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第01讲 立体图形与平面图形
课程标准 学习目标
①几何研究的内容与对象②认识立体图形 ③认识平面图形 1．掌握立体图形的概念．并能够熟练的判断立体图形及其形状以及能够熟练判断出立体图形的面，棱，顶点的熟练． 3．掌握平面图形的概念，并能够熟练的判断立体图形．
知识点01 几何研究的内容及对象
1．几何研究的内容：
物体的 形状 、 大小 以及 位置关系 是几何中研究的内容。
2．几何研究的对象：
几何图形是几何研究的主要对象之一、
3．几何图形的概念：
从实物中抽象出的各种图形叫 几何图形 。几何图形分为 立体图形 和 平面图形 。
知识点02 认识立体图形
1．立体图形的概念：
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是 立体图形 。
2．常见的立体图形及其构成：
①柱体：分为 圆柱体 和 棱柱体 。
②椎体：分为 圆锥体 和 棱锥体 。
③台体：分为 圆台 和 棱台 。
④球体：一个曲面组成．
【即学即练1】
1．下面几种图形：①三角形，②长方形，③立方体，④圆，⑤圆锥，⑥圆柱．其中属于立体图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练2】
2．下列几何体中，属于棱锥的是（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练3】
3．下列实物图中，能抽象出圆柱体的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】
4．对于如图所示的几何体，说法正确的是（ ）

A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱
C．几何体的侧面是三角形 D．几何体的底面是三角形
知识点03 认识平面图形
1．平面图形的概念：
一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在 同一个平面内 ，则这样的图形叫做平面图形。
【即学即练1】
5．下面几种图形中，平面图形的个数有（　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练2】
6．如图所示的是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有（　　）
A．三角形、长方形
B．三角形、正方形、长方形
C．三角形、长方形、梯形
D．正方形、长方形、梯形
题型01 立体图形的认识与判断
【典例1】
7．下列图形中，不属于立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
8．下列几何体中，属于棱柱的有 （填序号）．
【变式2】
9．与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （ ）
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体
B．棱锥、圆锥、棱柱、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱
D．圆柱、球、正方体、长方体
【变式3】
10．下列四个几何体中，是四棱锥的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 平面图形的认识与判断
【典例1】
11．下面几种几何图形中，属于平面图形的是( )
①三角形 ②长方形 ③正方体 ④圆 ⑤四棱锥 ⑥圆柱
A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥
【变式1】
12．下列各组图形中都是平面图形的是（　　）
A．三角形、圆、球、圆锥 B．点、线段、棱锥、棱柱
C．角、三角形、正方形、圆 D．点、角、线段、长方体
【变式2】
13．如图，这是交通禁止驶入标识，组成这个标识的平面图形有（ ）
A．圆、长方形 B．圆、直线 C．球、长方形 D．球、线段
【变式3】
14．图是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有(　　)
A．三角形、长方形
B．三角形、长方形、正方形
C．三角形、长方形、正方形、梯形
D．长方形、正方形、梯形
题型03 柱体的顶点、棱以及面
【典例1】
15．一个棱柱有18条棱，则这个棱柱共有 个面．
【变式1】
16．一个棱柱有10个顶点，则这个棱柱有 个面．
【变式2】
17．若一个棱柱有12个顶点，且所有侧棱长的和为30cm，则每条侧棱长为 cm．
【变式3】
18．若一个长方体所有棱长的和等于72，则从一个顶点出发的三条棱长相加的和为 ．
19．下列四个几何体中，是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
20．如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（ ）
A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球
21．下列各组图形都是平面图形的一组是（ ）
A．线段、圆、球 B．角、长方形、圆柱
C．长方体、棱锥 D．三角形、正方形
22．六棱柱有（ ）条棱
A．6 B．12 C．18 D．36
23．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面．
A．6 B．7 C．8 D．9
24．估算直径为60厘米的圆，在生活中可能是（ ）
A．一元硬币的面 B．井盖的面 C．杯盖的面 D．蒙古包占地的面
25．在下列图形中，是平面上曲线图形的有（　　）个
①三角形②正方形③长方形④圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
26．异形手提盒包装设计因其结构造型独特，具有丰富的艺术性和实用性．将如图所示的手提盒主体的形状抽象成几何体正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．长方体作为直棱柱，不具有以下（ ）特征
A．六个面都是长方形 B．相对面形状大小相同
C．侧棱等长且垂直底面 D．底面可能是五边形
28．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
29．一个棱柱有10个面，那么它有 个顶点，有 条棱．
30．若一个棱柱有7个面，每条侧棱长，则该棱柱所有侧棱长之和是 ．
31．若一个棱柱有个顶点，且每条侧棱长为，则所有侧棱长的和为 ．
32．下图中，长方形有 个．

33．用圆规画一个周长是厘米的圆，圆规两脚之间的距离是 ，画出圆的面积是 ．（取）
34．一个长方体纸盒的长是a，宽是b ，高是c．
(1)用代数式表示这个纸盒的体积V．
(2)当，，时，求这个纸盒的体积．
35．已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为．
(1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点；
(2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________；
(3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
