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河南省商丘市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷
一、单选题
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．－4和－3之间 B．3和4之间 C．－5和－4之间 D．4和5之间
5．河南省曲剧团中六位曲剧演员的年龄（单位：岁）分别为26，24，29，31，28，29，则四年后这六位曲剧演员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知点，点是上的两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ）

A． B．方程的解是
C． D．不等式的解集是
9．如图，在矩形中，对角线，相交于点D，以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点H，已知，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
10．如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．已知一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到，则该函数解析式是 ．
13．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩（百分制）依次是80，90，86，则小桐这学期的体育成绩是 ．
14．如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ．
15．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，P是上任一点，于E，于F，若，，则的最小值为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
【数据收集】
八年级：9，7，11，8，7，5，6，8，6，13；
九年级学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下：
【数据整理、分析】
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 a 8
九年级 8 b
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)杨洋对李刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们年级中的排名比你在你们年级的排名靠前．”观察上表可知，杨洋是________年级学生．（填“八”或“九”）
(3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由．
18．如图，小橘子数学研修活动中做了以下探究：在菱形中，对角线、相交于点．
(1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证： 四边形为矩形．
19．研究新函数，可以通过一次函数的图象和性质的学习过程来探究新函数．
(1)补全下表：
x … 0 1 2 3 …
y … ________ 1 ________
(2)根据（1）中的数据在下图中画出函数图象；
(3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质．
①该函数的最大值为________；
②若方程有两个解，则k的取值范围是________；
③请你再写出一条该函数的性质．
20．如图，小明对自己家所在小区进行调查后发现，小区车库入口宽为，在入口的一侧安装了起落杆，其中为支架，当起落杆仰起并与地面成角时，起落杆的端点C恰好与地面接触，此时为．在此状态下，若一辆货车高，宽，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗 请你通过计算说明．（参考数据：）
21．“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．
(1)，两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本．
①求关于的关系式．
②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
22．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于，两点，与直线交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点E，与直线交于点F，若，求m的值；
(3)点M为射线上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．问题情景：在数学活动课上：老师出示了这样一个问题：如图①，在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上，且满足．
数学思考：

