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第03讲 解一元一次方程——移项、合并同类项
课程标准 学习目标
①解一元一次方程：系数化为1②解一元一次方程：合并同类项 ③解一元一次方程：移项 ④列一元一次方程解决和差倍分问题 1．掌握解方程中的移项、合并同类项以及系数化为1，并能够在解方程时熟练的进行应用． 2．掌握和差倍分之间的关系，并能够熟练的列出一元一次方程来解决实际问题．
知识点01 解一元一次方程——系数化为1
1．解一元一次方程：系数化为1：
对于形如（a≠0，a，b是常数）的一元一次方程，两边同时除以___系数________，从而得到方程的解为___________，叫系数化为1．
【即学即练1】
1．方程4x＝-2的解是（　　）．
A．x＝-2 B．x＝2 C．x＝- D．x＝
知识点02 解一元一次方程——合并同类项
1．解一元一次方程：合并同类项：
解一元一次方程时，将等号两边函数未知数的项和常数项分别合并成一项的过程叫做合并同类项．然后在系数为1解方程．
【即学即练1】
2．利用合并同类项的法则解下列方程：
(1)；
(2)．
知识点03 解一元一次方程——移项
1．解一元一次方程：移项：
把等式一边的某一项移到等式另一边的过程叫做移项．其依据为等式的_____性质1______，在解方程时，通常把含有未知数的项移到等式的___左边________，常数项移到等式的___右边________，然后利用合并同类项与系数化为1解方程．注意，移动过的项一定要__变号_________．
【即学即练1】
3．用移项的方法解方程并写出检验过程：
(1)
(2)．
知识点04 列一元一次方程解决和差倍分问题
1．列一元一次方程解决和差倍分问题的基本题型：
题型1：总量=各部分量之和．
题型2：表示同一个量的不同表达式相等．
【即学即练1】
4．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
5．在一张日历表中，任意图出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（ ）
A．38 B．40 C．51 D．62
题型01 合并同类项解一元一次方程
【典例1】
6．用合并同类项的方法解方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】
7．利用合并同类项解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2】
8．用合并同类项的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型02 移项解一元一次方程
【典例1】
9．请在括号内填写解方程每一步变形的依据：
解方程．
解：移项，得．（　　）
合并同类项，得．
两边都除以，得．（　　）
【变式1】
10．解答题
分析下列解方程产生错误的原因，并改正．
(1)解方程：．
【解】移项，得，则．
错误：___________．
原因：___________．
正解：___________．
(2)解方程：．
【解】移项，得，所以，解得．
错误：___________．
原因：___________．
正解：___________．
【变式2】
11．通过移项，解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3】
12．利用移项与合并同类项解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型03 列一元一次方程解决和差倍分问题
【典例1】
13．甲厂的年产值为万元，比乙厂的年产值的5倍还多万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】
14．x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ．
【变式2】
15．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（ ）
0
1
A．1 B．9 C．5 D．4
【变式3】
16．李老师买了3个篮球和1个足球，一共花了元，已知1个足球是元，每个篮球多少元？（列方程解答）
【变式4】
17．小伍和爸爸周末去公园游船，购买两张游船票花了元．小伍按半价（游船票原价的一半）购买了儿童票，爸爸按游船票原价购买，一张游船票原价多少元？
【变式5】
18．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住只鸽子，则剩余只鸽子无鸽笼可住，如果再飞来只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住只鸽子．求原有多少个鸽笼？
19．方程的解是（　　）
A． B． C． D．
20．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
21．一元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
22．方程移项后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．下列解方程的步骤正确的是（　　）
A．由，得 B．由得
C．由得 D．由，得
24．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
25．某同学解方程时，把的系数看错了，解得，他把的系数看成了（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
26．代数式与的值互为相反数，则等于（　　）
A． B．3 C． D．1
27．定义“”运算为“”，若，则x等于（　　）
A．1 B．2 C． D．
28．已知为任意有理数，下列说法正确的有（ ）
①关于的方程可能是一元一次方程；
②关于的方程的解为；
③当互为相反数时，关于的方程的解是．
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
29．若关于的方程的解是，则代数式的值为 ．
30．若关于x的方程是一元一次方程，则这个方程的解是 ．
31．学校号召七年级学生秋季植树，如果每人种棵，则剩下棵树苗未种；如果每人种棵，则缺棵树苗，则参与植树的七年级学生有 人．
32．定义符号“*”表示的运算法则为，若，则 ．
33．解方程：，则 ．
34．阅读下面解方程的过程回答问题．
解方程：．
解：移项，得．（A）
合并同类项，得．（B）
系数化为1，． （C）
(1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________；
(2)错误的原因：___________；
(3)请写出正确的解题过程．
35．已知关于的方程是一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若此方程的解与方程的解互为倒数，求的值．
36．塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万，已成为目前世界上最大的人工林场；又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17万，请问该林场原来的林木总蓄积是多少万？
37．定义一种新运算“ ”：a b=a﹣2b，比如3 （﹣2）=3﹣2×（﹣2）=3﹣（﹣4）=3+4=7
（1）求（﹣2） 3的值．
（2）若（x﹣3） （x+1）=﹣1，求x的值．
38．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________；
(2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值；
(3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值．
试卷第1页，共3页
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《第03讲 解一元一次方程-移项、合并同类项（4个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．C
【分析】方程x系数化为1，即可求出答案．
【详解】方程4x＝-2
