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第03讲 有理数的乘法
课程标准 学习目标
①有理数的乘法法则②有理数的乘法运算定律 ③多个有理数相乘 1．掌握有理数的运算法则以及运算定律，能够在有理数的乘法中熟练的进行应用． 2．掌握多个有理数的乘法运算法则，能够运用运算定律在多个有理数的乘法的计算中简便运算．
知识点01 有理数的乘法运算法则
1．乘法运算法则：
（1）两数相乘，同号得___________正___________，异号得___________负___________，在把___________绝对值___________相乘．若两个因数的符号时一样的，则积的符号为正，若两个因数的符号不一样，则积的符号为负．再把他们的绝对值相乘．
（2）任何数与0相乘都等于___________0___________．
（3）任何数与1相乘的积是___________原数___________，与﹣1相乘得到它的___________它的相反数___________．
（4）在有理数的乘法计算时，小数化成___________分数___________，带分数化成___________假分数___________．
【即学即练1】
1．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
知识点02 有理数的乘法运算定律
1．乘法运算定律：
（1）乘法交换律：交换因数的位置，积___________不变___________．即．
（2）乘法结合律：三个有理数相乘，先把___________前两个___________因数相乘或先把___________后两个_因数相乘，积_不变_．
（3）乘法分配律：一个数乘以几个数的和或差，等于这个数别分乘以这几个数的积的和或差．即：
【即学即练1】
2．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【即学即练2】
3．简便计算
(1)
(2)
知识点03 多个有理数相乘
1．多个有理数相乘的法则：
多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为___________0___________；若没有0作为因数，则根据___________负因数___________的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为___________﹣___________，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为___________正___________．在把所有因数的___________绝对值___________相乘．
【即学即练1】
4．计算．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
题型01 有理数的乘法计算及其简便运算
【典例1】
5．计算：
（1）（－13）×（－6）
（2）
（3）
（4）3×（－1）×
（5）－2×4×（－1）×（－3）
（6）（－2）×5（－5）×（－2）×（－7）
【变式1】
6．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【变式2】
7．（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式3】
8．计算．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式4】
9．选择适当方法，简便计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
题型02 绝对值与有理数的乘法
【典例1】
10．已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（　　）
A．±1 B．±12 C．1或－7 D．7或－1
【变式1】
11．若|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，求x﹣y的值．
【变式2】
12．已知，．
(1)求x，y的值；
(2)若，求的值．
【变式3】
13．已知，．
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
【变式4】
14．若，，为有理数且，且，求的值．
【变式5】
15．若，，则化简的结果为 ．
题型03 有理数乘法中的新定义运算
【典例1】
16．若定义新运算：，请利用此定义计算： ．
【变式1】
17．若“！”是一种数学运算符号，并，，，，…，则的值为（ ）
A．0.2! B．2450 C． D．49!
【变式2】
18．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab，如2*3=4×2×3=24．
(1)求3*(-4)的值；
(2)求(-2)*(6*3)的值．
19．下列各式中积为正的是（　　）
A． B．
C． D．
20．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
21．下列说法中，错误的是（ ）
A．一个数与0相乘，积为0 B．一个数与1相乘，仍得原数
C．一个数与-1相乘，得原数的相反数 D．互为相反数的两个数的积为1
22．如图，数轴上的两点所表示的数分别为，且，，则原点的位置在（ ）
A．点的右边 B．点的左边
C．两点之间，且靠近点 D．两点之间，且靠近点
23．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．已知，且，则，一定满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
25．已知a、b、c为非零有理数，它们的积一定为正数的是（ ）
A．a、b、c同号 B．，b、c同号 C．，a、c同号 D．
26．下列说法正确的是（ ）
A．如果，则有
B．若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数
C．一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数
D．若，则m、n互为相反数
27．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论判断正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0
C．a＞0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
28．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
29．，应用了( )律．
30．已知，，且，则的值为 ．
31．若、、是非零有理数，，则的值为 ．
32．有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中①；②；③；④ ；⑤ ；⑥，正确的是

