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专题02 规律探索
类型一：探索式子的变化规律
类型二：探索图形的变化规律
类型三：探索数表中的规律
类型一：探索式子的变化规律
1．探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A． B． C． D．
2．探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（ ）
A． B． C． D．
3．给出一列式子x2y，，，， ，观察上式的规律，这一列式子中的第8个式子是 ．
4．观察下列单项式：，，，，，…，根据这个规律，第10个式子应为 ．
5．观察多项式：，，，，…，根据规律，第6个多项式为（ ）
A． B． C． D．
6．观察下列算式：
； ；
； ； ……
若字母n表示正整数，请把第n个等式用含n的式子表示出来： ．
7．代数推理
……
试探究两位数的（即个位数字是5十位数字是a的两位数）平方的一般规律，
8．（本题8分）先阅读下面文字，然后按要求解题．
例：1＋2＋3＋…＋100＝？如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果．
解:1＋2＋3＋…＋100
＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）
＝101×　 　
＝　 　．
（1）在上面横线上补全例题解题过程；
（2）计算a＋（a＋b）＋（a＋2b）＋（a＋3b）＋…＋（a＋99b）．
9．定义一种新运算：1☆3＝1×2＋3＝5，3☆(－1)＝3×2－1＝5，5☆4＝5×2＋4＝14，4☆(－2)＝4×2－2＝6．
（1）观察上面各式，用字母表示上面的规律：a☆b＝ ；
（2）若a≠b，则a☆b b☆a(填“＝”或“≠”)；
（3）若(3a)☆(－2b)＝－6，则3a－b＝ ，并求(3a－2b)☆(3a＋b)的值．
10．阅读下面的文字，完成后面问题．
我们知道：，，．
(1)那么______，______，用含有的式子表示你发现的规律：______；
(2)并依此计算：．
11．观察下列各式：，，，
(1)个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律
(2)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（且n为整数），请你借助代数式解释（1）中的规律．
(3)如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算，要求写清计算过程及结果．
类型二：探索图形的变化规律
12．用小棒按下面的规律拼摆八边形．
萌萌、亮亮、乐乐、欢欢通过观察图形，找出了拼摆成的八边形的数量n和需要小棒的数量a之间的关系．下面说法正确的是（ ）．
A．萌萌： B．亮亮：
C．乐乐： D．欢欢：
13．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“ ”的个数是 （用含n的代数式表示）

14．观察如图并填表单位：：
梯形个数
图形周长

15．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为，第二个图形表示的三角形数记为，……，则第 个图形表示的三角形数是210．
16．下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，……按此规律排列下去．第⑩个图形中的颗数为 ．
17．用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第12个图案中共有小三角形的个数是 ．
18．如图是一组有规律的图案，它是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．
19．下列图形由正六边形、正方形和等边三角形组成，自左向右，第1个图中有6个等边三角形；第2个图中有10个等边三角形；第3个图中有14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中等边三角形的个数为 个．
20．如图所示，把同样大小的黑色棋子按照规律摆放在正方形的边上，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
21．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列．
圆环串中圆环的个数
实心圆圈和空心圆圈的总个数
(1)把表格补充完整：
(2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)；
(3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个 有多少个空心圆圈
22．综合与实践
【观察思考】某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．
【规律总结】
（1）从第一块地砖开始往后，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加_______块，三角形地砖会增加_______块；
（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为_______块，三角形地砖的数量为_______块（用含a的代数式表示）；
【问题解决】
（3）为了增加道路的趣味性，计划将所有的正方形地砖换成创意地砖，已知每块正方形地砖的边长为，若铺设这条小路共用去a块地砖，求创意地砖的面积为多少？若，且每平方米创意地砖的成本为26元，则需要多少钱（精确到个位）？
类型三：探索数表中的规律
23．根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A．100 B．121 C．144 D．169
