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第05讲 解一元一次方程——去分母
课程标准 学习目标
①解一元一次方程：去分母②解一元一次方程的一般步骤 ③列方程解决行程问题 掌握解一元一次方程去分母的基本方法，再结合去括号、移项、合并同类项以及系数化为1解一元一次方程．掌握解一元一次方程的基本步骤，并能够在解一元一次方程时熟练应用． 掌握行程问题中的基本量与基本等量关系以及行程问题的类型，并能够在题目中熟练应用并解决问题．
知识点01 解一元一次方程——去分母
去分母方法：
在方程左右每一项两边同时乘上各分母的最小公倍数，将分母去掉，这一过程叫做去分母．
去了分母之后再按照去括号、移项、合并以及系数化为1进行解一元一次方程．
【即学即练1】
1．解方程，去分母正确的是（ ）
A．3(x+1)-2x-3=6 B．3(x+1)-2x-3=1
C．3(x+1)-(2x-3)=12 D．3(x+1)-(2x-3)=6
【即学即练2】
2．解下列方程：
（1）
（2）2x-（x+1）=（x+3）
知识点02 解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤：
①去分母：方程左右两边每一项同时乘以各分母的 最小公倍数．
②去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项．当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号．
③移项：把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边．注意移动过的项一定要改变符号．
③合并：按照合并同类项的方法进行合并．
④系数化为1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数．
【即学即练1】
3．解方程：
(1)；
(2)．
知识点03 列方程解决行程问题
行程问题中的基本量的等量关系：
路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间．
行程问题之相遇问题：
①甲、乙同时出发相向而行相遇．如图：
等量关系：
时间：；路程： ．
②甲、乙同地不同时同向而行相遇．，乙先出发．如图：
等量关系
路程： ；时间： ．
行程问题之相距问题：
①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距．如图
等量关系
时间： ；路程： ．
②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距．如图：
等量关系：
时间： ；路程： ．
③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距．
等量关系： 时间： ；路程： ．
④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距．如图：（慢的先出发）
等量关系：
时间： ；路程：
火车过桥进洞问题：
车头进到火车车尾出：如图：
行驶路程＝ 桥长（洞长）＋火车长 ．
车尾进到货车车头出：如图：
行驶路程＝ 桥长（洞长）－火车长 ．
火车追及错车与相遇错车问题：
①追及错车问题：如图：
等量关系：
快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝两车车长之和．
②相遇错车问题：如图：
两车行驶的路程之和＝两车车长之和．
【即学即练1】
4．甲 乙两站的路程为，一列快车从乙站开出，每小时行驶，一列慢车从甲站开出，每小时行驶．
（1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇
（2）快车先开，两车相向而行，慢车行驶多少小时后两车相遇
【即学即练2】
5．已知甲、乙两地相距160km，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为85km/h，B车速度为65km/h．
(1)A、B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？
(2)A、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距20km？
【即学即练3】
6．甲、乙两列火车的长分别为144 m和180 m，甲车比乙车每秒多行4 m．两列车相向而行，从相遇到完全错开需9 s．
（1）甲、乙两列车的速度分别是多少？
（2）若同向而行，从甲车的车头刚追上乙车的车尾到甲车完全超过乙车，需要多少秒？
题型01 解一元一次方程
【典例1】
7．下列方程变形中，正确的是（　　）
A．方程，去分母得
B．方程，去括号得
C．方程，系数化为1得
D．方程，移项得
【变式1】
8．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2】
9．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【变式3】
10．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型02 同解方程
【典例1】
11．已知关于的方程的解与方程的解相同，则 ．
【变式1】
12．若方程x+5＝7﹣2（x﹣2）的解也是方程6x+3k＝14的解，则常数k＝ ．
【变式2】
13．当k取何值时，关于x的方程和的解相同？
【变式3】
14．已知关于x的方程是一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若原方程的解也是关于x的方程的解，求n的值．
题型03 错解方程
【典例1】
15．小李在解关于x的方程时（其中为已知数），误将“”中的“”号看成“”号，得方程的解为，则原方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
16．王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，那么原方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
17．小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】
18．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ．
【变式4】
19．小芳同学在解关于x的一元一次方程时误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解．
题型04 方程的特殊解
【典例1】
20．若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】
21．已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（ ）
A．4 B．0 C． D．
【变式2】
22．已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】
23．如果方程和方程的解互为相反数，那么的值为( )
A． B． C． D．
【变式4】
24．若方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求m的值．
题型05 解一元一次方程的新定义题型【典例1】
25．定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
26．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（ ）
A．，1 B．2， C．，2 D．1，
【变式2】
27．现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　）
A．4 B．11 C．4或11 D．1或11
【变式3】
28．我们规定（其中，），例如，若，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4】
29．将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
题型06 列方程解决行程问题
【典例1】
30．我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】
31．A、B两站间的距离为，一列慢车从站开往站，每小时行驶，慢车行驶1小时后，另有一列快车从站开往站，每小时行驶，设快车行驶了小时后与慢车相遇，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】
32．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．
(1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________；
(2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数．
【变式3】
33．甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行．
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？
【变式4】
34．【问题引入】
一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？
【情境分析】
设这列火车的长度是x米．
（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是________米/秒．
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是_________米/秒．
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是_______．
【问题解决】
（4）请列出方程并求出这列火车的长度．
35．把方程去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
36．将方程中分母化为整数，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