解得：x＝-．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一元一次方程的求解方法，从而得到答案．
2．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
（1）利用合并同类项的步骤解方程即可；
（2）利用合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
（1）通过移项、合并同类项、化系数为1，求 出 ，再检验即可；
（2）通过移项、合并同类项、化系数为1，求 出 ，再检验即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
把代入方程左边得：；右边，
左边右边，即是方程的解；
（2）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
把代入方程左边得：；右边，
左边右边，即是方程的解．
4．D
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系，列出方程求解．
设买羊的人数为x人，根据羊的价格不变，列出方程即可．
【详解】解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为，
故选：D．
5．C
【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可．
【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数．
A、，不能整除，不符合要求；
B、，不能整除，不符合要求；
C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点；
D、，不能整除，不符合要求；
故选：C．
6．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．
（1）合并同类项，再系数化成1；
（2）合并同类项，系数化成1；
（3）合并同类项，系数化成1；
（4）合并同类项，系数化成1；
【详解】（1）解：
合并同类项，得；
（2）解：，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（4）
合并同类项，得，
系数化为1，得．
7．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键．
（1）合并同类项、化系数为即可求解．
（2）合并同类项、化系数为即可求解．
（3）合并同类项、化系数为即可求解．
（4）合并同类项、化系数为即可求解．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
；
（4）解：，
；
8．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法．解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
（1）首先合并同类项可得，再把系数化为可得；
（2）首先合并同类项可得，再把系数化为可得；
（3）首先合并同类项可得，再把系数化为可得；
（4）首先合并同类项可得，再把系数化为可得．
【详解】（1）解：，
合并同类项：，
系数化为得：；
（2）解：
合并同类项得:，
系数化为得：；
（3）解：，
合并同类项得：，
系数化为得：；
（4）解：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
9．等式的基本性质；等式的基本性质
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握等式的基本性质．根据移项的依据是“等式的基本性质”，未知数的系数化为的依据是“等式的基本性质”即可得出答案．
【详解】解：，
移项，得，（等式的基本性质）
合并同类项，得，
两边都除以，得，（等式的基本性质）
故答案为：等式的基本性质；等式的基本性质．
10．(1)移项这一步，移项的时候没有变号，2
(2)移项时常数项变成6，解方程的步骤是移项，不是去分母，
【分析】本题考查一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
（1）解方程移项时，要把未知数移到等号的左边，已知数移到等号的右边，移项要变号；
（2）根据等式的性质，把未知数移到等号的左边，等号右边的数字不变，据此分析解答．
【详解】（1）解：移项，得，则．
错在：移项这一步．
原因：移项的时候没有变号．
正解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：移项，得，所以，解得．
错在：移项时常数项变成6．
原因：解方程的步骤是移项，不是去分母．
正解：解，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
11．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一元一次方程的求解，注意计算的准确性即可.
（1）移项合并同类项，把x系数化为1即可求出解．
（2）移项合并同类项，把x系数化为1即可求出解．
（3）移项合并同类项，把x系数化为1即可求出解．
（4）移项合并同类项，把x系数化为1即可求出解．
【详解】（1）解：移项，得，
合并同类项，得；
（2）解：移项，得，
合并同类项，得；
（3）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（4）解：移项，得
合并同类项，得．
12．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
（1）通过移项、合并同类项、系数化1计算即可；
（2）通过移项、合并同类项、系数化1计算即可；
（3）通过移项、合并同类项、系数化1计算即可；
（4）通过移项、合并同类项、系数化1计算即可．
【详解】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）解：，
移项得：，
合并同类项得：；
（3）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（4）解得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
13．C
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据甲厂的年产值为万元，比乙厂的年产值的5倍还多万元，可以列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
14．
【分析】本题考查了列一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据x与6的和的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：依题意得，，
故答案为：．
15．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．根据“三阶幻方”的知识分别列出关于的一元一次方程并求解，然后代入求值即可．
【详解】解：根据题意，可得，
解得，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
16．元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每个篮球x元，利用总价=单价×数量，结合“李老师买了3个篮球和1个足球，一共花了元”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设每个篮球x元，
根据题意得：，
解得：
答：每个篮球元．
17．元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设一张游船票原价为元，根据“两张游船票花了75元”列出方程，然后进行计算即可解答．
【详解】解：设一张游船票原价为元，
由题意得：，
解得：，
答：一张游船票原价是元．
18．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设原有个鸽笼，则原有鸽子只，根据“如果再飞来只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住只鸽子”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设原有个鸽笼，则原有鸽子只，