24．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
25．如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为 ．
26．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
27．将9个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角上的三个数的和相等，如表一：按此规律将满足条件的另外6个数填入表二，则表二中这9个数的和为 （用含的整式表示）．
4 9 2
3 5 7
8 1 6
28．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　）
A．左上角的数字为
B．左下角的数字为
C．右下角的数字为
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
29．在日历上，某些数据满足一定的规律，如图是2024年1月份的日历，任选其中所含4个数字的方框部分，设方框右上角的数字为m，则下列说法正确的是（ ）
A．方框左上角的数字为 B．方框左下角的数字为
C．方框右下角的数字为 D．方框中4个数字相加，和是
30．如图，表中的数据是按一定规律排列的，从中任意框出五个数字，若a，b，c，d，e表示框出的五个数字，请你用含a的式子表示a，b，c，d，e这五个数字的和为 ．
31．如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
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《专题02 规律探索（3类题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．C
【分析】本题考查了单项式规律题，根据已知的式子可以得到系数的绝对值为，奇数个为正，偶数个为负，x的指数是式子的序号．
【详解】解：根据题中的规律得出第9个单项式是
故选：C．
2．C
【分析】根据系数与字母的指数规律即可求解．
【详解】解：观察系数可以发现后一项是前一项的倍，观察字母的指数可以发现为依次加1，
因此第8个单项式的系数为，字母部分为，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的规律题，解题关键是发现变化规律．
3．
【分析】根据已知的式子可以得到x的次数是序号的2倍，y的次数是式子的序号，系数是，据此即可求解．
【详解】解：观察所给式子可得：x的次数是序号的2倍，y的次数是式子的序号，系数是，
∴第n 个式子是，
∴第8个式子是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式规律探索，解题的关键是根据所给代数式，得出相应的系数和次数的变化规律，进而得出一般性式子．
4．
【分析】本题考查数字规律问题，系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化，所以按这个规律即可写出第10个式子，需要注意观察数字的变化规律．
【详解】解：系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化，
第10个式子应为，
故答案为：．
5．B
【分析】由前面四个多项式的特点从两个方面分析，各项系数与指数，各项符号，再归纳特点可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
…，
∴第6个多项式为，
故选B．
【点睛】本题考查的是多项式的规律问题，掌握探究的方法，再总结规律，运用规律解决问题是解本题的关键．
6．
【分析】观察式子即可得出结论．
【详解】解：观察式子可发现，
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型，观察式子得到规律是解题的关键．
7．
【分析】此题考查了数字类规律，根据已知代数推理即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
……
则两位数的（即个位数字是5十位数字是a的两位数）平方的一般规律，，
故答案为：
8．（1）50、5050；（2）100a+4950b
【详解】试题分析：观察发现，计算的规律是把第一个数字与最后一个数字相加，然后乘以项数再除以2即可
试题解析：（1）50，5050；
（2）原式＝50（2a＋99b）
＝100a＋4950b．
考点：1．合并同类项；2．找规律；3．等差数列求和．
9．（1）2a＋b；（2）≠；（3） 3； 9
【分析】（1）根据已知的等式归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）利用题中的新定义计算得到结果，判断即可；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出值．
【详解】解：（1）根据题意得：a☆b＝2a＋b；
（2）根据题中的新定义得：a☆b＝2a＋b，b☆a＝2b＋a，
则a☆b≠b☆a；
（3）已知等式整理得：6a 2b＝ 6，
即3a b＝ 3；
原式＝2（3a 2b）＋3a＋b＝6a 4b＋3a＋b＝9a 3b＝3（3a b）＝ 9．
故答案为：（1）2a＋b；（2）≠；（3） 3； 9．
【点睛】此题考查了整式的加减 化简求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．(1)，，；
(2)．
【分析】本题考查了列代数式，数字类规律探索，解题的关键是根据式子的规律进行简便的计算．
（1）根据式子的规律直接写出答案；
（2）每个算式变成相减的形式后，结果的分子是，所以用所有的式子去乘，便能找到规律进行计算．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：，，．
