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第05讲 绝对值和有理数的大小比较
课程标准 学习目标
①绝对值的定义与数的绝对值②绝对值的性质 ③求式子的绝对值 ④有理数的大小比较 1．掌握绝对值的定义并能够熟练的求一个数的绝对值． 2．掌握绝对值的性质并解决相关题目． 3．掌握求式子的绝对值的方法并能够熟练的求式子的绝对值． 4．掌握有理数比较大小的方法，能够熟练的比较有理数的大小．
知识点01 绝对值的定义与数的绝对值
1．绝对值的定义：
一般地，数轴上表示数的点到___________原点___________的距离就是数的绝对值．数的绝对值记作___________||___________，读作___________数的绝对值___________．
2．求一个数的绝对值：
由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是___________本身___________，一个负数的绝对值是___________它的相反数___________ ，0的绝对值是___________0___________．
【即学即练1】
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 绝对值的性质
1．绝对值的非负性：
由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为___________负数___________．所以绝对值是一个___________非负数___________，所以绝对值具有___________非负性___________．即若||___________≥___________0．
考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0．
即：若||＋||＋．．．＋||=0，则一定有___________==．．．==0___________．
2．绝对值与数轴：
在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就___________越小___________，一个数离原点越远，绝对值___________越大___________．
3．绝对值与相反数：
①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值___________相等___________．即若与互为相反数，则||___________=___________||．
②绝对值等于某个正数的数一定有___________两个___________，它们___________互为相反数___________．即若||=，则
=___________＋_或﹣．
③绝对值相等的两个数要么___________相等___________，要么___________互为相反数___________．即若||=||，则有___________=_或___________=﹣_．
【即学即练1】
2．若，则的值为（ ）．
A．9 B．5 C． D．
【即学即练2】
3．如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【即学即练3】
4．一个数的绝对值是，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】
5．已知a＝－5，|a|＝|b|，则b的值等于(　　)
A．5 B．－5 C．0 D．±5
知识点03 求式子的绝对值
1．求一个式子的绝对值：
正数的绝对值等于它___________本身___________，0的绝对值等于___________0___________，负数的绝对值等于___________它的相反数___________．求一个式子的绝对值先判断式子与___________0___________的大小关系，再对式子进行求绝对值．若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于___________它本身___________，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于___________它的相反数___________．即：．反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数___________大于等于___________0，解||=，则___________≥___________0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数___________小于等于___________0．||=﹣，则___________≤___________0．
【即学即练1】
6．若，则a的取值范围是 ；若，则a的取值范围是 ．
知识点04 有理数的大小比较
1．有理数的大小比较：
①定义法：正数___________>___________0，0___________>___________负数，所以正数___________>___________负数．负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而_小_．
②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定___________>___________数轴上左边所表示的数．
③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而___________小___________．
【即学即练1】
7．画数轴，然后在数轴上表示下列各数，并用号将各数连接起来．
、、、、、
【即学即练2】
8．如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型01 求数或式子的绝对值
【典例1】
9．的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
【变式1】
10．计算的值是（　　）
A． B． C． D．2
【变式2】
11．若，则的值等于（　　）
A． B．0 C． D．a
【变式3】
12．若，那么的取值不可能是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4】
13．已知ab0，则++的值是（ ）
A．3 B．－3 C．3或－1 D．3或－3
【变式5】
14．若，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
题型02 绝对值的非负性
【典例1】
15．已知，则（ ）
A．2 B．6 C．8 D．4
【变式1】
16．若，则的值是（ ）．
A．5 B．1 C．2 D．0
【变式2】
17．若与互为相反数，则a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
【变式3】
18．已知为有理数，则的最小值为 ．
【变式4】
19．若式子有最小值，则该最小值为 ．
【变式5】
20．当 时，会有最小值，且最小值是 ．
题型03 根据绝对值的意义求字母的取值范围
【典例1】
21．当时，则x一定是（　　）
A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0
【变式1】
22．若|1﹣a|=a﹣1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
【变式2】
23．若，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【变式3】
24．若，则是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
题型04 绝对值与相反数
【典例1】
25．若，则 ．
【变式1】
26．若，则 ；若，则 ．
【变式2】
27．如果，，且，那么a的值为 ，b的值为 ．
【变式3】
28．如果|a|＝|b|，那么a、b的关系是（　　）
A．a＝b B．a＝﹣b
C．相等或互为相反数 D．a、b均为0
【变式4】
29．已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（ ）
A．9 B．1 C．1或 D．9或
题型05 绝对值与数轴
【典例1】
30．a、b是有理数，且，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】
31．已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
32．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
题型06 绝对值的化简
【典例1】
33．已知 ，化简所得的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1】
34．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
35．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．1 B．
C． D．-1
【变式3】
36．数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 .
