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第8章 多边形
8.2.2 多边形的外角和
七年级下 H S
1. 了解多边形的外角，并能找出多边形的外角.
2. 知道多边形的外角和公式，并能用内角和与外角和解决问题.
学习目标
新课引入
三角形的外角和是多少？
三角形的外角和等于360°.
前面学习三角形的时候分别学习了：内角和→外角→中线、高线、角平分线，对于多边形上节课学习了内角及内角和，你知道本节课我们学习什么内容吗？
多边形的内角和如何计算
(n-2)·180°(n≥3).
本节课我们来探索多边形的外角和！
新知学习
问题1 你能画出四边形ABCD的外角吗？这样的角有几个？
问题2 四边形ABCD的外角和是什么呢？
∠1+∠3+∠5+∠7就是四边形ABCD的外角和.
如图，四边形ABCD.
∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8就是四边形ABCD的外角，
这样的角有8个，1个内角相邻的外角分别有两个，并且这两个外角相等(对顶角).
5
6
1
7
4
2
A
8
3
D
C
B
9
12
11
10
从图中可知：
(∠1+∠9)+(∠3+∠10)+(∠5+∠11)+(∠7+∠12)=4×180°(邻补角互补)，
所以∠1+∠3+∠5+∠7=4×180°-(∠9+∠10+∠11+∠12)(等式的性质)，
四边形ABCD的内角和为∠9+∠10+∠11+∠12=360°(多边形的内角和)，
因此∠1+∠3+∠5+∠7=360°.
n边形的外角和应该等于多少度呢
5
6
1
7
4
2
A
8
3
D
C
B
9
12
11
10
问题3 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和.
(1)任意一个外角和与它相邻的内角有什么关系？
互补.
(2)五个外角和加上它们分别相邻的五个内角和的
总和是多少？
180°×5=900°.
(3)这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
五个平角和-五边形的内角和=外角和.
∴五边形的外角和
=五个平角-五边形内角和
=5×180°-(5-2)×180°
=360°.
结论：五边形的外角和为360°.
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
多边形的内角和与外角和的总和
多边形的内角和
多边形的外角和
探究 根据n边形的每一个内角与它相邻的外角都互为补角，可以求得n边形的外角和，请将数据填入下表：
3×180°
=540°
4×180°
=720°
5×180°
=900°
6×180°
=1080°
7×180°
=1260°
n×180°
180°
360°
540°
720°
900°
(n-2)·180°
360°
360°
360°
360°
360°
360°
任意多边形的外角和都为360°.
你能求出正n边形的外角的度数吗
正n边形的外角和为360°
正n边形的每一个外角相等
共有n个这样的内角
正n边形的每个外角为
例1 (1)一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解： 设这个多边形的边数为n，根据题意，得
n·72°=360°.
解得 n=5
因此这个多边形是五边形.
(2)一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
(n-2)·180°=5×360°.
解得 n=12.
因此，这个多边形是十二边形.
1.若一个多边形的内角和比它的外角和大540°，则该多边形的边数为
(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
D
随堂练习
2.一个正多边形的一个内角与外角和的比是7:2，则这个多边形的边数为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
C
3.(2024 内蒙古赤峰)如图是正n边形纸片的一部分，其中l、m是正n边形两条边的一部分，若l、m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
B
4.(1)正十边形的每个外角的度数为______.
(2)正八边形的每个外角的度数为_______.
36°
45°
5.小明从A点向东走12米后，向右转20°，再向前走12米，如此往复，当小明第一次回到A点时，求小明此时走的总路程.
解：根据题意，得
小明的行动轨迹是一个正多边形，且每条边的长度为12米，每一个外角的度数为20°，
∵正多边形的外角和为360°，
∴这个正多边形的边数为n=360°÷20°=18，
∴小明此时走的总路程为18×12=216(米).
课堂小结
多边形的外角和
多边形的外角和
任意多边形的外角和都为360°
正n边形的外角
正n边形的每个外角度数为

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