（2）解：
．
11．(1)末尾的两个数都是25
(2)
(3)计算过程见解析，结果
【分析】（1）观察各式，找到规律，即可求解，
（2）根据题意得到两位数为：，将用完全平方式展开，即可求解，
（3）根据（2）得到的公式代入，即可求解，
本题考查了，数字规律探索，完全平方式，解题的关键是：用代数式表示出数字的规律．
【详解】（1）解：个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是，
（2）解：这个两位数是：，
∵，
∴个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是，
（3）解：，
故答案为：．
12．B
【分析】本题考查了规律型．根据给定的拼摆规律，可知第1个八边形需要八个小棒，后面每增加一个八边形需要七根小棒，进一步可得拼摆成个八边形需要小棒的数量．
【详解】解：摆成1个八边形需要小棒的数量，
摆成2个八边形需要小棒的数量，
摆成3个八边形需要小棒的数量，
摆成4个八边形需要小棒的数量，
，
摆成个八边形需要小棒的数量，
故选：B．
13．
【分析】根据题意可知：第1个图有4个“六边形”，第2个共有7个“六边形”，第3个共有10个“六边形”，第4个共有13个“六边形”，由此可得出规律，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图有“六边形”的个数为：4，
第2个图有“六边形”的个数为：，
第3个图有“六边形”的个数为：，
第4个图有“六边形”的个数为：，
..，
∴第n个图有“六边形”的个数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是熟练正确找出图中的规律．
14．
【分析】观察图形得到规律：每增加一个等腰梯形，其边长增加，可以解答．
【详解】解：观察图形发现，每增加一个等腰梯形，其边长增加，则：
梯形个数
图形周长
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是发现图形变化的规律．
15．20
【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为；第3个图形表示的三角形数为；，据此类推即可解答，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．
【详解】解：第1个图形表示的三角形数为1，
第2个图形表示的三角形数为，
第3个图形表示的三角形数为，
第4个图形表示的三角形数为，
，
以此类推可得，第个图形表示的三角形数为，
第个图形表示的三角形数是210．
故答案为：20．
16．175
【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案．
【详解】第①个图形中的颗数；
第②个图形中的颗数；
第③个图形中的颗数；
第④个图形中的颗数；
……
∴第n个图形中的颗数
∴当时，，
∴第⑩个图形中的颗数为颗，
故答案为：
【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键．
17．35
【分析】此题考查图形的变化规律，观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图案基础上有规律地增加小三角形数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多3个的小三角形数，从而解决该题，解决本题的关键是找出图形之间的运算规律．
【详解】解：当时，第1个图案的小三角形的个数是（个）．
当时，第2个图案的小三角形的个数是（个）．
当时，第3个图案的小三角形的个数是（个）．
当时，第4个图案的小三角形的个数是（个）．
以此类推，第个图案的小三角形的个数是；
第12个图案中共有小三角形的个数是（个），
故答案为：35．
18．##
【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察不难发现，后一个图案比前一个图案多2个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可，观察出“后一个图案比前一个图案多2个基础图形”是解题的关键．
【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
，
第个图案涂有阴影的小正方形的个数为．
故答案为：．
19．4n+2
【分析】根据题中等边三角形的个数找出规律，进而得到结论．
【详解】解：∵第1个图由6=4+2个等边三角形组成，
∵第二个图由10=4×2+2等边三角形组成，
∵第三个图由14=3×4+2个等边三角形组成，
∴第n个等边三角形的个数之和4n+2．
故答案为：4n+2．
【点睛】本题考查的是图形规律的变化类题目，根据图形找出规律是解答此题的关键．
20．5n+3
【分析】仔细观察图形得到变化规律为每增加一个正方形黑色棋子增加5个，据此解答即可．
【详解】第一个图形有3+5×1=8个棋子，第二个图形有3+5×2=13个棋子，第三个图形有3+5×3=18个棋子，…
第n个图形有3+5n个棋子．
故答案为5n+3．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到规律．
21．(1)表格补充完整见解析；
(2)；
(3)实心圆圈和空心圆圈的总数有个，空心圆圈有个．
【分析】（）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可；
（）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可；
（）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个，由（）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数；
