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁
【答案】C
【详解】解：由题意得：王横25岁，记为岁，故选：C．
变式3．（2024·浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：
班级 1班 2班 3班 4班
实际购书量（本） a 32 c 22
实际购书量与计划购书量的差值（本） b
(1)直接写出___， ___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本，∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本，
故答案依次为：，．
（2）4个班一共购入数量为：本，故答案为：
（3）∵，∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买，
∴最低总花费为：元．
考点7.有理数的相关概念辨析
【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．
例1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：是有理数，有6个．故选B．
例2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确；
②有理数不是正数就是负数或，故②不正确；③非负数就是正数和0，故③正确；
④没有最小的整数，故④不正确．正确的有①③；故选：C．
变式1．（24-25七年级上·天津·阶段练习）对于，下列说法不正确的是（ ）
A．是非正数 B．是分数 C．是有理数 D．是非负整数
【答案】D
【详解】解：A、，非正数是指0和负数，故说法正确，不符合题意；
B、是无限循环小数，是分数，故说法正确，不符合题意；
C、是无限循环小数，是有理数，故说法正确，不符合题意；
D、非负整数是指0和正整数，则不是非负整数，故说法错误，符合题意．故选：D．
变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：∵非负整数有：0，2、3、4，∴共有4个，故选：C．
变式3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数
C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数
【答案】B
【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意；
、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意；
、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意；
、零是有理数，该选项说法错误，不合题意；故选：．
考点8.有理数的分类
【解题技巧】
正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；
正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；
整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数；
有理数：整数和分数统称为有理数。
例1．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下面的有理数填在相应的大括号里：
，，，，，． （友情提示：将各数用逗号分开）
正数集合______…；负数集合______…；非负整数集合______…．
【答案】， ；，， ；
【详解】解：，，，，，，
正数集合，；
负数集合，， ；
非负整数集合，
故答案为：， ；，， ； ．
例2．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
【答案】(1)见详解； (2) 正整数，负整数；
【详解】（1）解：由题意可得，
（2）解：由（1）可得，A是正整数集，B为负整数集， 故答案为：正整数，负整数．
变式1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在0，，，，中，有理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：在0，，，，中，有理数有0，，三个．故选：C
变式2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数
【答案】B
【详解】解：A、是负有理数，故A不符合题意；
B、是整数，故B符合题意；C、是正有理数，故C不符合题意；
D、是负分数，故D不符合题意；故选：B．
3．（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里：
，，，，，，，，，．
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
【答案】，，，；，，；，，．
【详解】整数集合：{，，，，…}；
正分数集合：{，，，…}；
负分数集合：{，，，…}；
故答案为：，，，；，，；，，．
考点9.有理数中的新定义集合
【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。
常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。
例1．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．
(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）；
(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；
(3)在中，属于非负有理数的是 　 　．
【答案】(1)是(2)(3)，0，，16.2
【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是；
（2）设，则，即，故，即，解得，即；
（3）在中，属于非负有理数的是，0，，，故答案：，0，，．
变式1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为小明的妈妈是一位女性，所以小明的妈妈的身份证号码的第17位数字是偶数，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数．
阅读材料回答下列问题：（1）是 循环小数（填“纯”或“混”）；（2）的循环节是 ．
【答案】 纯 24
【详解】解：（1）由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数，故答案是：纯；
（2）的循环节是24，故答案为：24．
变式3．（24-25七年级上·山东日照·期末）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵表示近视50度，表示近视125度，
表示近视250度，表示近视75度，∴需要持续配戴眼镜的是．故选：C．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·山西·期末）中国人最早使用负数，在中国古代一部数学著作中首次正式引入负数及其加减法运算法则，这部数学著作是（ ）
A．《算法统宗》 B．《算学启蒙》 C．《九章算术》 D．《测圆海镜》
【答案】C
【详解】解：在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则是中国古代一部著名数学著作《九章算术》中的“《方程》”一章．故选：C
2．（24-25重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误；
非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C
3．（24-25七年级上·广西·期中）下列关于有理数的说法正确的是（　　）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数
【答案】D
【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意；
B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意；
C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意；
D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意；故选：D．
4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（ ）
A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁
【答案】C
【详解】解：由题意得：王横25岁，记为岁，故选：C．
5．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（ ）
A．83分 B．85分 C．91分 D．92分
【答案】B
【详解】解：依题意，小乐得了分，故选：B．
6．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）图纸上一个零件的标注为，这里的表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是，现有另一零件的标注为，这个标注中零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为：，，，，，，，则该零件的标准尺寸不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】给出的七个合格产品尺寸最大为，最小尺寸为，所以标准尺寸在和之间．故选：D．
7．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）某零食包装袋上标有如下文字：净含量以下容量中不符合标注的是（ ）
A．220g B．209g C．210g D．217g
【答案】B
【详解】∵零食包装袋上标注的容量为 ∴符合标注的容量为：．
∴容量中不符合标注的是209．故选：B．
8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）下列各数是负数的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】A．0既不是正数也不是负数，故本选项错误；B．是负数，故本选项正确；
C．是正数，故本选项错误；D．是正数，故本选项错误．故选：B．
9．（24-25七年级上·山东·期末）在，π，0，11，，3这六个数中，正数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：在，π，0，11，，3这六个数中，正数有π，11，3，共3个，故选；C．
10．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）武汉市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 4
袋数 1 4 3 4 5 3
若标准质量为400克，则抽样检测的20袋食品的平均质量为（ ）
A．417 B．399.15 C．400.85 D．401
【答案】C
【详解】解：（克），
则抽样检测的20袋食品的平均质量为：（克），故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2024·河南开封·二模）北京冬季里某一天的气温为，的含义是 .
