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第03讲 立体图形的展开与折叠
课程标准 学习目标
①立体图形的展开图②正方体展开图的相对面 1．掌握常见几何体的展开图以及正方体的11种展开图，并能够快速准确的判断正方体展开图的相对面．
知识点01 立体图形的展开图
1．立体图形的展开图的概念：
有一些立体图形是由平面图形构成的，将它们的表面适当剪开，可以得到平面图形，这个平面图形叫做立体图形的展开图．
2．常见几何体的展开图：
3．正方体的11种展开图：
【即学即练1】
1．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆柱，圆锥，四棱柱 B．四棱锥，圆锥，圆柱
C．圆柱，圆锥，三棱锥 D．圆柱，圆锥，三棱柱
【即学即练2】
2．下列图形中，（　　）不是正方体的展开图．
A． B．
C． D．
【即学即练3】
3．图中的长方体展开图来自于下列中（　　）长方体．
A． B．
C． D．
知识点02 正方体展开图的相对面
1．正方体展开图找相对面的两种方法：
①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面．
②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面．
在判断相对面时，优先用间隔面法．
【即学即练1】
4．如图所示的是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了一个字，则展开前与“冷”字相对的是（ ）

A．仔 B．着 C．沉 D．细
题型01 判断几何体的展开图
【典例1】
5．下列图形中，是圆柱展开图的是（ ）
A． B．
C．
D．

【变式1】
6．如图是某几何体的展开图，则此几何体是（ ）
A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥
【变式2】
7．如图，三个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺序是( )
A．圆柱、三棱柱、圆锥 B．圆锥、三棱柱、圆柱
C．圆柱、三棱锥、圆锥 D．圆柱、三棱柱、半球
【变式3】
8．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥、正方体、三棱柱、圆柱 B．圆柱、正方体、圆锥、三棱柱
C．圆锥、正方体、圆柱、三棱柱 D．圆柱、圆锥、正方体、圆锥
题型02 判断正方体的展开图
【典例1】
9．下列图形中不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
10．正方体展开有6个正方形，图甲是其中的4个，其它2个可能在图乙的（ ）位置
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④
【变式2】
11．如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】
12．正方体展开图上的字母位置正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式4】
13．将如图所示的立方体盒子（其余各面无任何标记）展开成一个平面图形，则下列图中可能是（　　）
A． B．
C． D．
题型03 根据展开图判断折叠后的几何体
【典例1】
14．下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
15．图中的长方体展开图来自选项中的哪个长方体（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】
16．如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】
17．若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（ ）

A． B． C． D．
【变式4】
18．能由如图所示的平面图形折叠而成的立体图形是（ ）

A． B． C． D．
题型04 判断正方体展开图的相对面
【典例1】
19．如图，小明将“深圳敢为人先”分别写在一个正方体的展开图上，把展开图折叠成正方体后，与“深”字相对的汉字是（　　）
A．圳 B．敢 C．为 D．人
【变式1】
20．一个正方体的表面展开图如右图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（ ）
A．考 B．试 C．顺 D．利
【变式2】
21．如图是一个正方体表面的展开图，若正方体相对的面上的数字互为相反数，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式3】
22．按照如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的数互为相反数，那么的值是(　　)
A． B． C． D．
23．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
24．下列哪个图形经过折叠可以围成棱柱（ ）
A． B．
C． D．
25．下列图形中，不是正方体的表面展开图的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．临近月考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”相对的是（　　）
A．总 B．发 C．努 D．力
27．有一个圆柱形纸筒，将它的侧面沿高剪开，展开后的平面图形（ ）
A．可能是圆 B．可能是梯形
C．可能是三角形 D．可能是长方形
28．张超在学习正方体展开图，将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，然后将各面向外展开，那么展开后的图是（ ）（单位：厘米）
A． B．
C． D．
29．图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米．
A．4 B．8 C．27 D．64
31．如图，一个正方体的六个面分别标有、、、、、，从三个不同方向看到的情况如图所示，则的对面应该是字母（ ）
A． B． C． D．
32．一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是(　　)

