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第8章 多边形
8.1.2.1 三角形的内角和
七年级下 H S
学习目标
难点
重点
1. 知道三角形的内角和定理，知道直角三角形的两个锐角互余.
2. 应用三角形的内角和进行相关计算.
新课引入
某天，“三角形家族”就三角形内角和的大小展开了一场激烈的争论，请同学们为它们评判一下吧.
我是直角三角形，我的内角和最大
我有一个钝角，比你的三个角都大，所以我的内角和才是最大的
我虽然是锐角三角形，但是我的个头最大，所以我的内角和才是最大的
新知学习
探究1 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
从上面的操作过程，你能发现证明思路吗？
你能用演绎推理的方式说明上述结论的正确性吗？
求证：三角形三个内角的和等于180°
已知:△ABC，∠1、∠2、∠3 分别表示△ABC 的三个内角.
证明：∠1 +∠2 +∠3 = 180°.
B
A
C
1
2
3
解：方法一：
延长 BC 至点 E，以点 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE =∠2，
则 CD∥BA (同位角相等，两直线平行).
∵CD∥BA，
∴∠1 = ∠ACD (两直线平行，内错角相等).
∵∠3 +∠ACD +∠DCE = 180°，
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180° (等量代换).
E
D
B
A
C
1
2
3
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
解：方法二：
过点 A 作直线 l，使得 l ∥ BC，
∴∠2 =∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理∠3 =∠5.
又∠1 +∠4 +∠5 = 180° (平角定义)，
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180° (等量代换).
l
A
C
B
1
2
3
4
5
三角形的内角和等于 180°.
l
A
C
B
1
2
3
4
5
E
D
B
A
C
1
2
3
借助平行线的“移角”功能，将三角形的内角和转化为一个平角.
为了证明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
思考1 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
探究 2 如图，在直角△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？
在直角△ABC 中，∠C = 90°，
由三角形内角和等于180° ，
得∠A +∠B +∠C = 180°，
故∠A + ∠B = 90°.
思考2 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
A
B
C
应用格式：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC．
直角三角形的两个锐角互余．　　
例1 在 △ABC 中， ∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数.
解: 设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为(3x)°，
∠C 为 (x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
故 ∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
例2 如图，AD 是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，∠C =65°，求 ∠BAC的度数.
解: 在Rt△ABD中，
∵∠1+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴∠B=90°-∠1(等式性质).
又∵∠1=45°(已知)，
∴∠B=90°-45°=45°(等量代换).
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C(等式性质).
又∵∠B=45°(已求)，∠C =65°(已知)，
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°(等量代换).
A
C
B
D
65°
1
思考3 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC 中，∠A +∠B +∠C=180°，
∠A +∠B =90°，
由三角形内角和等于180° ，
得∠C = 90°，
故△ABC是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，D、E分别是边CB、AB延长线上的点，∠A=∠D，是说明△BDE是直角三角形.
解: 在△RtABC中，
∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC(等式性质).
在△BDE中，
∠D+∠DBE+∠E=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠E=180°-∠D-∠DBE(等式性质).
又∵∠ABC=∠DBE(对顶角相等)，∠A=∠D，∠C =90°(已知)，
∴∠E=180°-∠A-∠ABC=∠C=90°(等量代换).
∴△BDE是直角三角形.
A
E
D
B
C
随堂练习
1. 如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠B = 40°，则∠C 等于 (　 　)
A. 100°
B. 80°
C. 60°
D. 40°
B
2. 如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，DE∥BC. 若∠A = 62°，∠AED = 54°，则∠B 的大小为 (　 　)
A. 54°
B. 62°
C. 64°
D. 74°
C
3. 如图，AB∥CD，EF⊥BD 于 E，∠1 = 50°，则∠2 的度数为 (　 )
A. 60° B. 50°
C. 40° D. 30°
C
5.如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α = .
75°
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
6. 如图，在△ABC 中，∠B +∠C = 100°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，DE∥AB，交 AC 于 E，则∠ADE 的大小是 _____.
40°
7.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
8. 在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠BAC = 63°，求∠DAC 的度数.
解：因为∠4 =∠1 +∠2，∠1 =∠2，所以∠4 = 2∠2，
又因为∠3 =∠4，所以∠3 = 2∠2，即∠2 = ∠3，
在△ABC 中，∠2 +∠3 +∠BAC = 180°，
因为∠BAC = 63°，所以 ∠3 +∠3 + 63° = 180°，
所以∠3 =∠4 = 78°，所以∠DAC = 180°-78°-78°= 24°.
三角形的
内角和定理
三角形的
内角和
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和等于180°.
把△ABC的三个内角拼在一起，恰好拼成一个平角，即△ABC的三个内角的和等于180°.
三角形内角
和定理推论
课堂小结

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