36．个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是5cm，侧棱长4cm．观察这个模型，回答下列问题：

（1）这个六棱柱的几个面分别是什么形状？哪些面的形状、大小完全相同？
（2）这个六棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
37．如图，观察下列几何体并回答问题．
(1)请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有___________个面，___________条棱，___________个顶点；棱锥有___________个面，___________条棱，___________个顶点；
(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数，顶点个数以及棱的条数存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为___________．
38．如图所示的四个图形①，②，③，④是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4（顶点为A，B，C，D），边数为5（象，为其中的两条边，但不能再算一条边，边与边不能重叠），区域数为2（它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域）．
(1)数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表（图形①已填好）．
图形标号 顶点数V 边数E 区域数F
① 4 5 2
② 5 ___________ 3
③ ___________ 9 4
④ 7 ___________ 6
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数V，边数E，区域数F之间有什么关系？
(3)现已知某一个平面图形的顶点数V是2024，区域数F比顶点数V多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数E是多少？
试卷第1页，共3页
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《第01讲 立体图形与平面图形（3个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．C
【分析】由题意直接根据立体图形的概念和定义即立体图形是空间图形依次进行分析判断即可．
【详解】解：根据以上分析：属于立体图形的是③立方体⑤圆锥⑥圆柱，共计3个．
故选：C．
【点睛】本题考查认识立体图形，解决本题的关键是明白立体图形有：柱体，锥体，球体．
2．D
【分析】根据棱锥的定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．分析求解．
本题考查了棱锥甄别，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A．是圆柱，故此选项不合题意；
B．是立方体，故此选项不合题意；
C．是圆锥，故此选项不合题意；
D．是棱锥，故此选项符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】根据圆柱的特点对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、抽象出来的是球，故A不符合题意；
B、抽象出来的是四棱柱，故B不符合题意；
C、抽象出来的是圆柱，故C符合题意；
D、抽象出来的是圆锥，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆柱的识别，正确的识别图象是解决本题的关键．
4．D
【分析】根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可．
【详解】解：∵该几何体是三棱柱，
∴底面是三角形，侧面是四边形，有3条侧棱，
∴D说法正确，A、B、C说法错误，
故选D．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义．
【详解】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了认识平面图形．根据三角形、梯形、正方形以及长方形的定义进行解答．
【详解】解：图中的几何图形有：三角形，长方形以及梯形．
故选：C．
7．A
【分析】若图形上的所有点都在同一个平面内，则这个图形是平面图形；若图形上的点不都在同一个平面内，则这个图形是立体图形；根据平面图形与立体图形的含义即可完成．
【详解】A、是圆，是平面图形，故符合题意；B、C、D三个选项中的图形分别是圆锥、长方体、圆柱，它们都是立体图形，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了立体图形与平面图形的识别，掌握立体图形与平面图形的含义是关键．
8．①③⑤
【分析】根据棱柱的特征进行判断即可．
【详解】解：棱柱的两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面是长方形，
因此①③⑤是棱柱，而②是圆柱，④是圆锥，⑥是球，
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的特征是正确判断的前提．
9．D
【分析】根据常见实物与几何体的关系解答即可．
本题考查了立体图形的识别，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识．
【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体．
故选：D．
10．A
【分析】根据立体几何的识别选出正确选项．
【详解】A选项是四棱锥；
B选项是圆柱；
C选项是四棱柱；
D选项是三棱柱．
故选：A．
【点睛】本题考查立体几何的识别，解题的关键是掌握四棱锥的定义．
11．A
【详解】分析：
根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可.
详解：
在①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱等几何图形中，属于平面图形的是：三角形、长方形、圆；属于立体图形的是：正方体、四棱锥和圆柱.
∴属于平面图形的是：①②④.
故选A.
点睛：熟悉“常见几何图形中的平面图形和立体图形”是解答本题的关键.
12．C
【详解】分析：根据平面图形的定义逐一判断即可.
详解：A.圆锥和球不是平面图形，故错误；
B. 棱锥、棱柱不是平面图形，故错误；
C.角，三角形，正方形，圆都是平面图形，故正确；
D.长方体不是平面图形，故错误.
故选C.
点睛：本题考查了平面图形的定义，一个图形的各部分都在同一个平面内的图形叫做平面图形据此可解.
13．A
【分析】根据圆的定义及长方形的定义即可求解．
【详解】解：由图可得：
组成这个标识的平面图形有：圆、长方形，
故选A．
【点睛】本题考查了平面图形的认识，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
14．C
【分析】根据实际情况进行分析，常见几何图形由三角形，正方形，长方形，梯形等.