题型07 有理数的大小比较
【典例1】
37．在数轴上标出表示下列各数的点，并用“<”把下列各数连接起来．，，，，．

【变式1】
38．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．

39．在0，﹣2，﹣5，3这四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣5 D．3
40．的绝对值的相反数是（ ）
A． B． C．2024 D．
41．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和2
42．下列各组数中，大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
43．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
44．绝对值小于3的非负整数有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
45．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
46．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2023 B．4046 C．20 D．0
47．若与的值互为相反数，则、的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
48．如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
49．比较大小： （填“”，“”，或“”）．
50．化简： ．
51．，则x的取值范围是 ．
52．非零整数满足，所有这样的整数组共有 组．
53．已知、、均为不等于0的有理数，则的值为 ．
54．下面是一个不完整的数轴，
(1)请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上；
(2)将下列各数按从小到大的顺序用“”号连接起来：；；；．
55．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值．
（2）若，，且，求a，b的值．
56．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
(1)比较a、、c、的大小，并按从小到大的顺序排列，用“”号连接起来；
(2)化简：．
57．对于任意两个数，的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”．
(1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长；
(2)在（1）的条件下，若，用“作差法”比较的大小．
58．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；②的值为______．（最小值）
试卷第1页，共3页
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《第05讲 绝对值和有理数的大小比较（4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．C
【分析】本题考查绝对值的定义．根据绝对值定义，正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数即可解答．
【详解】解：，
的值为，
故选：C．
2．B
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相加即可得解．
【详解】解：根据题意得，，，
解得，
所以，．
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可．
【详解】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数，
所以原点的位置在线段的中点处，
∵离原点越近的点表示的数绝对值越小，
∴表示绝对值最小的数的点是C点．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查绝对值的知识，解题的关键是掌握绝对值的代数意义，即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：D．
5．D
【分析】根据绝对值的性质进行计算即可.
【详解】解：∵a＝－5，|a|＝|b|
∴|b|=5
∴
故选D
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键.
6．
【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
直接利用绝对值的意义得出答案．
【详解】解：若，则a的取值范围是；
若，则a的取值范围是．
故答案为：；．
7．数轴上表示见解析，
【分析】先在数轴上表示各个数，再比较即可．
【详解】
用号将各数连接起来为：
【点睛】本题考查了实数的大小比较法则和数轴，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
8．A
【分析】数轴上右边的数大于左边的数，根据数在数轴上对应的点的左右位置可得答案．
【详解】解：根据数轴可得：
故选A
【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义解答即可．
【详解】解：的绝对值是2024，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．
【详解】解：的值是2．
故选：D．
11．B
【分析】先根据绝对值的定义，得出，再根据合并同类项法则即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及合并同类项法则．
12．C
【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴有四种情况：①，，②，，③，，④，；
①当，时，；
②当，时，；
③当，时，；
④当，时，；
综上所述，的值为：或0．
故选：C．
13．C
【分析】利用绝对值的性质解答即可，分类讨论①a、b同为正数时；②a、b同为负数时，再代入即可．
【详解】解：∵ab＞0，
∴a、b同号，
①a、b同为正数时，
原式=1+1+1=3；
②a、b同为负数时，
原式=-1+（-1）+1=-1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，分类讨论是解答此题的关键．
14．C
【分析】本题考查了含有绝对值的方程．利用绝对值的意义可得，解出的值即可．
【详解】解：，
∴，
当时，解得，
当时，解得，
故选：C．
15．C
【分析】根据绝对值的非负性先求出m、n的值，然后代入式子计算解题．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，代入求值，掌握几个数绝对值的和为，则这几个数都为是解题的关键．
16．A
【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可．
【详解】解：∵，
又，
∴，
∴；
则．
故选A．
17．A
【分析】先根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得．
【详解】解：与互为相反数，
，
又，
，，
解得，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，利用非负数互为相反数得出这两个数均为零0是解题关键．
18．4
【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
19．
【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：
20． 1 5
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握任意一个数的绝对值大于等于0．
【详解】解：∵，
∴，
∴当时，有最小值，
即时有最小值5，
此时．
故答案为：1；5．
21．C
【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．
根据绝对值的意义得到．
【详解】解：，
．
故选：C．
22．B
【详解】根据，
说明1-a，
所以a≥1，
故选：B.
