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第8章 多边形
8.2.1 多边形的内角和
七年级下 H S
学习目标
难点
重点
1.掌握多边形的相关概念.
2.会用分割法探索多边形的内角和公式.
3.会用多边形的内角和公式解决相关问题.
新课引入
观察下面的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段围成的图形的形象，你能从中找到由一些线段围成的图形吗？
你能说一说这些线段围成的图形有什么特性吗？
(1) 它们在同一平面内.
(2) 它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次连结组成的.
你会发现它们和三角形的特性比较类似，它们是什么图形呢？边和角有什么特性？这就是本节课所要学习的内容.
新知学习
三角形有 _____ 个内角、_____ 条边，我们也可以把三角形称为三边形 (但我们习惯称为三角形). 我们知道由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形.
你能仿照三角形的定义说出什么叫四边形、五边形、n 边形吗？
3
3
四边形是由 ___________________________________________，如图 1；
五边形是由 ___________________________________________，如图 2；
n 边形是由 ___________________________________________；
n 边形，又称多边形.
四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形
五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形
n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形
A
B
C
D
图1
A
B
C
D
E
图2
图 2
注意：如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.
图 1
A
C
B
D
A
C
B
D
如图 1 是凸多边形；图 2 不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形.
根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角？
内角：多边形相邻两边组成的角
顶点
边
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
例1 下面的几个图形是多边形吗 为什么？
不是多边形
不是由线段围成
不是多边形
不是封闭图形
不是多边形
不是封闭图形
是多边形
探究 既然三角形有三个内角、三条边，六个外角，那么多边形有几个内角？几个外角呢？
1. 三角形有 _____ 个内角，_____ 个外角；
2. 四边形有 _____ 个内角，_____ 个外角；
3. 五边形有 _____ 个内角，_____ 个外角；
4. 六边形有 _____ 个内角，_____ 个外角；
...
5. n 边形有 _____ 个内角，_____ 个外角.
5
10
6
12
n
2n
3
6
4
8
问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
是各边相等，各内角都相等的多边形.
如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形.
注意 正三角形就是等边三角形，没有正四边形的说法，正四边形就是正方形.
不变
思考:四边形的内角和随四边形的形状大小而变化吗？怎样把四边形转化为三角形来计算呢？
通过作对角线可以把四边形转化为三角形.
A
B
C
D
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
图中，虚线表示的线段是四边形ABCD的对角线.
问题：三角形的内角和随三角形的形状大小而变化吗？
三角形
六边形
四边形
八边形
……
五边形
过多边形的一个顶点能作多少条对角线？把多边形分成多少个三角形？填表.
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形
从同一个顶点引出的对角线的条数
分割出的三角形的个数
0 1 2 3 5 n-3
1 2 3 4 6 n-2
一个n边形共有多少条对角线呢？
从前面的探究我们可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于 180°，那么四边形的内角和等于多少度？五边形、六边形呢？由此，n 边形的内角和等于多少呢？
多边形的边数 3 4 5 6 7 ... n
分成的三角形的个数 1 2 ...
多边形的内角和 180° 360° ...
3
540°
4
720°
5
900°
n - 2
(n-2)×180°
n 边形的内角和为 (n - 2)·180°（n≥3）.
利用 n 边形的内角和公式，可以求多边形的内角和或求多边形的边数.
我们知道，正n边形的每一个内角都相等，那么正n边形每个内角的度数是多少呢？
正n边形的内角和为
(n - 2)·180°(n≥3).
每一个内角的大小一样.
共有n个这样的内角.
正n边形的每个内数为
例1 求八边形的内角和.
解：八边形的内角和为
(n - 2)×180°
= (8 - 2)×180°
= 1080°.
例2 已知一个多边形的内角和等于 2160°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为 n，则
(n - 2)×180° = 2160°.
解得 n = 14.
即这个多边形的边数为 14.
随堂练习
1. 下列说法正确的个数有 (　 　)
(1) 由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形
(2) 各边都相等的多边形是正多边形
(3) 各角都相等的多边形一定是正多边形
(4) 边数相同的正多边形的各个外角都相等
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
2.（2024 云南）一个七边形的内角和等于(　 )
A. 540° B. 900° C. 980° D. 1080°
B
3.（2024 威海市）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I.若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ ________.
50°
4.（2024包头）若一个n边形的内角和是900°，则n＝ ________．
7
5. 若一个四边形的四个内角度数的比为 3 : 4 : 5 : 6，求这个四边形的四个内角的度数.
解：设四个内角的度数分别为 3x°，4x°，5x°，6x°，
根据四边形内角和是 360°，列出方程
3x + 4x + 5x + 6x = 360，
解得 x = 20，
所以 3x° = 60°，4x° = 80°，5x° = 100°，6x° = 120°，
即四边形的四个内角的度数分别为 60°，80°，100°，120°.
6. 阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形. 图 1 给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了 2 个，3 个，4 个小三角形. 请你按照上述方法将图 2 中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数. 试把这一结论推广至 n 边形.
解：如图所示，分别将六边形分割成 4 个，5 个，6 个三角形.
可以发现：
第一种分割法把 n 边形分割成了 (n - 2) 个三角形；
第二种分割法把 n 边形分割成了 (n - 1) 个三角形；
第三种分割法把 n 边形分割成了 n 个三角形.
7. 一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于 2012°，求这个内角的度数及多边形的边数.
解：设这个多边形为 n 边形，这个内角的度数为 x°，
由题意知 (n - 2)×180 = 2012 + x，
x = 180n - 2372
因为 0 < x < 180，所以 0 < 180n - 2372 < 180，
即 13 < n < 14 ，
又因为 n 为整数，所以 n = 14，x = 180×14 - 2372 = 148.
所以这个内角的度数为 148°，多边形的边数为 14.
定义
三角形的相
关概念及
分类
多边形内角和
n边形：是由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.
正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
n 边形的内角和为 (n - 2)·180°（n≥3）
正n边形的每个内角度数为
课堂小结

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