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第8章 多边形
8.1.2.2 三角形的外角和
七年级下 H S
1.进一步认识三角形，掌握三角形的外角及外角和定理.
2.能用三角形的外角性质及外角和定理进行推理计算.
学习目标
情境学新知
如图，小猫发现一只老鼠，打算用迂回的方式在老鼠返回鼠窝之前拦截老鼠.
如图，若猫、老鼠、鼠洞恰好在一条直线上，请你在图中画出这只猫的运动轨迹.
问题1 连接BC并延长，∠ABD和∠ABC有什么关系？
∠ABC+∠ABD=180°(邻补角互补).
问题2 在△ABC中，∠ABC、∠ACB、∠BAC有什么关系？
∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°
(三角形的内角和等于180°).
A
B
C
O
D
问题3 观察上面所得到的两个式子，你能看出∠ABD和∠ACB、∠BAC的关系吗？
∠ABC+∠ABD=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∠ABD=∠BAC+∠ACB.
思考1 通过上述结果，你发现了什么结论？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
问题4 如图，顺次延长BA、AC的三边，求∠1+∠2+∠3的度数.
∵∠1+∠ABC=180°，∠2+∠BAC=180°，∠3+∠ACB=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠ABC+∠BAC+∠ACB=540°，①
而∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，②
∴①-②，得
∠1+∠2+∠3=360°.
A
B
C
D
E
F
3
2
1
思考2 通过上述结果，你能得到什么结论？
三角形的外角和定理：
三角形的外角和等于360度.
易错警示：三角形的外角和是指从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加得到的和，而不是三角形的六个外角之和.
数学语言：如图，在△ABC中，∠1，∠2，∠3分别是△ABC三边延长线上的三个外角，则∠1+∠2+∠3=360°.
问题5 如图，连接OA，此时∠ABC=∠BAO，∠AOC=80°，∠BAC=70°.
(1)求∠ABC的度数；
解：∵∠AOC是△AOB的外角(已知)，∴∠AOC=∠ABC+∠BAO=80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
又∵∠ABC=∠BAO(已知)，
∴∠ABC=80°× =40°(等量代换).
A
B
C
O
D
(2)求∠ACB的度数.
解：∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠ACB=180°-∠ABC－∠BAC(等式的性质)，
又∵∠ABC=40°(已求)，∠BAC=70°(已知)，
∠ACB=180°-40°－70°=70°(等量代换).
A
B
C
O
D
拓展设问 (1)如图，在△ABC中，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P，∠ABC=80°，∠ACB=50°，求∠BPC的度数；
解：∵BP平分∠ABC(已知)，
∴∠PBC= ∠ABC= ×80°=40°，
同理可得∠PCB=25°.
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB(等式的性质)
=180°-40°-25°=115°.
A
B
C
P
(2)如图，在△ABC中，若外角∠CBE与外角∠BCF的平分线交于点P，∠P=40°，求∠A的度数.
解：∵BP平分∠CBE(已知)，
∴∠CBP= ∠CBE= (∠A+∠ACB)(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
同理可得：∠BCP= (∠A+∠ABC).
∵∠P+∠CBP+∠BCP=180°，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形的内角和等于180°)，
A
B
C
P
E
F
∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP(等式的性质)
=180°- (∠A+∠ACB)- (∠A+∠ABC)
=180°- (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=180°- (∠A+180°)
=90°- ∠A，
又∵∠P=40°(已知)，
∴∠A=25°.
A
B
C
P
E
F
解：∵∠ACD是△ABC的外角(已知)，∠PCD是△PBC的外角(已知)，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠P=∠PCD-∠PBC(等式的性质)，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD(已知)，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠P= ∠ACD- ∠ABC= (∠ACD-∠ABC)= ∠A(等量代换).
(3)如图，在△ABC中，∠ABC 的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP相交于点P，试找出∠P与∠A之间的关系.
A
B
C
D
P
归纳总结
(1)如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
那么∠P=90°+ ∠A；
(2)如图，在△ABC中，外角∠CBE与外角∠BCF的平分线交于点P，那么∠P =90°- ∠A；
(3)如图，在△ABC中，∠ABC 的平分线BP与外角∠ACD
的平分线相交于点P，∠P = ∠A.
随堂练习
3.三角形的三个内角之比分别是1:2:3，则此三角形的最大外角为____度.
1.在△ABC中，∠B=35°，∠C的外角等于110°，则∠A的度数是( )
A.35° B.65° C.70° D.75
D
2.如图，AB与CD相交于点O，则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1＞∠4+∠5 D.∠2＜∠5
A
150
4.如图，点D，B，C三点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，求出∠1的度数.
A
E
D
B
C
1
解：∵∠A=60°，∠C=50°(已知)，
∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
∵∠D+∠1+∠ABD=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠1=180°-∠ABD-∠D(等式的性质)
=180°-110°-25°=180°-110°-25°=45°.
A
B
C
D
E
解：连接AD并延长，
∴∠BDE=∠BAD+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE
=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C
=∠BAC+∠B+∠C
=50°+30°+40°=130°.
5.如图，∠B=30°，∠A=50°，∠C=40°，求∠D的度数.
6.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A’处，若∠A=29°，∠BDA’=90°，求∠A’EC的度数.
解：∵∠BDA’=90°(已知)，
∴∠ADA’=180°-90°=90°(邻补角互补)，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A’处，
∴∠A’=∠A=29°∠ADE=∠A’DE=45°，∠AED=∠A’ED(折叠的性质)，
∵∠CED=∠A+∠ADE=29°+45°= 74°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
∴∠A’ED=180°-∠A’-∠A’DE=106°(三角形的内角和等于180°)，
∠A’EC=∠A’ED-∠CED=106°- 74°=32°.
课堂小结
三角形的
外角和
性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
三角形的外角和
三角形外角的性质
三角形的外角和等于360°.
如图，∠1+∠2+∠3=360°.

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