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河北省廊坊市部分学校2024-2025学年八年级下数学期末试卷
一、单选题
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形边长为1，、分别在轴和轴上，以为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与轴负半轴交于点，则点横坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．等腰三角形的一个底角为度，顶角为度，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．关于正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象过点
B．函数图象经过第二、四象限
C．随的增大而增大
D．不论为何值，总有
6．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．学校在开展“节约每一滴水”活动中，从八年级的100名同学中任选出20名同学调查了各自家庭一个月的节水情况，将数据整理如图，估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）
A． B． C． D．无法估计
8．如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则两位学生五次数学成绩的方差（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，，则矩形的周长是（ ）
A．20 B．28 C．26 D．24
10．如图，已知的面积为8，点在边上从点向点运动（不含端点），设的面积为，的面积为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．当时，化简 ．
12．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺．
13．如图，直线与轴相交于点，直线与轴交于点，这两条直线相交于点，则的面积等于 ．
14．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：
人数（人） 1 2 3 4 6 9
次数（次） 15 30 20 18 23 25
那么跳绳次数的中位数是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点在边上、点在边上，且，当最小时，点坐标为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)已知：，，求．
17．如图，菱形中，对角线、交于点，，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，是的中点，则 ．
18．如图，点、把线段依次分成、、三段．若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的“勾股分点”．
(1)若，，，则点、 线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）．
(2)若、是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长．
19．人工智能是模拟人类智能的计算机系统，某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级10人的得分：42，57，68，71，83，83，85，89，91，99；
八年级10人的得分在组中的分数为：83，84，84，87．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差
年级 平均数 中位数 众数 方差
七 76.8 83 300
八 76.8 84 260
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）；
(3)若七年级有1200人参与测试，八年级有1000人参与测试，请估计七、八两1级得分在组的共有多少人？
20．在一次科技创新大赛中，评委从创新性（）、技术难度（）、展示效果（）三个方面为项目打分，各项得分按百分制计分（得数为整数）后计算综合成绩．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手 创新性 技术难度 展示效果
90 80 85
85 90
(1)计算选手的综合成绩；
(2)若选手要在综合成绩上超过选手，则展示效果成绩至少多少分？
21．为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动．需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为件，总费用为元．请回答以下问题：
(1)写出总费用与的函数关系式；
(2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？
22．数学活动课上，老师如下定义了匀速变化的函数：
设是的函数，，是自变量取值范围内的两个值，当由变化到，对应的值由变化到，我们称比值为在与之间的平均变化速度，当在自变量取值范围内任意两值之间的平均变化速度是同一个数时，我们称为的匀速变化的函数．
【活动一】
（1）判断：一次函数_____匀速变化的函数（“是”或“不是”）．
（2）试说明一次函数是匀速变化函数．
一次函数是匀速变化的函数，事实上，匀速变化的函数是一次函数．因此，如果知道一个函数是匀速变化的，那么这个函数就是一次函数．我们就可以用待定系数法求这个一次函数的表达式．
【活动二】
运用活动一的结论，解决下列问题：
表示气温时，大多数国家都使用摄氏温度，少数国家用华氏温度．两种计量单位之间有如下的对应关系：
摄氏（℃） 0 10 20 30 40 50
华氏 32 50 68 86 104 122
求华氏温度关于摄氏温度的函数关系式，多少摄氏度时两种计量方式的数值相等？
23．如图1，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．以为对角线作矩形，点坐标．
(1)点的坐标为 ；
(2)若点在第二象限内，求的面积关于的函数表达式；
