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专题02 解难度较大的方程以及利用方程解决数轴动点问题
类型一：解分子分母中含有小数或分数的方程
类型二：解多括号的方程
类型三：整体思想解方程
类型四：解含绝对值的方程
类型五：利用方程解决数轴动点问题
类型一：解分子分母中含有小数或分数的方程
1．解下列方程：
(1)
(2)
(3)；
(4)
(5)
(6)；
类型二：解多括号的方程
2．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3．当x取何值时，代数式的值比代数式的值小3．
类型三：整体思想解方程
4．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
类型四：解含绝对值的方程
7．解方程：．
8．先看例子，再解类似的题目．
例子：解方程：|x|+1=3．
解法一：当x≥0时，原方程化为x+1=3，解方程，得x=2；当x<0时，原方程化为-x+1=3，解方程，得x=-2．所以方程|x|+1=3的解是x=2或x=-2．
解法二：移项，得|x|=3-1，合并同类项，得|x|=2．由绝对值的意义，知x=±2．所以原方程的解为x=±2．
问题：用上面的两种方法解方程2|x|-3=5．
9．先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：．
10．同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解．
11．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道：，现在我们可以用这一结论来解含有绝对值的方程．例如，解方程时，可令和，分别求得和，（称和分别为和的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①，②，③，从而解方程可分以下三种情况：
①当时，原方程可化为，解得．
②当时，原方程可化为，解得，但不符合，故舍去．
③当时，原方程可化为，解得．
综上所述，方程的解为和．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值．
(2)解方程．
类型五：利用方程解决数轴动点问题
12．数轴上点A与点B之间的距离记为：AB．如图，在数轴上A，B，C三点对应的数分别为，，，已知，，且点A，点B到点C的距离相等，即．
(1)填空：点B对应的数为_______；
(2)若点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N从点B出发，以2个单位/秒的速度向右移动，在点M，N移动的同时点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动，设移动时间为t秒．
①若点P到A的距离是点P到B的距离的两倍，我们就称点P是的“幸福点”．当点P是的“幸福点”时，求此时点P对应的数；
②在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由．
13．已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为，且．
(1) _____， _____， _____；
(2)若在数轴上存在一点M，且，求点M表示的数：
(3)已知点C表示的数为2，现甲从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时乙从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动．当甲到达点C后立即以原速度返回一直向左运动，当乙到达点A后，先休息1秒，再以每秒2个单位长度的速度一直向右运动．问当经过多少秒时，甲、乙相距8个单位长度？
14．如图，数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别为．
(1)直接写出点A，B分别与原点的距离、点A与B的距离；
(2)点A，B同时出发沿数轴正方向匀速运动，点A速度为5个单位长度，点B速度为3个单位长度，当运动时间为时，
①直接写出点A，B在数轴上分别对应的数；
②直接写出点A，B分别与原点的距离、点A与B的距离；
③若A，B两点分别与原点的距离相等，求t的值．
15．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示．
(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
(2)把点C到点A的距离记为，则______．
(3)若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．
16．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数．
(1)求此时刻快车头与慢车头之间相距多少单位长度？
(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头和相距个单位长度．
(3)此时在快车上有一位爱动脑筋的六年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头，的距离和加上到两列火车尾，的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《专题02 解难度较大的方程以及利用方程解决数轴动点问题-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键；
（1）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（3）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（4）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（5）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（6）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】（1）解：
分母化为整数得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
同除以11得：．
（2）解：
去分母得：，
再去分母得：，
去括号得： ，
移项得：，
解得：．
（3）解：，
分母化为整数得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得；
（4）解：
分母化为整数得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（5）解：
分母化为整数得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：；
（6）解：
分母化为整数得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
2．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，是解题的关键．
运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1的方法解答即可．可先从外部去括号，使运算简便，（1），（3），（5）题，可方程两边乘一适当的数，兼顾去分母去括号，（2），（4）题出现了互为倒数，或分母能约尽的情况，用括号外的数直接乘即可．
【详解】（1）解：（1）∵，
∴两边乘2，得，
移项，得，
两边乘3，得，
移项，得，
∴，
系数化为1，得．
（2）∵，
∴去中括号，得，
去小括号，得，
移项，得
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）∵，
两边乘2，得，
去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（4）∵
∴去中括号，得，，
去小括号，得，，
移项，得，
合并同类项，得，
把x的系数化为1，得；
（5）∵，
∴两边乘2，得，
即，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
3．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先列出方程式，然后对方程进行去括号、移项、合并同类项，最后再将x的系数化为1，即可得出x的值．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
所以当时，代数式的值比代数式的值小3．
4．D
【分析】此题考查了一元一次方程的解．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可．
【详解】解：设，方程，即为，
由的解为，
得到，
解得：．
故选：D．
5．D
【分析】直接根据题意得到后将代入即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了代入求值，解题的关键是求出．
6．D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
7．或
【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的性质是解答本题的关键．
分大于与小于两种情况，利用绝对值的代数意义化简，即可求出解．
【详解】解：当，即时，方程化简得：，
解得：；
当，即时，方程化简得：，
解得：．
8．x=±4．
【分析】根据阅读材料来进行含绝对值的一元一次方程的解，需分两种解法来求解.
【详解】解：解法一：当x≥0时，原方程可化为2x-3=5，解得x=4；当x<0时，原方程可化为-2x-3=5，解得x=-4．所以原方程的解为x=±4．
解法二：将原方程移项，得2|x|=5+3，合并同类项，得2|x|=8，方程两边同除以2，得|x|=4，由绝对值的意义，知x=±4．所以原方程的解为x=±4．
【点睛】此题主要考查含绝对值的一元一次方程的解法.
