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第8章 多边形
8.1.1.2 三角形的中线、角平分线和高
七年级下 H S
学习目标
难点
重点
1. 知道三角形的中线、角平分线和高的概念，能画出三角形的中线、角平分线和高.
2. 能应用三角形的中线、角平分线和高的性质进行简单计算.
新课引入
1. 同学们还记得我们之前学过垂线、线段的中点、角平分线的定义吗？
(1)垂线：当两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；
(2)线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点；
(3)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
2. 把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，让学生将另一端从B点开始沿着BC向点C移动，观察移动过程中形成的无数条线段，你认为有哪些特殊位置？
B
C
A
D
E
F
当移动到点D时，BD=CD；
当移动到点E时，∠BAE=∠CAE；
当移动到点F时，AF⊥BC.
这三条线段就是我们本节课要学习的三角形的中线、角平分线和高.
新知学习
问题 1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的高.
问题 2 由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB = ∠ADC = 90°
注意：
标明垂直的记号和垂足的字母.
A
B
C
D
垂足
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
画图发现
三角形的三条高交于一点.
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
O
(E,F)
O
画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？
三角形的高：
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.
A
B
C
D
数学语言：如图，在△ABC 中，AD⊥BC于点D，则线段AD是△ABC的边BC上的高.
高的交点：
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
A
C
B
AC =BC = AB
问题3 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？
A
B
C
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
D
问题2 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
B
C
想一想 由三角形的中线能得到什么结论？
BD = CD = BC
D
画一画 如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
问题 4 如图，在 △ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE是△ABC 的高．
试判断△ABD和△ACD 的面积有什么关系，为什么？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题 5 通过问题 4 你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
三角形的中线：
定义：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点所得的线段，叫做三角形的中线.
数学语言：如图，在△ABC 中，点D是BC的中点，连结AD，则AD是△ABC的边BC上的中线.
中线的交点：
三角形的三条中线相交于三角形内部一点.
A
B
C
D
问题 6 如图，若 OC 是∠AOB 的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC = ∠BOC
想一想 三角形的角平分线与角的平分线相同吗
相同点是： ∠ABD = ∠CBD；
不同点是：前者是线段，后者是射线.
B
C
D
A
(
(
问题7 请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心.
画一画 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？
三角形的三条角平分线相交于三角形内部一点.
三角形的角平分线：
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
数学语言：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，
则线段AD是△ABC的一条角平分线.
角平分线的交点：
三角形的三条角平分线相交于三角形内部一点.
B
C
D
A
(
(
例1 请按要求作图：
(1) 画出 △ABC 的 ∠C 的平分线；
(2) 画出 △ABC 的边 AC 上的中线；
(3) 画出 △ABC 的边 BC 上的高.
A
B
C
D
E
F
如图，CF 是一条角平分线；BE 是 AC 边上的中线；AD 是边 BC 上的高.
注意：画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段.
例2 (1) 如图， △ABC 是等腰三角形，AB=AC，试画出边BC上的中线和高以及 ∠A 的平分线，从中你发现了什么？
A
C
B
等腰三角形底边上的中线、高、角平分线重合.
(2) 在一个直角三角形中，画出斜边上的中线，先观察一下图形中有几个等腰三角形，再用刻度尺验证你的结论.
有两个等腰三角形：△DAB与△DBC.
A
C
B
D
通过刻度尺测量得，AD=BD=5cm，BD=CD=5cm，
所以△DAB与△DBC是等腰三角形.
随堂练习
1. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是 (　 　)
A. 中线 B. 角平分线
C. 高 D. 中位线
2. 如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若 CE = 9，则 BC = _____.
A
12
3. 如图所示，CM 是△ABC 的中线，△ACM 的周长比△BCM 的周长大 3 cm，BC = 8 cm，AC 的长为 _____ cm.
11
4. (1) 如图1，已知△ABC，点 D、E、F 分别是 BC、AB、AC 的中点，若△ABC 的面积为 16，则△ABD 的面积是 _____，△EBD 的面积是 _____；
解：(1) 因为点 D、E、F 分别是 BC、AB、AC的中点，三角形中线等分三角形的面积，
所以 S△ABD = S△ABC = ×16 = 8，
S△EBD = S△ABD = ×8 = 4.
8
4
(2) 如图2，点 D、E、F 分别是 BC、AD、EC 的中点，若△ABC 的面积为 16，求△BEF 的面积是多少？
解：(2) 因为在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，
所以 S△ABD = S△ABC = 8，
因为 E 是 AD 的中点，
所以 S△BED = S△ABD = 4，
同理得，S△CDE = 4，所以 S△BCE = 8，
因为 F 是 CE 的中点，
所以 S△BEF = S△BCE = 4.
5. 如图，在等腰△ABC 中，AB = AC < BC，△ABC 的周长为 20 cm，AC 边上的中线 BD 把△ABC 分成两个三角形，且△BCD 与△ABD 的周长之差为 2 cm，求△ABC 各边的长.
解：设 AB = AC = x cm，BC = y cm，
根据题意得
解得
所以 AB = AC = 6 cm，BC = 8 cm.
定义
三角形的相
关概念及
分类
中线、角平分
线和高的特点
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.
中线：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点所得的线段，叫做三角形的中线.
角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
高的交点：
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
中线的交点：
三角形的三条中线相交于三角形内部一点.
角平分线的交点：
三角形的三条角平分线相交于三角形内部一点.
课堂小结

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