33．在学习有理数乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏，将2023这个数说给第一位同学，第一位同学将它减去它二分之一的结果告诉第二位同学，第二位同学再将听到的结果减去它的三分之一的结果告诉第三位同学．第三位同学再将听到的结果减去它的四分之一的结果告诉第四位同学，…照这样的方法直到全班48人全部传完，则最后一位同学告诉李老师的正确结果是 ．
34．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
35．简便方法计算：
（1）；
（2）．
36．已知非零有理数a，b，c.
(1)若a，b，c均为负数，求的值；
(2)若，，求的值.
37．阅读理解：
计算×﹣×时，若把与分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设为A，为B，
则原式=B（1+A）﹣A（1+B）=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．请用上面方法计算：
①×-×
②-．
38．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值，其中．
试卷第1页，共3页
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《第03讲 有理数的乘法（3个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1． -15 20 0 -6 30
【分析】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（3）根据任何数乘以0都等于0计算；
（4）把带分数化为假分数，然后约分即可得解；
（5）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
（6）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）-2×0＝0；
（4）；
（5）；
（6）．
故答案为：-15；20；0；；-6；30．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法交换律和结合律即可求解；
（2）利用乘法交换律和结合律即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的乘法运算．解答的关键是运用乘法运算律简化计算过程．
3．(1)
(2)5
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查有理数的乘法运算律，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
4．(1)
(2)0.08
(3)6
(4)0
(5)
(6)0
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算顺序和法则，简便运算，是解决问题的关键．
（1）异号二数相乘积得负，绝对值相乘；
（2）同号二数相乘积得正，绝对值先约分，再相乘；
（3）同号二数相乘积得正，绝对值先化成假分数，约分，再相乘；
（4）任何数和0相乘积得0；
（5）负因数的个数是奇数个积为负，绝对值是带分数的化成假分数，约分后相乘；
（6）几个因数中有一个为0的积为0；
（7）负因数的个数是奇数个积为负，绝对值是带分数的化成假分数，小数化成分数，约分后相乘；
（8）负因数的个数是一个积得负，绝对值是带分数的化成假分数，约分后相乘；
（9）先确定两部分积的正负号，再逆用分配律计算；
（10）先确定两部分积的正负号，再作乘法，后作减法．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
5．（1）78 （2）－0.05 （3）－2 （4）1 （5）－24 （6）700
【详解】解：（1）（－13）×（－6）=78．
（2）－×0.15=－0.05．
（3）（＋1）×（－1）=
（4）3×（－1）×（－）=1．
（5）－2×4×（－1）×（－3）=．
（6）（－2）×5（－5）×（－2）×（－7）=700．
【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除运算，掌握“有理数的加减乘除运算的运算法则以及运算顺序是解本题”的关键．
6．(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键，
（1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可；
（2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可；
（3）观察发现因数中有0，故结果为零．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
7．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查了有理数的乘法法则及乘法运算律，掌握有理数的乘法法则是解题的关键。
（1）把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）把和，和利用乘法交换、结合律进行计算即可得解；
（3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（4）把与交换结合到一起，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
8．(1)
(2)
(3)
(4)8
【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键．
（1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
9．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可得解；
（2）先把写成，再利用乘法分配律进行计算即可得解；
（3）逆运用乘法分配律，提取15，然后进行计算即可得解；
（4）把小数化为分数，然后利用乘法交换律和乘法结合律进行计算即可得解；
（5）运用乘法分配律和逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
（5）
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，计算时要注意符号的处理．
10．B
【分析】根据a小于b，利用绝对值的代数意义求出a与b的值，即可确定出ab的值
【详解】解：因为|a|＝3，
所以a＝±3．
因为|b|＝4，
所以b＝±4．
因为a>b，
所以a＝3，b＝－4或a＝－3，b＝－4．
所以ab＝－12或12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是绝对值，有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则，根据绝对值的意义得出a，b的值是解题的关键．
11．x﹣y＝8或﹣8
【分析】根据绝对值的性质可得x＝±3，y＝±5，再由xy＜0，求出满足条件的x、y，最后代入计算即可．
【详解】解：∵|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣5或x＝﹣3，y＝5，
则x﹣y＝8或﹣8．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法法则，有理数的加法法则等，熟练掌握绝对值的性质，准确求出满足条件的x、y的值是解题的关键．
12．(1)，
(2)4或﹣4
【分析】（1）根据绝对值的定义即可得到x，y的值；
（2）根据xy＜0，知道x，y异号，然后分两种情况分别计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，；
（2）∵，
∴x，y异号，
当x＝5，y＝﹣9时，；
当x＝﹣5，y＝9时，，
综上所述，的值为4或-4．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的加法，掌握绝对值的定义是解题的关键，数轴上一个数表示的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．
13．(1)12
(2)
【分析】此题主要考查了绝对值以及有理数的乘法，正确分类讨论是解题关键．
（1）直接利用绝对值的性质得出，的值，进而得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：，，
，，
（1）若，所以，异号，
当，时，，
当，时，，
综上，；
（2）若，则，
当，时，，
当，时，，
综上，．
14．
【分析】根据，且可得，，中必有两正一负．可得，再化简即可．
【详解】解：在任意不为0的数，，中，
∵，
∴，，中必有两正一负．
∴ ．
【点睛】本题考查的是化简绝对值，有理数的加法，除法的运算符号确定问题，熟记绝对值的含义以及运算结果的符号确定方法是解本题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了有理数的加法，有理数的乘法，绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据题意判断出，进一步判断出，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
原式
．
故答案为：．
16．
【分析】根据新运算的运算法则首先求出的值，然后再计算后面的值，从而得出答案．
【详解】原式．
【点睛】本题主要考查的是有理数的乘法计算法则，属于基础题型．明确新运算的计算法则是解决这个问题的关键．
17．B
【分析】理解“!”的意义，把分子、分母分别转化为乘法式子后，约分计算．
【详解】解：
故选：B
【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“!”这种数学运算符号是解题的关键．
18．（1）-48；（2）-576
【分析】（1）根据a*b=4ab，把3*（﹣4）转化为常规运算计算即可；
（2）根据a*b=4ab，先算6*3，再算（﹣2）*（6*3）即可.
【详解】解：（1）∵a*b=4ab，
∴3*（﹣4）=4×3×（﹣4）=-48；
（2）∵a*b=4ab，
∴（﹣2）*（6*3）
=（﹣2）*（4×6×3）
=（﹣2）*72
=4×（﹣2）×72
=-576.
【点睛】本题考查了新定义运算及有理数的乘法，明确新定义的算理，把新定义运算转化为常规运算是解答本题的关键.
19．D
【分析】根据有理数乘法运算法则，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、中三个正数一个负数，结果为负，不符合题意；
B、中一个正数三个负数，结果为负，不符合题意；
C、中有一个0，结果为0，不符合题意；
D、中有四个负数，结果为正，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查有理数乘法，熟记有理数乘法运算法则确定结果符号是解决问题的关键．
20．D
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案．
【详解】解：，，，，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
21．D
【分析】根据有理数的乘法法则逐项判断即可得．
【详解】A、一个数与0相乘，积为0，此项说法正确；
B、一个数与1相乘，仍得原数，此项说法正确；
C、一个数与相乘，得原数的相反数，此项说法正确；
D、互为相反数的两个数的积不一定为1，如，此项说法错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题关键．
22．C
【分析】此题考查了有理数的加法和乘法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则判断即可．
【详解】解：∵根据题意，数轴上的，且，，
∴与异号且绝对值大，即，，
则原点的位置在两点之间，靠近点，
故选：C．
23．B
【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴a，b同号，
∵，
∴，
故选：B．
24．D
【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：，且，
，
故选：D．
25．B
【分析】根据题意，利用有理数的乘法法则判断即可．
【详解】解：a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是，b与c同号，
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．D
【分析】根据相反数的定义，有理数的乘法法则，绝对值的定义解答即可．
【详解】解：A．如果，则有不一定成立，例如，但，故选项错误，不符合题意；
B．若干个非零有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故选项错误，不符合题意；
C．一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或零，故选项错误，不符合题意；
D．若，则m、n互为相反数，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值，相反数的定义及有理数的乘法法则．
27．D
【分析】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负，即可判定．
【详解】解：∵a＞0，ac＜0，
∴c＜0，
∵abc＞0，
∴b＜0，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法法则．
28．D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组．
设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可．
【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，

∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
29．乘法结合
【分析】根据乘法结合律，作答即可．
【详解】解：由题意知，应用了乘法结合律，
故答案为：乘法结合．
【点睛】本题考查了乘法结合律．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
30．35或##或35
【详解】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法．先根据绝对值确定a，b的值，再根据有理数的乘法，即可解答．
【解答】解：，，
，，
，
，
，或，，
或，
故答案为：35或．
31．
【分析】根据a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值．
【详解】∵a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，
∴当a、b、c中一正两负时，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则a=-（b+c），
故=1+（-1）+（-1）-2=-3；
当a、b、c中两正一负时，
不妨设a＞0，b＞0，c＜0，则c=-（a+b），
故=1+1+（-1）+2=3；
故答案为：-3或3．
【点睛】本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
32．①③⑤⑥
【分析】先根据数轴上的位置，可得，，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．
【详解】解：由数轴可知，
，，
∴故①正确；
∵，，
∴
∴
故②错误；
∵，
∴，
∴③正确；
由已知，，
∴，
由，
∴故④错误；
∵，
∴，
∴故⑤正确，
∵，，
∴，
∴，
故⑥正确；
故答案为：①③⑤⑥；
【点睛】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键．
33．
【分析】根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出算式．
34．(1)
(2)
(3)60
(4)
【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键．
（1）利用乘法交换律，结合律计算即可；
（2）利用乘法交换律，结合律计算即可；
（3）利用乘法交换律，结合律计算即可；
（4）利用乘法交换律，结合律计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
35．（1）5；（2）-3．
【分析】（1）运用乘法分配律进行计算即可；
（2）逆用乘法分配律进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）

（2）
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，掌握并能灵活运用乘法分配律是解答此题的关键．
36．(1)
(2)
【分析】（1）先化简绝对值，再代入求解；
（2）先判断，，的符号关系，再化简求值．
【详解】（1）解：，，均为负数，
，，，，
；
（2）解：，，
，，同号，，异号，，异号，
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法和绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的化简．
37．（1）；（2）.
【分析】①根据发现的规律得出结果即可；
②根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果．
【详解】（1）设为A，为B，
原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=；
（2）设为A，为B，
原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．
【点睛】考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
38．(1)
(2)，
【分析】本题考查了新定义下有理数的混合运算及整式的乘法运算、平方差公式，已知式子的值求代数式的值，
（1）根据题意得，进行计算即可得；
（2）根据题意计算得，根据得，进行化简即可得；
解题的关键是理解题意，掌握有理数混合运算法则及整式的乘法、平方差公式．
【详解】（1）解：由题意得：

（2）解：由题意得：

，
∵，
∴，
∴原式．
答案第1页，共2页
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