（1）如图①，当点，，分别在线段，，上时，线段与的数量关系为________；位置关系为________；
猜想证明：
（2）如图②，当点，，分别在线段，，的延长线上时，（）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
拓展延伸：
（3）若，当时，请直接写出线段的长度．
参考答案
1．C
，被开方数为，当时，，此时式子无意义，因此不一定是二次根式，故选项A错误；
，被开方数为，负数在实数范围内无法开平方，故不是二次根式，故选项B错误；
，被开方数是正数，且根指数为2，符合二次根式定义，因此一定是二次根式，故选项C正确；
，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件，故选项D错误
故答案为：C.
2．D
解：A、，故A错误，不符合题意；
B、与为不同类二次根式，无法合并，故B错误，不符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
3．B
解： ①：每个x对应唯一y，是函数．
②：每个x对应唯一y，是函数．
③：解为 ，一个x对应两个y，不是函数．
④：平方根仅取非负值，每个x对应唯一y，是函数．
⑤：解为 ，一个x对应两个y，不是函数．
⑥：每个x对应唯一y，是函数．
∴y是x的函数的有①②④⑥。
故选：B．
4．A
由点P坐标为(－2，3)，
可知OP=,
又因为OA=OP,
所以A的横坐标为-，介于－4和－3之间，
故选A．
5．B
解：原数据为24，26，28，29，29，31．
众数：原众数为29，四年后变为33，改变（A错误）．
方差：各数同加4，数据波动性不变，方差不变（B正确）．
平均数：原平均数为，四年后增加4，变为，改变（C错误）．
中位数：原中位数为，四年后变为，改变（D错误）．
故选B．
6．B
解：A选项：
∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴DO=BO，
∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；
B选项：
在与，
，，
这是SSA模型，不能判定，
因此，也不能用来判定四边形ABCD是平行四边形；
下图给出一个反例，图中，
则满足条件：，，但四边形ABCD不是平行四边形，
故B符合题意；
C选项：
∵ADBC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∵，
∴△OAD≌△OCB，
∴，
∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；
D选项：
∵∠ABD=∠BDC，
∴ABCD．
又∵，
∴ADCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；
故选：B．
7．A
对于一次函数，
∵，
∴，
∴，
即一次函数的系数为负，
∴函数随的增大而减小．
∵，，中，
∴，
故选：A．
8．D
解：由图象可知，，，故选项A、C正确，不符合题意；
直线与直线的交点的横坐标为，即方程的解是，故选项B正确，不符合题意；
根据图象可知，不等式的解集是，故选项D错误，符合题意．
故选D．
9．B
解：∵，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
根据作图可知：平分，
∴，
∴点H为的中点，
∵为的中点，
∴．
故选：B．
10．B
解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，
∴当时，如图：
∴；
当时，如图：
∴；
∴，
由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应，
故选：B．
11．x≥-2且x≠1
解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
12．
解：一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到，
．
故答案为：．
13．86分
解：（分），
答：小桐这学期的体育成绩是86分．
故答案是：86分
14．/45度
解：如图，作点关于线段的对称点，连接，
由对称可得，
即，
设小正方形的边长为 1 ，
由勾股定理，得，
，
是等腰直角三角形，
∴，即．
故答案为：．
15．
解：过作于，
四边形是菱形，
，，，，平分，
于，
，
，，，
当P、、共线时，，此时有最小值，即的长度
，，
，，
，
菱形的面积，
，
．
的值为．
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)，
(2)八
(3)九年级的学生体育锻炼情况总体更好,理由见解析
（1）解:将八年级学生的平均每周锻炼时长数据从小到大排序：5，6，6，7，7，8， 8，9， 11， 13，
所以中位数；
由九年级学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图可知．
故答案为：，．
（2）解：平均每周锻炼时长是8小时，在八年级排第4，在九年级排第6，所以杨洋是八年级学生．
故答案为：八．
（3）解：九年级的学生体育锻炼情况总体更好．理由如下（答案不唯一）：
①中位数来看，九年级（小时）高于八年级（小时），表明九年级一半以上的学生达到较高锻炼时长；
②从方差来看，九年级方差（）小于八年级（），说明九年级数据更集中，波动更小．
18．(1)见解析
(2)见解析
（1）解： 图形如图所示：
（2）证明： ，
，
四边形是菱形，
， ， ，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
四边形为矩形．
19．(1)，
(2)见解析
(3)①1；②；③根据图象可知，当时，y随x的增大而大；当时，y随x的增大而减小
（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：，；
（2）解：函数图象如下：
（3）解：①根据函数图象，该函数的最大值为；
②根据函数图象，若方程有两个解，则k的取值范围是；
③当时，y随x的增大而大；当时，y随x的增大而减小．
20．不能，理由见解析
解：不能.
理由如下：在之间找一点F，使，
过点F作，交于点G，
如图所示，
，，，
.
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．
，
这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．
21．(1)，两类图书每本的进价分别为32元，24元
(2)①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元
（1）解：设，两类图书每本的进价分别为元，元．
，解得
答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元．
（2）①依题意；
∴
②解得
设利润为元．
因为小于0，所以随的增大而减小，
当取501时，
，
所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元．
22．(1)
(2)或8
(3)或
（1）解：依题意，把，代入得到
解得，
∴一次函数的解析式是
（2）解：∵在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点E，与直线交于点F，
∴，，
∵，
∴，
，
，
则或，
或；
（3）解：或，过程如下：
依题意，联立方程组，
解得，
点C坐标
在x轴上取一点M，在直线上取一点N，使得，且，分别过N，C作x轴的垂线，垂足为H，I．
第一种情况，当点在的延长线上时，如图所示：
∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，，
设，
则
，
把点代入，
得，
解得；
第二种情况：当点在线段上时，
∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，，
设，则
，
把点代入，
得，
解得，
综上所述或．
23．（1），；（2），，依然成立，证明见解析；（3）或
（1）如图所示，过点作于点，设交于点，

∵
∴，
∵四边形是正方形，
∴,，
又∵，
∴
∴，，
又
又
又∵，
（2），，依然成立，证明如下，
如图所示，过点作于点，延长交于点，

∵
∴，
∵四边形是正方形，
∴,，
又∵，
∴
∴，，
又
又
又∵，
（3）当点，，分别在线段，，上时，同（1）可得

∴
∵，
∴，
∴
∴；
当点，，分别在线段，，的延长线上时，由（2）可得

∵，，
∴，
∴．

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