【答案】零下
【详解】解：含义是零下．故答案为：零下．
12．（2024·福建龙岩·一模）钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作 ．
【答案】
【详解】解：钟表的指针逆时针方向转记作，则顺时针方向转记作，故答案为：．
13．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是 。
城市 东京 北京 多伦多 纽约
国际标准时间
【答案】东京
【详解】根据正负数的意义，“”表示当地时间比格林尼治时间早，“”表示当地时间比格林尼治时间晚，，这四个城市中最先进入2024年的城市是东京，故答案：东京．
14．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在有理数，，，0，，，，中，可以写成负分数形式的数有 个。
【答案】2
【详解】解：依题意，，，则可以写成负分数形式的数有2个，故答案：2
15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）现在桌子上放着6枚一元硬币，全部正面朝上．做这样一个翻硬币游戏：每次翻转其中的4枚，最后把它们全部翻成反面朝上，则需要进行翻转的最少次数为 次．
【答案】3
【详解】解：用“正”表示正面朝上，，用“反”表示正面朝下，开始时∶正正正正正正
第一次∶反反反反正正第二次∶反正正正反正第三次∶反反反反反反，
至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上，故答案为∶3．
16．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
【答案】(1)见详解； (2) 正整数，负整数；
【详解】（1）解：由题意可得，
（2）解：由（1）可得，A是正整数集，B为负整数集， 故答案为：正整数，负整数．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：，
负数集合：｛ …｝；正整数集合：｛ … ｝；分数集合：｛ …｝
【答案】；；
【详解】解：负数集合为：；
正整数集合为：；分数集合为：；
故答案为：；；.
18．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）把下列各数填入相应的大括号里：
，，0，，，2005，
整数集合：{ …}；正数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}．
【答案】见解析
【详解】解：根据相关概念有：整数集合：{， 0， 2005， …}；正数集合：{ ，2005，…}；
负分数集合：{ ，， ， …}；负有理数集合：{，，，， …}．
19．（24-25七年级上·四川乐山·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．
①，②，③，④0，⑤0.01，⑥，⑦，⑧3.14，⑨100．
正数集合{ }； 整数集合{ }；
负分数集合{ }；非负整数集合{ }．
【答案】正数集合{②⑤⑧⑨}；整数集合{③④⑥⑨}；负分数集合{①⑦}；非负整数集合{④⑨}
【详解】解：正数集合{②⑤⑧⑨}；整数集合{③④⑥⑨}；
负分数集合{①⑦}；非负整数集合{④⑨}．
20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填入相应的集合中：
，，，，，，，．
正分数集合：{ …}；正整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；非正整数集合：{ …}．
【答案】，；，；，；，；
【详解】解：正分数集合：{，，…}；正整数集合：{，，…}；
负分数集合：{ ，，…}；非正整数集合：{ ，，…}．
故答案为：，；，；，；，；
21．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？
【答案】上周星期一至星期五该班一共借书册；
【详解】解：由题意可得，，
答：上周星期一至星期五该班一共借书册．
22．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km）
(1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？
(2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？
【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米
(2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元
【详解】（1）解：（千米），
答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米．
（2）解：（元），
（元），
（元），
答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元．
23．（24-25浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：
班级 1班 2班 3班 4班
实际购书量（本） a 32 c 22
实际购书量与计划购书量的差值（本） b
(1)直接写出___， ___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本，∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本，故答案依次为：，．
（2）4个班一共购入数量为：本，故答案为：
（3）∵，∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买，
∴最低总花费为：元．
24.（24-25江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．
【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合．
∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合．
（2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，
∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合．
（3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件．
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