23．C
【分析】根据非负数的绝对值等于本身，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．
24．B
【详解】试题解析：∵|a|＞a，
∴a＜0．
故选B．
25．
【分析】本题考查绝对值的知识，解题的关键是掌握绝对值的代数意义．
根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
26． 9或5
【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：因为，所以；
因为，所以，解得或．
故答案为：；9或5
27． 3
【分析】本题考查绝对值意义，有理数大小比较，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
根据绝对值的性质求出a、b，再根据解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：3，．
28．C
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：根据绝对值性质可知，若|a|＝|b|，则a与b相等或互为相反数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的定义和性质是解题的关键．
29．C
【分析】根据题意列绝对值方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，或，
∴或，
∴x的相反数是或1．
故选：C．
【点睛】此题考查了绝对值方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意列得方程是解题的关键．
30．A
【分析】根据已知条件可以判断出a到原点的距离大于b到原点的距离，据此判断即可.
【详解】解：∵a、b是有理数，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置，属于基础题，要熟练掌握.
31．D
【分析】由数轴得出a＜－1＜0＜b＜1，根据a、b的范围，即可判断各选项的对错．
【详解】由数轴得出a＜－1＜0＜b＜1，则有
A、a＜b，故A选项错误，不符合题意；
B、|a|>|b|，故B选项错误，不符合题意；
C、ab＜0，故C选项错误，不符合题意；
D、-a＞b，故D选项正确，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是结合数轴，灵活运用相关知识进行判断．
32．B
【分析】本题主要考查根据数轴上点的位置判断式子，正确理解题意是解题的关键．由有理数a，b在数轴上的对应点的位置，即可判断．
【详解】解：根据数轴可得：，
A、，故A不符合题意；
B、，正确，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意，
故选：B．
33．B
【分析】由，得到，判断出 与的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值的性质和整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
34．B
【分析】本题考查绝对值的代数意义和整式的加减运算，解题的关键是掌握绝对值的代数意义（一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数），根据题意确定绝对值里面的代数式的正负情况，然后去绝对值，最后进行整式的加减运算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：B．
35．A
【分析】先根据点a在数轴上位置确定a的取值范围，再根据绝对值的性质把原式化简即可．
【详解】解：由数轴上a点的位置可知，0＜a＜1，
∴a-1＜0，
∴原式=1-a+a=1．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的性质及数轴的特点，能够根据数轴上点的位置判断出a的取值范围是解题关键．
36．b
【分析】本题综合考查了数轴上的两个点相对应的两个数正负性，两数的和差结果正负性，去绝对值的方法等知识点，重点掌握数轴的应用，难点用字母表示数轴上两点的和差正确去掉绝对值．由数轴上的点的位置确定对应的数的正负性，两个有理数的和差的正负性，去绝对值法则求出结果即可．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：．
37．；图见详解；
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，以及有理数的大小比较，需注意①可对数先进行计算（比如本题中去绝对值），再表示；②数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
【详解】解： ，
在数轴上表示为：
从小到大排序为： ．
38．
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先根据数轴，得出的情况，即可作答．
【详解】解：依题意，在数轴上的情况如下：
∴，
则从大到小的顺序为，
故答案为：．
39．C
【分析】根据负数小于0和正数，比较与的大小即可求解．
【详解】解：∵5＞2，
∴﹣5＜﹣2，
∴﹣5＜﹣2＜0＜3，
∴最小的数是﹣5.
