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第8章 多边形
8.1.3 三角形的三边关系
七年级下 H S
1.在动手操作中，通过观察、分析、比较等活动探究三角形成立的条件：三角形的三边关系.
2.会用尺规作图的方法画三角形，并能根据三角形的三边关系判断三条线段是否能组成三角形.
学习目标
情境学新知
小明准备制作一些简易衣架，做成什么形状比较实用呢？
确定晾衣架形状
准备活动：准备一些不同长度的木条
(1)小明打算做成一个长方形衣架，如图所示，但是这个衣架不稳固，容易变形，衣服很容易掉落；
步骤一
确定晾衣架形状
准备活动：准备一些不同长度的木条
(1)小明打算做成一个长方形衣架，但是这个衣不稳固，容易变形，衣服很容易掉落；
步骤一
(2)小明观察家里的衣架，发现都是近似三角形的形状，因此决定做成三角形形状，如下图所示.
发现：不管怎么推动，三角形的形状都不会发生变化.
思考1 通过上述操作，你能发现三角形的什么性质？
如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
　你知道三角形在实际生活中还有哪些应用吗？
自行车的三角形车架
相机三脚架
新疆维吾尔自治境内果子沟大桥的拉索
建筑物的房屋结构
制作晾衣架
晾衣架形状确定后，小明就开始制作衣架了，但是在制作过程中，又遇到了一些问题：
(1)小明随手拿了三根木条，用卷尺测量出它们的长度，分别是：10cm，12cm，24cm，围的时候发现24cm的木条太长了，另外两根木条根本围不到一起；
24cm
12cm
10cm
步骤二
(2)小明将24cm的木条锯掉2cm，发现这根木条还是有点长，依旧无法围成三角形；
(3)小明又将这根木条再锯掉2cm，这次非常顺利地围成了三角形.
问题1 怎样的三根木条才能围成三角形衣架呢？有什么特征呢？
三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.
22cm
12cm
10cm
20cm
10cm
12cm
三角形三边关系的根本依据是两点之间，线段最短.
问题2 请你帮小明判断下列各组长度的木条能否围成一个三角形？
(1)9cm，12cm，17cm；
(2)11cm，7cm，21cm；
(3)11cm，12cm，23 cm；
(4)10cm，11cm，12cm.
能
否
否
能
归纳总结
三角形的三边关系是判断构成三角形的依据.
判断三条线段能否组成三角形：若较短的两条线段之和大于第三条线段，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
问题3 小明拿了一根21cm长和一根16cm长的木条，要找另一根木条围成一个三角形衣架，这个木条的长度应该在什么范围内呢？
解：设这根木条的长度为x cm，则应满足
21+16＞x，x+21＞16，x+16＞21.
解得，5＜x＜37.
答：木条的长度应该大于5cm且小于37cm.
三角形的两边之差小于第三边
温馨提示：确定三角形某条边的范围时，注意要同时满足两边之和大于第三边的条件.
例 在△ABC中，P是三角形内部一点，求证：
(1)AB+AC＞PB+PC.
A
C
B
P
证明：延长BP交AC于点Q，
在△ABQ中，AB+AQ＞BQ=PB+PQ，①
在△PQC中，PQ+CQ＞PC， ②
由①+②，运用不等式的性质得：
AB+AQ+PQ+CQ＞PB+PQ+PC，
即AB+AC＞PB+PC.
Q
(2)连接PA，2(PA+PB+PC)＞AB+AC+BC；
证明：在△PAB中，PA+PB＞AB，③
在△PAC中，PA+PC＞AC， ④
在△PBC中，PB+PC＞BC， ⑤
由③+④+⑤，运用不等式的性质得：
2(PA+PB+PC)＞AB+AC+BC.
A
C
B
P
(3)AB+AC+BC＞PA+PB+PC.
证明：由(1)可得AB+AC＞PB+PC，⑥
同理，AB+BC＞PA+PC， ⑦
BC+AC＞PB+PA， ⑧
由⑥+⑦+⑧，运用不等式的性质得：
AB+AC+BC＞PA+PB+PC.
A
C
B
P
随堂练习
1.(2024湖南岳阳)一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边的长可能是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D.11
D
2.下面各组线段中，能组成三角形的是( )
A. 5，11，6 B. 8，8，16
C. 10，5，4 D.6，9，14
D
3.如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA=18m，PB=16m，那么A、B之间的距离不可能是( )
A. 18m B. 26m
C. 30m D.34m
D
4.(2024河南漯河)以长为13cm，10cm，5cm，7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
C
5.已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b+c|-|a-b-c|-|a+b-c|.
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b+c＞0，a-b-c=a-(b+c)＜0，a+b-c=(a+b)-c＞0，
∴|a+b+c|-|a-b-c|-|a+b-c|
=(a+b+c)+(a-b-c)-(a+b-c)
=a+b+c+a-b-c-a-b+c
=a-b+c.
6.如图，AC、BD相交于点，连接AD、BC，求证：AC+BD＞AD+BC.
解：在△AOD中， AO+OD＞AD，①
在△BOC中，BO+OC＞BC， ②
由①+②，运用不等式的性质得：
AO+OD+BO+OC＞AD+BC，
即AC+BD＞AD+BC.
A
C
B
D
O
课堂小结
三角形的
三边关系
如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
若较短的两条线段之和大于第三条线段，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
判断三条线段是否
能组成三角形的方法
三角形的稳定性
三角形的任意两边之和大于第三边；
三角形的任意两边之差小于第三边.
三角形的三边关系

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