【详解】由平面图可知组成这幅图的几何图形有三角形、长方形、正方形、梯形.
故选C
【点睛】本题考核知识点：平面图形的识别. 解题关键点：熟记常见平面图形.
15．8
【分析】棱柱的上，下棱的和是中间棱的2倍，由此即可求解．
【详解】解：，即上、中、下各有6条棱，
∴中间有6个面，上下各一个面，共8个面，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查立体几何的认识，掌握立体几何中点、棱、面的关系是解题的关键．
16．7
【分析】题目主要考查棱柱的定义及面、棱、顶点的个数之间的关系，熟练掌握棱柱的基本性质是解题关键．
【详解】解：∵n棱柱有个面，有条棱，有个顶点，
∴当棱柱有10个顶点时，是5棱柱，有个面，
故答案为：7．
17．5
【分析】根据棱柱的概念和定义，可知12个顶点的棱柱是六棱柱，进而可得出答案．
【详解】解：根据一个棱柱有12个顶点，所以它是六棱柱，即有6条侧棱，
又因为所有侧棱长的和是，
所以每条侧棱长是．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了棱柱的知识，掌握棱柱是几棱柱，它就有几个侧面，并且就有几条侧棱是关键．
18．18
【分析】本题主要考查了长方体的特点，从一个顶点出发的三条棱长即为长方体的长、宽、高，而长方体一共有12条棱，其中4条相等的高，4条相等的长，4条相等的宽，据此可得答案．
【详解】解：∵长方体一共有12条棱，其中4条相等的高，4条相等的长，4条相等的宽，
∴从一个顶点出发的三条棱长相加的和为，
故答案为：18．
19．B
【分析】根据棱柱的形体特征进行判断即可．
【详解】解：选项A中的几何体是圆柱，因此选项A不符合题意；
选项B中的几何体是三棱柱，因此选项B符合题意；
选项C中的几何体是三棱锥，因此选项C不符合题意；
选项D中的几何体是四棱台，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、棱台的形体特征是正确判断的前提．
20．C
【分析】本题考查了几何体的识别，根据棱柱，球，圆锥，圆柱的特点分析即可．
【详解】解：由题意可得：该作品中有棱柱，球，圆锥，没有圆柱，
故选：C．
21．D
【分析】此题主要考查了平面图形，根据平面图形定义：一个图形的各部分都在同一个平面内的图形是平面图形可得答案．
【详解】A、线段、圆、球中，球不是平面图形，故此选项错误；
B、角、长方形、圆柱中，圆柱不是平面图形，故此选项错误；
C、长方体、棱锥中都不是平面图形，故此选项错误；
D、三角形、正方形都是平面图形，故此选项正确；
故选：D．
22．C
【分析】本题主要考查了六棱柱的构造特点，六棱柱有6条侧棱，上下底面各有6条棱，据此可得答案．
【详解】解：六棱柱一共有条棱，
故选：C．
23．D
【分析】本题考查截一个几何体，根据挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，进行求解即可．
【详解】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，
所以第二个几何体有9个面．
故选：D．
24．B
【分析】此题考查了认识平面图形，解题的关键是根据题意，直径为60厘米，在生活中可能是井盖的面的大小，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
【详解】解：一元硬币的面、杯盖的面都小于直径60厘米的圆，蒙古包的占地面积大于直径60厘米的圆，只有井盖的面接近直径60厘米的圆．
故选：B．
25．A
【分析】根据平面上曲线图形的定义，可知三角形、正方形、长方形都是平面直线图形，而圆是平面曲线图形．
【详解】解：∵三角形、正方形、长方形都是平面直线图形，圆是平面曲线图形，
∴平面上曲线图形只有圆，
故选：A．
【点睛】本题考查了认识平面图形，解题的关键是掌握相关的概念，属于基础知识点．
26．D
【分析】观察该手提盒可得，它的主体的形状可抽象成三棱柱．本题主要考查了常见的几何题，熟悉常见几何体，并掌握常见几何体的特征是解题的关键．
【详解】该手提盒主体的形状可抽象成三棱柱，
故选：D．
27．D
【分析】此题主要考查了长方体和直棱柱的基本性质，根据长方体和直棱柱的特点可得答案．
【详解】解：A、长方体六个面都是长方形，A选项说法正确，不符合题意；
B、长方体相对面形状大小相同，B选项说法正确，不符合题意；
C、长方体六侧棱等长且垂直底面，C选项说法正确，不符合题意；
D、长方体底面是长方形，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
28．A
【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得2a=5b，2c=3b，再根据等式的性质得到3a=5c即可．
【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得，
2a=5b，2c=3b，
即a=b，c=b，
∴3a=b，5c=b，
即3a=5c，
∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5，
故选：A．
【点睛】本题考查认识立体图形、等式的性质，掌握等式的性质是解决问题的前提．
29． 16 24
【分析】根据棱柱有10个面，两个底面，八个侧面，判定该棱柱为八棱柱．根据八棱柱的概念和特点求解即可．
本题考查了常见的几何体，熟练掌握棱柱的基本结构和基本特点是解题的关键．