37．若单项式与的和仍是单项式，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
38．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　）
A． B． C． D．
39．小文同学晚上写数学作业，在解方程“”时，将“”中的负号抄漏了，解出，则方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
40．若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
41．现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，譬如，．若有理数满足，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
42．已知关于的方程与的解互为相反数，则（ ）
A． B． C．5 D．－5
43．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（ ）次
A．5 B．4 C．3 D．2
44．方程的解是x＝（　　）
A． B． C． D．
45．现规定一种运算：，如果，那么 ．
46．小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是 ．
47．已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ．
48．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过 秒2只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度．
49．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则 ；若是“相伴数对”，则的值为 ．
50．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
51．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题
(1)判断：方程______（“是”或“不是”）“和解方程”．
(2)关于x的一元一次方程是“和解方程”，求t的值．
(3)关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m、n的值．
52．甲、乙两辆汽车分别从相距340千米的A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．行驶2小时后，甲车到达C地，并停车休息，此时两车相距40千米，乙车继续行驶，小时后也到达C地．乙车到达C地后未做停留继续匀速开往A地，甲车在C地休息1小时后按原速度开往B地．
(1)由题意可求得甲车的速度为 千米/小时，乙车的速度为 千米/小时；
(2)求两车出发多少小时相距140千米．（列方程解决）
53．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”；
(2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解．
54．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．

(1)求m、n的值；
(2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度；
②应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒．
(3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第05讲 解一元一次方程-去分母（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）》参考答案：
1．D
【详解】试题分析：方程两边同乘6得：3(x＋1)－(2x－3)＝6，
故选D．
2．（1）；（2）．
【详解】解：（1），
方程两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
方程两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键．
3．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程．
（1）按解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可；
（2）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可．
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：原方程可变形为：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
4．（1）经过相遇；（2）慢车行驶了后两车相遇
【分析】（1）设两车行驶了x小时相遇，则慢车走的路程为48xkm，快车走的路程为72xkm，根据慢车与快车的路程和为360km建立方程求出其解即可；
（2）设慢车行驶了y小时后两车相遇，则快车行驶了（y＋）小时，根据慢车与快车的路程和为360km建立方程求出其解即可．
【详解】设两车行驶相遇，根据题意，得，
解得．
即经过相遇；
设慢车行驶后两车相遇，依题意，得，
解得，
即慢车行驶了后两车相遇．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系在解实际问题中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
5．(1)8
(2)或
【分析】（1）设经过x小时A车追上B车，根据题意可列出关于x的方程，解出x即可；
（2）设经过t小时两车相距20km．根据题意可分类讨论当两车相遇前和当两车相遇后，分别列出关于t的方程，解出t即可．
【详解】（1）设经过x小时A车追上B车，
依题意可列方程，
解得：
答：经过8小时A车追上B车．
（2）设经过t小时两车相距20km．
根据题意可作分类讨论：
①当两车相遇前，可列方程：，
解得：；
②当两车相遇后，可列方程：，
解得：．
综上可知，经过或小时两车相距20km．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意设出未知数，找出等量关系，列出方程是解题关键．
6．（1）甲、乙两列车的速度分别是20m/s，16m/s；（2）81s
【分析】（1）由题意设乙车的速度是x m/s，则甲车的速度是(x＋4)m/s，根据“两列车相向行驶，从相遇到全部错开需9s”列出方程即可；
（2）根据题意设需要y s，从两车车头相遇到车尾离开，两车共行了（180＋144）m，继而由时间×速度=路程列出方程并求解即可．
【详解】解：（1）设乙车的速度是x m/s，则甲车的速度是(x＋4)m/s．
依题意，得9x＋9(x＋4)＝180＋144，解得x＝16．
则x＋4＝16＋4＝20．
答：甲、乙两列车的速度分别是20 m/s，16 m/s．
（2）设需要y s．
依题意，得20y－16y＝180＋144，解得y＝81．
答：需要81 s．
【点睛】本题考查一元一次方程的行程问题，解题的关键是读懂题意并根据题意找出等量关系列出方程．
7．A
【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：方程，去分母得，
选项A符合题意；
方程，去括号得，
选项B不符合题意；
方程，系数化为1得，
选项C不符合题意；
方程，移项得，
选项D不符合题意．
故选：A．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了解一元一次方程的知识．
（1）根据一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可；
（2）根据一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可；
（3）根据一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可．
【详解】（1）解：
去括号得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
（2）
去分母得，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
（3）
原方程可变为，
去括号得，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，
9．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
（1）按照移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可；
（4）按照分母化整，去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1的步骤进行解答即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
（2）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
（3）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
（4）解：，
分母化整，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化1，得．
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，
，
，
．
11．
【分析】求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出关于a的方程的解即可．
【详解】解：解方程得：，
∵关于的方程的解与方程的解相同，
∴方程的解也是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程，先求出第二个方程，把方程的解代入第一个方程得出关于a的一元一次方程是解题关键．
12．
【详解】∵x＋5＝7－2（x－2）
∴x=2.