A． B． C． D．
33．如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是面 ．（填数字序号）

34．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种．
35．如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是 ．
36．如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则的值为 ．
37．一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有个面，共有条棱，要展成一个平面图形，至少置要剪开条棱，则 ．
38．有一种牛奶软包装盒如图所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．

(1)图给出的四种纸样，正确的有 ；(写出所有正确答案)
(2)求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）．
39．如图是一个正方体的平面展开图，折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，a，b，c分别表示有理数．
(1)填空： ____； _______； _______
(2)求的值．
40．某种包装盒的形状是长方体，长比高的三倍多2，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示（不考虑包装盒的黏合处）
(1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，边的长度为______分米；（用含的式子表示）
(2)若的长为12分米，现对包装盒外表而涂色，每平方分米涂料的价格是0.5元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色）
41．小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明总共剪开了______条棱．
(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
(3)小明说：已知这个长方体纸盒高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积．
试卷第1页，共3页
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《第03讲 立体图形的展开与折叠（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．D
【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是掌握常见几何体的展开图．
根据基本几何体的展开图逐一判断．
【详解】解：根据图形得：
从左到右，其对应的几何体名称分别为圆柱，圆锥，三棱柱．
故选：D．
2．B
【分析】根据正方体的展开图，判断解法即可．
本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
A. 是正方体的展开图，不符合题意；
B. 不是正方体的展开图，符合题意；
C. 是正方体的展开图，不符合题意；
D. 是正方体的展开图，不符合题意；
故选B．
3．A
【分析】根据展开图可知，有大阴影三角形的长方体为所求．本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题关键．
【详解】解：由展开图的知识可知，A项中有阴影的面上为1个大三角形，B、C、D有阴影的面上为2小三角形，
图中的长方体展开图来自于选项A的长方体．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查正方体的展开图形，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“冷”字相对的面上的是“沉”．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了圆柱体的展开图，解题的关键是熟练掌握圆柱体展开图．
根据圆柱展开图的特点进行判断即可．
【详解】解：圆柱展开图为两个圆和一个长方形，故D符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查了简单几何体的展开图，熟记几种几何体的展开图是解题的关键．
根据简单几何体的展开图求解即可．
【详解】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确．
故选：C．
7．A
【分析】根据圆柱、三棱柱、圆锥表面展开图的特点解题．
【详解】观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是圆柱、三棱柱、圆锥．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥、三棱柱、圆柱表面展开图，记住这些立体图形的表面展开图是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查由几何体的平面展开图还原立体几何图形，熟记常见的立体几何图形的平面展开图是解决问题的关键．
【详解】解：根据题中所给几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥、正方体、三棱柱、圆柱，
A、圆锥、正方体、三棱柱、圆柱，四个均正确，符合题意；
B、圆柱、正方体、圆锥、三棱柱，第一个、第三个、第四个均错误，不符合题意；
C、圆锥、正方体、圆柱、三棱柱，第三个、第四个错误，不符合题意；
D、圆柱、圆锥、正方体、圆锥，四个均错误，不符合题意；
故选：A．
9．A
【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断，也可对展开图进行还原成正方体进行判断．
【详解】解：A．不可以作为一个正方体的展开图，符合题意；
B．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
C．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
D．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
10．C
【分析】本题考查几何体的展开图，根据正方体展开图的形式确定即可．
【详解】解：∵图甲是一个正方体展开图中的4个，
∴其他的两个面可能在①④或②④，
故选：C.
11．C
【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题．
【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意；
B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意；
C．图形是该正方体的展开图，符合题意，
D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
12．C
【分析】本题考查了正方体的展开图，找准每个字母在哪一个面是解题的关键．根据面与面相邻，可得A，B，D不符合题意．
【详解】解：由面与面相邻，故A，B，D不符合题意．只有选项C符合题意．
故选：C．
13．C
【分析】本题主要考查几何体的展开图，利用正方体的展开图的特点解题即可．
【详解】解：选项A、B、D中含有标记的三个面不相交于一点，与原立方体不符，
所以只有C是立方体的展开图．
故选：C．
14．D
【分析】本题注意考查立体几何图形的展开图，解题的关键是要熟悉一些常见立体几何的展开图．利用空间想象能力，对立体几何图形的展开图做一个判断，首先要确定，展开后的面的个数是否准确，再去确定面的位置是否合理．
【详解】解：A．方体展开图错误，故本选项不符合题意；
B．展开图多一个底面，错误，故本选项不符合题意；
C．展开图少一个底面，故本选项不符合题意；
D．圆柱的展开图正确，故本选项符合题意．
故选：D．
15．B
【分析】根据展开图可知，有小三角形的两个面是对面，有圆圈的两个面是对面，有两个圆圈的面与有三角形阴影的面相邻，相邻处是有阴影的部分．本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题关键．
【详解】解：由展开图的知识可知，有小三角形的两个面是对面，故A错误；
有圆圈的两个面是对面，故D错误；
有两个圆圈的面与有三角形阴影的面相邻，相邻处是有阴影的部分，故C错误，B正确；
故选：B．
16．C
【分析】根据正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，进行判断即可．
【详解】解：由正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，故均不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查由展开图还原立方体．解题的关键是根据展开图确定正方体的相对面．
17．A
【分析】根据正方体的平面展开图的特点求解即可．
【详解】解：连接，如图，