【详解】解：∵一个棱柱有10个面，为两个底面，八个侧面，
∴这个棱柱为八棱柱，
∴它有 16个顶点，有 24条棱．
故答案为：16，24．
30．
【分析】本题主要考查了立体图形的认识．根据棱柱的特性，可以判断该直棱柱为五棱柱，由此可求解．
【详解】解：一个棱柱是由7个面围成的，则有2个底面，5个侧面，
因此此立体图形是五棱柱，五棱柱有5条侧棱，且都相等，等于，
∴所有侧棱之和为
故答案是：．
31．
【分析】本题考查了棱柱的特征．熟记直棱柱的特征是解题的关键．根据一个直棱柱有个顶点，该棱柱是九棱柱共有九条侧棱，且都相等，即可求解．
【详解】解：一个直棱柱有个顶点，
该棱柱是九棱柱，
所有侧棱长的和为，
故答案为：．
32．21
【分析】根据图形，可知是由六个小长方形构成的，除了这六个小长方形，再依次将两个、三个、四个、五个、六个组合，求和，即可解决问题．
【详解】解：∵单个的长方形有6个，两个小长方形组成的长方形有5个，三个小长方形组成的长方形有4个，四个小长方形组成的长方形有3个，五个小长方形组成的长方形有2个，六个小长方形组成的长方形有1个，
∴（个），
∴图中长方形有15个,
故答案为：21．
【点睛】本题考查了长方形的概念，熟练掌握长方形的概念是解决本题的关键．
33． 4厘米 平方厘米
【分析】本题主要查了圆的周长和面积，根据圆的周长公式可求出圆规两脚之间的距离是4厘米；再根据圆的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：圆的半径为
∴圆规两脚之间的距离是4厘米；
∴画出圆的面积是平方厘米．
故答案为：①4厘米；②平方厘米
34．(1)；
(2)
【分析】本题考查列代数式，求代数式的值：
（1）根据长方体的体积公式即可得出答案；
（2）将，，代入即可得出答案．
【详解】（1）解：根据长方体的体积得：；
（2）解：当，，时，
．
35．(1)六，8，12
(2)
(3)
【分析】（1）由n棱柱有条棱，有个顶点，有个面求解可得；
（2）棱柱的所有棱长和=6个侧棱长+12个底边长；
（3）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得．
本题考查了n棱柱有条棱，有个顶点，有个面，侧面积，棱长，熟练掌握基本内涵是解题的关键．
【详解】（1）解：∵此直棱柱有18条棱，
∴由知，此棱柱是六棱柱；这个六棱柱有8个面，有12个顶点；
故答案为：六，8，12．
（2）解：∵一条侧棱长为，底面各边长都为，
∴棱柱的所有棱长和；
故答案为：．
（3）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是．
36．（1）这个六棱柱有6个侧面，2个底面，共8个面，，两个底面是六边形，侧面是长方形；上下底面的形状、大小完全相同，所有侧面的形状、大小完全相同；（2）
【分析】（1）分侧面与底面两个部分解答；
（2）根据侧面都是长方形列式计算即可求出侧面积．
【详解】解：（1）这个六棱柱有6个侧面，2个底面，共8个面，两个底面是六边形，侧面是长方形；上下底面的形状、大小完全相同，所有侧面的形状、大小完全相同；；
（2）它的侧面积是：6×（4×5）＝6×20＝ ．
【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟记长方体的特征．
37．(1)；
(2)
【分析】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系．
【详解】（1）解：三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点；
四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；
六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；
三棱锥有4个面，6条棱，4个顶点；
四棱锥有5个面，8条棱，5个顶点；
五棱锥有5个面，10条棱，5个顶点；
观察所给几何体的面、棱、顶点的数量，纳出n棱柱有个面，条棱，个顶点，n棱锥有个面，条棱，个顶点；
故答案为：；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：
根据上表总结出这个关系为，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何体的认识；能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键．
38．(1)7，6，12
(2)
(3)4048
【分析】（1）根据各个图形的特征以及“顶点数”，“边数”，“区域”的意义进行解答即可；
（2）根据表格中“顶点数”，“边数”，“区域”之间的关系进行解答即可；
（3）根据（2）的结论进行计算即可．
本题考查了新定义问题，正确理解定义的顶点，边数，区域的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，
故答案为：7，6，12．
（2）解：由（1）得，，，
故顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为：．
（3）解：∵，区域数F比顶点数V多1，
∴，
∵，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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