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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高二下学期期末热身考试数学试卷（二）
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件
2．对20不断进行“乘以2”或“减去3”的运算，每进行一次记作一次运算，若运算n次得到的结果为23，则n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x 4 6 8 10
识图能力y 3 5 7 8
由表中数据，求得经验回归方程为，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力的预测值为（ ）．
A．10 B．9.8 C．9.5 D．9.2
4．下列说法正确的是（ ）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
B．若随机变量ξ，η满足，则
C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件D．若随机变量X服从两点分布，，则
5．2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（ ）个．
A．480 B．600 C．720 D．840
6．甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（ ）
A．36 B．48 C．52 D．64
7．设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（ ）
附：若，则，．
A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413
8．已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
10．已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（ ）
A．B．的离心率为C．的一条渐近线为 D．的焦点到渐近线的距离为的
11．在直三棱柱中，，且为线段BC（不含端点）上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．异面直线与所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．当是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 .
13．已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点P满足，则实数的取值范围是
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题（共5小题，共70分）
15．2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
16．有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
(3)若甲校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）
17．已知，且．
(1)求二项式系数最大的项；
(2)求的值．
18．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.

(1)求证：面；
(2)点Q在棱上，若二面角的余弦值为，求的值.
19．已知甲乙两个盒中均有3个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球和1个红球．从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行次操作后，记甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为．
(1)求的数学期望；
(2)找出与的关系，并求的通项公式；
(3)证明：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A C C A C AB BCD
题号 11
答案 ABD
12．13．14．
15．(1)；；(2)(3)
16．(1)(2)恰有1人做对的概率为0.35，X的数学期望为1.55(3).
17．(1)
(2)
18．（1）证明：由题意：，，，
∴解这个直角梯形可得：，，
又，∴，即，
又面面，面面，面，
∴面，又面，∴，
又，且面，面，，
∴面；
(2)
19．(1)(2)；
（3）由全概率公式可得
，
，
即，又，所以，
可得，又，
故，则，，
所以

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