根据题意得：，
解得：，
答：原有个鸽笼．
19．A
【分析】本题考查了一元一次方程的解法．首先把方程两边同时乘以未知数的系数的倒数，可以得到，经过计算可以求出．
【详解】解：方程，
方程两边同时乘以可得：
解得：．
故选：A．
20．B
【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选：．
21．B
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：移项，得：，
解得：，
故选B．
22．B
【分析】本题考查解一元一次方程－移项．把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项．
【详解】解：根据移项的规则得：，
故选：B．
23．D
【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，进行判断即可．
【详解】解：A、由，得；故选项错误；
B、由得，故选项错误；
C、由得，故选项错误；
D、由，得，故选项正确；
故选D．
24．A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据竿的数量一定，列出方程即可．
【详解】解：设有牧童人，由题意，得：；
故选A．
25．A
【分析】把代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】把代入方程得：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，设出未知数，把代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
26．B
【分析】根据互为相反数的两个数和为0列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，解一元一次方程，能根据相反数的定义列出方程是解题关键．
27．A
【分析】先根据新定义的运算法则，将化简为关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法．弄懂新定义“”的运算法则是解题的关键．
28．A
【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键．
根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解．
【详解】解：①当时，方程是一元一次方程，故原说法正确；
②当时，方程的解为，故原说法错误；
③当互为相反数，则，
∴，
∴方程变形为，
∴，故原说法正确；
综上所述，正确的有①③，
故选：．
29．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，根据方程的解，即可求出，即可求出代数式的值．
【详解】解：是方程的解，
，
即，
．
故答案为：．
30．或
【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及解一元一次方程，掌握一元一次方程的定义是含有一个未知数并且未知数的指数为1的整式方程是解题关键，根据一元一次方程的定义，求出的取值，再分别代入解方程即可．
【详解】解：是一元一次方程，
，，
或，
当时，，解得：；
当时，，解得：
这个方程的解是或，
故答案为：或．
31．
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，由种树的总棵数不变列出方程是解决问题的关键．设参与植树的七年级学生有人，根据题意由树的总棵数不变，可得出等式方程从而求出答案．
【详解】解：设参与植树的七年级学生有人，
依题意，得：，
解得：，
答：参与植树的七年级学生有人．
故答案为：．
32．
【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是根据新定义正确列出方程，并熟练掌握运用解一元一次方程的步骤．根据题意可得：，然后解一元一次方即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1，得：
故答案为：．
33．
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据方程左边式子特点，先提取原方程变形为：，再把括号里变形为：，再提取，去小括号，整理得，根据解一元一次方程的方法求解即可．
【详解】解：，
提取，得，
即，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
34．(1)A，C
(2)步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了
(3)见解析
【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键．
首先观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误，即可解答（1），（2）；然后根据移项，合并同类项，系数化为1的过程解答（3）即可．
【详解】（1）解：观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误，
故答案为：A，C．
（2）解：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了；
故答案为：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了．
（3）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
35．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，倒数的性质．
（1）根据一元一次方程的定义， 得出，且，即可求解；
（2）求出的解为，则已知方程的解为，将代入即可求出n的值．
【详解】（1）解：因为是一元一次方程．
所以，且，
所以；
（2）解：由（1）知．
所以已知方程为
解方程，
得．
因为已知方程与方程的解互为倒数，
所以方程为的解为．
代入得，
解得．
36．33万
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握终止量与起始量和增加量的关系，是解题的关键．
设该林场原来的林木总蓄积是x万，则现在该林场的林木总蓄积是万，根据现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该林场原来的林木总蓄积是x万，则现在该林场的林木总蓄积是万，
根据题意得：，
解得：．
答：该林场原来的林木总蓄积是33万．
37．（1）-8；（2）x=﹣4．
【分析】（1）根据所给的新定义运算的运算法则计算即可；（2）根据新定义运算的运算法则可得方程x﹣3﹣2（x+1）=﹣1，解方程即可求解.
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式=（﹣2）﹣2×3=﹣8；
（2）已知等式变形得：x﹣3﹣2（x+1）=﹣1，
去括号得：x﹣3﹣2x﹣2=﹣1，
移项合并得：﹣x=4，
解得：x=﹣4．
【点睛】本题考查了新定义运算及一元一次方程的解法，利用新定义运算的运算法则得到方程x﹣3﹣2（x+1）=﹣1是解决第（2）问的关键.
38．(1)2
(2)，
(3)b的值为5或
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键．
（1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值；
（2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可；
（3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”，
∴；
故答案为：2；
（2）由题意，得：，，
∴，；
（3）∵，
∴，
∵的“伴生方程”是，
解得：，
∵均为整数，
∴．
答案第1页，共2页
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