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
40．D
【分析】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，先求解绝对值，再求解相反数即可得到答案．
【详解】解：的绝对值的相反数是；
故选D
41．C
【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可．
【详解】解：A、和不互为相反数，故该选项错误；
B、，，和不互为相反数，故该选项错误；
C、，，和互为相反数，故该选项正确；
D、，和2不互为相反数，故该选项错误；
故选：C．
42．C
【分析】本题考查有理数比较大小，有理数大小比较的法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C
43．A
【分析】本题考查了数轴与有理数大小的比较，正确理解数轴与有理数大小的比较的方法是解题的关键．在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，再根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，即可判断答案．
【详解】在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，则a，，b按照从小到大的顺序排列为．
故选：A．
44．B
【分析】根据绝对值的性质即可得．
【详解】解：绝对值小于3的非负整数有，共有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．
45．C
【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，，，
∴，
∴．
故选：C．
【考点】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
46．A
【分析】根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案．
【详解】解：∵绝对值具有非负性
∴，
∵有最大值，
∴当时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确．
故选：A.
【点睛】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值具有非负性是解题的关键．
47．D
【分析】根据相反数的定义与绝对值性质进行作答即可．
【详解】解：因为与的值互为相反数，
所以，
因为，，
所以，，
则，，
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义与绝对值性质，正确掌握相关内容性质是解题的关键，难度较小．
48．B
【分析】本题考查数轴、化简绝对值，根据数轴得到，进而得到，，再化简绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴得，
∴，，
∴
，
故选：B．
49．
【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，掌握以上知识是解题的关键．分别化简绝对值和多重符号，进而比较即可判断大小．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
故答案为：．
50．
【分析】根据绝对值的定义即可得．
【详解】解：；
故答案为：
【点睛】此题考查了绝对值，掌握绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键．
51．##
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，两点间距离，可看作数轴到表示2与的点的距离等于6的点的集合．
【详解】解：由绝对值的意义可知：表示数轴上某点到表示2与的点的距离等于6的点的集合．
故此x的取值范围是：．
故答案为：．
52．16
【分析】等式变形，利用绝对值的代数意义判断即可得到结果．
【详解】∵、为非零实数，且，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故时，，2种；
时，，2种；
时，，2种；
时，，2种．
同理：时，有2种；
时，有2种；
时，有2种；
时，有2种；
共16种．
故这样的整数组共有16组．
【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解题的关键．
53．3，-3，1， 1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时，== 1 1 1= 3；
(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1 1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时，== 1 1+1= 1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为 1．
故答案为：3，-3，1， 1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
54．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值和多重符号：
（1）先规定向右为正方向，以及单位长度，再化简绝对值和多重符号，最后表示出各数即可；
（2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可．
【详解】（1）解：，
（2）解；由数轴可得，．
55．（1）或
（2）
【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或
（2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
又∵a，b异号，
∴或．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
56．(1)
(2)
【分析】（1）根据a、b、c在数轴上的位置和相反数的意义解答即可；
（2）先判断绝对值里面式子的正负，再化简绝对值，然后合并同类项．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴
∴
．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的意义，化简绝对值，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．
57．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，根据整式加减混合运算的运算顺序和运算法则计算即可．
（1）根据长方形的周长公式进行计算即可；
（2）求出的值，再判断其正负即可．
【详解】（1），
；
（2），
，
因为，
所以，
所以，
所以．
58．(1)8
(2)或
(3)①1；②820
【分析】（1）根据“美好关联数”定义进行求解即可；
（2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
【详解】（1）解：，
故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，
∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，有最小值1；
②由题意可知：，
∵
∴的最小值；
，
∵
的最小值；
同理，，
的最小值；
，
的最小值；
，
的最小值；
∴的最小值：
．
故答案为：1,820
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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