由展开图可知，当该平面图形围成正方体时，B点和C点一定在同一平面上，故排除B，C选项，
∵两条线段所在平面被一个平面隔开，
∴两条线的在平面不可能相邻，则D选择排除，故答案为 A，
故选：A．
【点睛】本题主要考查学生对立体图形以及平面展开图之间的关系，培养空间想象力是关键．
18．D
【分析】本题考查有关正方体展开图的题目，根据展开图得到立体图形的特征是关键．
根据展开图得到立体图形的特征逐一分析即可得出答案．
【详解】解：对于A选项，圆圈是正面时，两竖线在上下两面或左右两面，故A错误；
对于B、D选项，当正方形在正面，且含有线的一面为上面时，此面上的线应为竖线，故B错误，D正确；
对于C选项，对展开图折叠后，含有竖线的两个面应相对，故C选项错．
故选D．
19．B
【分析】本题考查正方体的展开图，直接根据展开图判断即可．
【详解】
解：由图可知，与“深”字相对的汉字是“敢”，
故选：B．
20．C
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“你”与面“试”相对，面“祝”与面“顺”相对，“考”与面“利”相对．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题是解题的关键．
21．A
【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可．
本题考查了正方体展开图中的相对数字问题，相反数，一元一次方程，熟练掌握展开图的意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得6和相对，和相对，
故，
解得，
故选：A．
22．B
【详解】本题考查了正方体相对两个面上的文字、相反数，代数式求值；根据题意可得：与是相对面，与是相对面，与是相对面，从而可得，，，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：与是相对面，与是相对面，与是相对面，
相对面上的数互为相反数，
，，，
，
故选：B．
23．C
【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答.
【详解】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．
故选C．
【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
24．C
【分析】本题考查几何体的展开图，根据棱柱的特点，进行判断即可．
【详解】解：由题意，经过折叠可以围成棱柱的是
故选C．
25．B
【分析】本题考查了几何体的展开图．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】①②通过折叠都能够围成正方体；③④不能围成正方体；
故选：B．
26．B
【分析】
根据正方体的展开图，可以得到折叠后的正方体，结合展开图中的各面的字，可以得到结果．
【详解】
解：如图，把正方体的展开图折叠成正方体后，
∵正对的面上的字是“力”，左侧面上的字是“努”，上面的字是“总”，
右侧面上的字是“会”，下面的字是“光”，后面的字是“发”，
∴折叠后与“力”相对的是“发”．
故选：B．
27．D
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，根据圆柱的侧面展开图特点，即可解题．
【详解】解：一个圆柱形的纸筒沿高剪开，它的侧面展开后的图形是长方形或正方形，圆柱的底面周长等于展开后图形的（底边长），高等于展开后图形的（另一边长）．
故选：D．
28．C
【分析】本题是考查正方体的展开图，培养学生的观察能力、分析判断能力和空间想象能力．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．
【详解】解：沿题图剪开，展开后的图是
故选：C．
29．C
【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解．
【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体．
故选：C
30．A
【分析】
本题考查正方体的体积，根据正方体的体积公式解答即可．
【详解】
解：∵，，，
∴可以用8个小正方体拼成棱长2分米的大正方形，
可以用27个小正方体拼成棱长3分米的大正方形，
可以用64个小正方体拼成棱长4分米的大正方形，
∴用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是4立方分米．
故选：A．
31．A
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，观察三个正方体，与A相邻的字母有D、E、B、F，从而确定出A对面的字母是C；仔细观察图形从相邻面考虑求解是解题的关键．