本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键．
【详解】（1）解：表格补充完整如下：
圆环串中圆环的个数
实心圆圈和空心圆圈的总个数
（2）解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，
∴当圆环串由个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个，
故答案为：；
（3）解：当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个，
∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个，
∴空心圆圈有个．
22．（1）5；4；
（2）；
（3）需要2097元．
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，列代数式和代数式求值：
（1）根据所给的图形数出多一个正六边形地砖多的正方形和三角形个数即可；
（2）根据（1）的结论，结合第一块地砖中正方形和三角形的个数进行求解即可；
（3）先求出1个正方形的面积，进而求出所有正方形的面积，再乘以每平方米的单价即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，从第一块地砖开始往后，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，
故答案为：5；4；
（2）由题意得，若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为块，三角形地砖的数量为块；
故答案为：；；
（3）由（2）可知，若铺设这条小路共用去块六边形地砖，则正方形地砖的数量为块，
∵，
∴每块正方形地砖的面积为，
∴创意地砖的面积为，
当时，创意地砖的面积为，
∴需要（元．
答：需要2097元．
23．B
【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【详解】解：根据图中数据可知：
则，，
∵第个图中的，
∴，
解得：或(不符合题意，舍去)
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．
24．B
【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
25．119
【分析】观察序号与网格中上面最左边的数字的关系，第二个数字与序号的关系，左下角的数字与序号的关系，右下角数字与上面所说三个数字的关系，确定好计算即可
【详解】根据题意，得网格中上面最左边的数字等于序号，第二个数字与序号+1，左下角的数字与序号+2，右下角数字等于对角线上的数字积加上序号，
∴第n个网格中，右下角的数字=（n+1）（n+2）+n，
当n=9时，（n+1）（n+2）+n=10×11+9=119，
故答案为：119．
【点睛】本题考查了数字中规律，仔细思考各数字与序号的关系是解题的关键．
26．C
【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
27．9a+9
【分析】由表一可知九个数的和为中间数×9,由此得出表二的和即可.
【详解】由表一规律可得,九个数的和为中间数×9,所以表二的和为9×(a+1)=9a+9.
故答案为: 9a+9.
【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于理解题意找出规律.
28．D
【分析】此题考查了列代数式和整式加减法的应用，根据题意，可以用含a的代数式表示出各个位置上的数字，然后即可判断A、B、C，再将四个数相加，即可判断D．
【详解】解：由图可得，
右上角的数为a，则左上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，故选项A、B、C均不符合题意，
，
∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
29．D
【分析】此题考查了列代数式和整式的加减运算，弄清日历结构是解答本题的关键．根据右上角的数字为a，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，由此可作判断．
【详解】解：A、左上角的数字为，故不正确；
B、左下角的数字为，故不正确；
C、右下角的数字为，故不正确；
D、方框中4个位置的数相加，正确．
故选：D．
30．
【分析】观察5个数之间的大小关系，可以看出同一行数相邻的两个数相差1，每一列相邻的两个数相差8，由此用含a的代数式表示其他四个字母了，求得任意框出的五个数字的和即可．
【详解】解：a+b+c+d+e
＝a+a+7+a+8+a+9+a+16
＝5a+40．
故答案为：5a+40．
【点睛】此题考查列代数式，找出数字在表格中的排列规律是解决问题的关键．
31．C
【分析】从图表中找出规律，并根据规律计算求解．
【详解】解：由表1可知，第x行，第y列的数为xy，（x，y均为正整数），
由表2可知，第一列数依次为12=3×4,15=3×5，则a在第3行第6列，即a=3×6=18，
由表3可知，在第m行第m列，则上一行的数b在第（m-1）行第m列，所以，
由表4可知，设18在第x行第y列，则18=xy，35在第（x+2）行第（y+1）列，则，x，y均为整数，则x=3，y=6，c在第（x+1）行，第（y+1）列，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查探索与表达规律．规律就在表一中，所以学生平时要锻炼自己的总结能力，及逻辑能力．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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