9．或．
【分析】此题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，方程整理后，利用绝对值的代数意义转化为两个一元一次方程，求出解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴或
解得：或．
10．或
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴或，
∴或．
11．(1)的零点值为，的零点值为
(2)和
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握绝对值方程的转化和分情况讨论思想是解题关键．
（1）分别解方程和即可得；
（2）分三种情况：①；②和③，分别化简绝对值，解方程即可得．
【详解】（1）解：令，解得，
令，解得，
所以的零点值为，的零点值为．
（2）解：①当时，原方程可化为，
解得；
②当时，原方程可化为，
解得，不符合，舍去；
③当时，原方程可化为，
解得；
综上所述，方程的解为和．
12．(1)8
(2)①8；②当时，为定值，当时，为定值，理由见解析
【分析】（1）由已知可知是线段的中点，根据中点公式列方程求解；
（2）①根据“幸福点”的定义可得关于的等式，求出，即可得出结论；
②根据“数轴上两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值”，用含的式子表示和，再分类讨论：当、时，分别将和的式子化简，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴是的中点，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）解：移动时间为秒时，点表示的数：，点表示的数为：，点表示的数为：，
①由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，
此时：对应的数为；
②当时，为定值，当时，为定值；
理由如下：
当、相遇时，，解得：．
当时：，它是定值；
，它不是定值；
当时：，它不是定值；
，它是定值．
综上所述，当时，为定值，当时，为定值．
13．(1)；14；24
(2)点M表示的数为8或26
(3)当或8或10或时，甲、乙相距8个单位长度
【分析】（1）先根据非负数的性质求出，，再根据数轴上两点间的距离表示方法求解即可；
（2）根据绝对值的意义求解即可；
（3）设经过t秒时，甲、乙相距8个单位长度，分五种情况进行讨论：乙到达A点前，甲、乙相遇前，乙到达A点前，甲、乙相遇后，乙到达A点后，甲到达点C前，当乙到达A点后，甲到达C点后，甲、乙相遇前，甲、乙间距离不可能为8；当乙到达A点后，甲到达C点后，甲、乙相遇后，分别列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∴；
（2）解：设点M表示的数为m，
当点M在线段上时，，
解得：；
当点M在线段延长线上时，，
解得：；
综上分析可知：点M表示的数为8或26．
（3）解：，，
∴甲到达C所用的时间为12秒，乙到达C点所用时间为秒，乙到达A点所用时间为：秒，
设经过t秒时，甲、乙相距8个单位长度，
乙到达A点前，甲、乙相遇前，，
解得：；
乙到达A点前，甲、乙相遇后，，
解得：；
乙到达A点后，甲到达点C前，
解得：；
当乙到达A点后，甲到达C点后，甲、乙相遇前，甲、乙间距离不可能为8；
当乙到达A点后，甲到达C点后，甲、乙相遇后，
，
解得：；
综上分析可知：当或8或10或时，甲、乙相距8个单位长度．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，用数轴上点表示有理数，绝对值的非负数和二次方的非负性，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论．
14．(1)点A与原点的距离为50，点B与原点的距离为40，点A与点B的距离为10
(2)①点A表示的数为，点B表示的数为；②点A与原点的距离为，点B与原点的距离为，点A与点B的距离为；③或
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用：
（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（2）①分别用点A，点B原来表示的数加上各自运动的路程即可得到其表示的数；②根据数轴上两点距离计算公式求解即可；③根据（2）②所求可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别为，
∴，，
∴点A与原点的距离为50，点B与原点的距离为40，点A与点B的距离为10；
（2）解：①由题意得，点A表示的数为，点B表示的数为；
②∵点A表示的数为，点B表示的数为，
∴，，
∴点A与原点的距离为，点B与原点的距离为，点A与点B的距离为；
③由题意得，，
∴或，
解得或．
15．(1)见解析
(2)
(3)的值不会随着t的变化而变化，
【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离公式，整式的加减运算：
（1）根据点在数轴上的移动规则：左减右加，求出A，B，C三点所表示的数，进而在数轴上进行表示即可；
（2）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（3）求出的距离，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为，点C对应的数为，
点A，B，C在数轴上表示如图：
（2）．
（3）的值不会随着t的变化而变化，．
由题意：，，
∵移动t秒后，，
，
∴．
∴的值不会随着t的变化而变化，．
16．(1)单位长度
(2)秒或秒
(3)正确，这个时间是秒，定值是个单位长度
【分析】（1）根据非负数的性质求出，，求差即可求解；
（2）根据时间＝路程和÷速度和，设行驶秒钟两列火车行驶到车头和相距单位长度，列方程即可求解；
（3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解．
【详解】（1）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得：，，
∴此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度）；
答：此时快车头与慢车头之间相距单位长度；
（2）设行驶秒钟两列火车行驶到车头和相距个单位长度，
两车相遇前可列方程为
，
解得，；
两车相遇后可列方程为
，
解得，；
答：再行驶秒或秒，两列火车行驶到车头和相距个单位长度；
（3）正确．理由如下：
∵六年级学生乘客在快车上，
∴，
当在之间时，是定值，即路程为，
∴行驶时间：（秒），
此时（单位长度），
∴这个时间是秒，定值是个单位长度．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴、绝对值和偶次方的非负性，数轴上两点之间的距离，熟练掌握行程问题的等量关系：时间＝路程÷速度，本题难度较大．方程思想和数形结合思想的应用是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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