【详解】解：由图可知，A相邻的字母有D、E、B、F，
所以A对面的字母是C，
所以对面的字母是，
故选：A．
32．A
【分析】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数，求得的值，代入代数式，即可求解．
【详解】解：如图是这个正方体的表面展开图，
与相对，与相对，
∴图中，，
∴
故选：A．
33．⑤
【分析】本题考查了长方体的表面展开图，根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．
【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故答案为：⑤.
34．
【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可．
【详解】解：如图所示：
故答案为：．
35．
【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，熟练掌握其展开图的特点是解决此题的关键．
【详解】将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒，
则和重合，和重合，和重合，
故答案为：．
36．0
【分析】本题考查了正方体的展开图、相对面上的字、相反数，熟知正方体展开图的特点“相间端是对面”是解决问题的关键．
【详解】解：由正方体展开图可知，m与2相对，n与相对，与3相对，
∵相对面上所标的两个数互为相反数，
∴，，
∴．
故答案为：0．
37．61
【分析】本题主要考查了棱柱的认识、几何体的展开图以及代数式求值，关键是数出该棱柱展开时没有剪开的棱的条数．根据题意可得该棱柱为十棱柱，共有12个面，30条棱，将该棱柱展成一个平面图形，至少置要剪开19条棱，即可确定的值，然后代入求值即可．
【详解】解：若该棱柱共有20个顶点，
则该棱柱为十棱柱，共有12个面，30条棱，
∴，，
要将该棱柱展成一个平面图形，必须有11条棱连接，
则至少置要剪开19条棱，即，
∴．
38．(1)；
(2)包装盒的体积为，表面积为．
【分析】（）根据长方体的展开图特征判断即可；
（）根据长方体的侧面积、底面积、表面积公式计算即可；
本题主要考查了长方体的展开图以及长方体的表面积的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：图给出的四种纸样，正确的有，
故答案为：；
（2）解：包装盒的体积为，
表面积为：
，
答：包装盒的体积为，表面积为．
39．(1)，1，
(2)．
【分析】本题考查正方体的展开图和相反数的定义，绝对值以及有理数的加减运算．
（1）分别找出a，b，c相对面上的数，根据折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，列出等式求解，即可解题；
（2）将a，b，c的值代入求解即可．
【详解】（1）解：由题知，，，，
解得：，，，
故答案为：，1，；
（2）解：将a，b，c的值代入中，
有．
40．(1)，
(2)为每个包装盒涂色的费用是23元
【分析】根据长比高的三倍多2，及展开图即可求解，
根据的长为12分米，可求的值，进而求出表面积，根据每平方分米涂料的价格即可求解，
本题考查了几何体的展开图，求几何体的表面积，解题的关键是：确定几何体的长宽高．
【详解】（1）解：长比高的三倍多2，，
，，
故答案为：，，
（2）的长为12分米，
，解得：，
（分米），（分米），
长方体的表面积为：（平方分米），
费用为：（元），
故答案为：为每个包装盒涂色的费用是23元．
41．(1)8
(2)见解析
(3)这个长方体纸盒的体积为立方厘米．
【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；
（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；
（3）设底面边长为，根据棱长的和是，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．
【详解】（1）解：由图可得，小明共剪了8条棱，
故答案为：8；
（2）解：如图，粘贴的位置有四种情况如下：
（3）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长，
∵长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为，
∴，
解得，
∴这个长方体纸盒的体积为：立方厘米．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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