(3)如图2，若点在坐标平面内．过点作，过点作，若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
参考答案
1．A
解：根据题意：，即，
故选：A．
2．D
解：∵正方形边长为1，
∴，点表示的数为，
∵以A为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与x轴负半轴交于点B，
∴，
∴B点横坐标为：．
故选：D．
3．C
解：由图可得，
，
A、添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形；
B、添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形；
C、添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形；
D、添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形；
故选：C．
4．B
解：等腰三角形的两个底角相等，均为x度，顶角为y度，由三角形内角和定理得：
，
则，
因此，则与的函数关系式为．
故选：B．
5．B
A．当时，，图象不经过点，错误；
B．因，函数图象经过第二、四象限，正确；
C．因，随的增大而减小，错误；
D．当时，，此时不小于0，错误．
6．C
解：直线与直线，
当时，直线在直线的上方，
直线与直线相交于点，
在点的右侧直线在直线的上方，
所以的解集为，
故选：C．
7．A
解：
（t）
即估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是230t．
故选：A ．
8．C
解：根据图示，甲的折线图的波动小于乙的折线图的波动，
∴，
故选：C．
9．B
解：∵点、分别是、的中点， ，，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴．
故选：B．
10．B
解：如图，过点作于点，
的面积为8，
，
的面积为，
∵的面积为，的面积为，
，
点在边上从点向点运动（不含端点），
，即，
解得，
则关于的函数图象大致是在内的一条线段，且随的增大而减小，
故选：B．
11．
解：∵，
∴．
故答案为：．
12．9
解：，
，
∴．
故答案为：9．
13．9
解：∵直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴，
把代入，得
，
解得，
∴，
由直线可知，由直线可知，
∴，
∴
故答案为：9．
14．23
解：这次跳绳次数的中位数是将这25位同学的跳绳次数按从小到大排列后的第13个数据，
∵由表格中的数据分析可知，这组数据按从小到大排列后的第13个数据是23，
∴这组跳绳次数的中位数是23．
故答案为：23．
15．
解：连接，取点关于对称点，连接，，与交于，
∵矩形中，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是点关于对称点，
∴，，点，
∴，
∴当、、三点在同一直线上时，最小，即与重合，
∵，，
∴直线解析式为，
当时，，
即当最小时，点坐标为．
故答案为．
16．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：，，
原式．
17．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∵，是的中点，
∴，
故答案为：．
18．(1)不是
(2)13或5
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴点、不是线段的“勾股分点”，
故答案为：不是；
（2）解：设，则．
①当是直角三角形的斜边时，
由．
得．
解得：；
①当是直角三角形的斜边时，
由．
得．
解得：；
或5．
19．(1)83，，20
(2)八年级掌握人工智能知识比较好，理由见解析
(3)估计七、八两个年级得分在组的共有440人
（1）解： 83出现的次数最多，故众数．
八年级C组人数∶，
八年级D组人数∶，
八年级B组人数：4，故八年级A组人数∶，
即．
八年级成绩排在第5和第6位的是84和87，故中位数
故答案为∶；
（2）解：八年级掌握人工智能知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；
注意：答案不唯一，回答合理即可
（3）解：（人），
估计七、八两个年级得分在组的共有440人．
20．(1)选手的综合成绩86分
(2)选手展示效果成绩至少83分
（1）解：选手的综合成绩：（分）
选手的综合成绩86分．
（2）由，
解得：．
得分为整数，
，
若选手要在综合成绩上超过选手，则选手展示效果成绩至少83分．
21．(1)
(2)购买机器人模型的数量为50件，电子元件套装10件，总费用最低，最低费用5280元
（1）解：∵购买机器人模型的数量为件，购买两种物品共60件，
∴购买电子元件套装的数量为件，
∵机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件，
∴；
（2）解：∵机器人模型数量不少于电子元件套装的倍，且电子元件套装至少购买10件，
∴，解得
，，
总费用随的增大而增大，
当时，（件），
此时（元）．
购买机器人模型的数量为50件，电子元件套装10件，总费用最低，最低费用5280元．
22．活动一：（1）是；（2）见解析；活动二：，℃（或零下℃）时两种计量方式的数值相等
解：活动一：（1）设，是的任意两个自变量，
∴，，
∴，
∴一次函数是匀速变化的函数．
故答案为：是
（2）设，是函数的任意两自变量，
∴，，
∴
∴是匀速变化函数．
活动二：
由表中数据可知F关于C的函数是匀速变化的．
设，
时，时，
，
解得
（或零下）时两种计量方式的数值相等
23．(1)
(2)
(3)或
（1）解：在中，令，则；
令，则；
∴；
∵是矩形，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：连接，如图所示：
则，
∵点在第二象限内，
∴；
（3）解：直线的解析式为；
设点；
∵，，
由题意得：，
∴，解得：；
∴，；
当为对角线时，，消去求得；
当为对角线时，，消去求得；
综上所述，点的坐标为或．

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