把x=2代入6x＋3k＝14得，
12＋3k＝14，
∴k= .
13．
【分析】本题考查了同解方程，先求出第一个方程的解，把方程的解代入第二个方程得出关于的方程，解关于的方程即可得答案．
【详解】解：解得，
把代入，得
，
解得，
故当时，关于的方程和的解相同．
14．（1）m=2；（2）n=1
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，得到，即可求出m的值；
（2）先求出原方程的解，然后代入新的方程，即可求出n的值.
【详解】解：（1）由题意得：
∵关于x的方程是一元一次方程．
∴，
∴；
（2）把代入原方程，得：，
解得：，
把代入方程得：
，
∴，
∴，
解得：.
【点睛】本题主要考查的是解一元一次方程，一元一次方程的定义，方程的解的定义，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
15．C
【分析】将代入方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，再将其代入原方程，解之即可得出结论．
【详解】解：将代入方程得：，
解得：，
原方程为，
解得：，
原方程的解为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
16．B
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，先按计算出，再将计算出的值，代入原方程再一次解方程即可得出答案．
【详解】解：王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，
解得：
原方程为
解得：
故选：B．
17．B
【分析】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键．
去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是，把代入即可求得的值，然后把的值代入原方程，解方程即可．
【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是，
把代入方程得，
解得：，
把代入方程得
，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得．
故选：B．
18．
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
方程右边的项没有乘，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，求得的值，然后把的值代入中，最后解方程即可．
【详解】解：方程右边的项没有乘，则所得的式子是：，
把代入方程，得，
解得：，
方程为，
去分母，得，
解得：，
故答案为：，．
19．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，先把代入方程中求出，再解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得是关于x的一元一次方程的解，
∴，
解得，
∴原方程为，
去分母得，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
20．C
【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键．
先解方程可得，再根据关于的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，
∴，
∵关于的方程有整数解，为整数，
∴或，
解得：或或或，
∴满足条件的整数的取值个数是，
故选：C．
21．D
【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程的解是负整数且k为整数，可得出k的值，再将其相加即可得出结论．
【详解】∵
∴，
当时，原方程无解；
当时，．
∵原方程的解是负整数，且k为整数，
∴或
∴或，
∴整数k的所有取值之和为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键．
22．D
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得，
是非负整数解，
∴取，
或，时，的解都是非负整数，
则，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
23．C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解法，先按照解一元一次方程的一般步骤，求出已知条件中两个方程的解，然后根据两个方程的解是互为相反数，列出关于的方程，解方程即可．解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤．
【详解】解： 由解得：，
，
方程两边同时乘得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
方程和方程 的解互为相反数，
，
，
，
故选：C．
24．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，倒数的定义，先解方程得到，再根据倒数的定义得到关于x的方程 的解为，据此把代入方程中求出m的值即可．
【详解】解：解方程得，
∵方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，
∴关于x的方程 的解为，
∴，
∴，
解得．
25．C
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解；∵，
∴，
解得，
故选：C．
26．B
【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于a，b的方程组是解答本题的关键．根据新定义建立关于a，b的方程组，然后用加减消元法求解即可．
【详解】解：根据题意，得
整理，得，
得，
∴，
将代入②得，，
∴．
故选B．
27．A
【分析】对x的取值分为两种情况，当x≥3和x＜3分类求解，得出符合题意得答案即可.
【详解】当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；
当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．
∴若x*3＝5，则有理数x的值为4，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题目中运算规则是解题的关键．
28．A
【分析】本题主要考查求一元一次方程的解，根据新定义，列出关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】∵，
∴根据题可得：，
解得：．
故选：A．
29．D
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意得出关于x的方程，再求出解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故选 D．
30．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；找准等量关系，建立方程是本题的关键．根据慢马与快马所走的路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马天可以追上慢马，
依题意，得：．
故选：D．
31．D
【分析】设快车行驶了小时后与慢车相遇，根据慢车和快车行驶的距离和为列方程即可．
【详解】解：设快车行驶了小时后与慢车相遇，
根据题意，列方程得，．
故选：D．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，得到相遇问题中的路程的等量关系是解决本题的关键．
32．(1)；；
(2)；
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算：
（1）用点A表示的数加上M运动的路程即为点C表示的数，用点B表示的数减去N运动的路程即为点D表示的数，据此求解即可；
（2）先根据时间等于路程除以速度求出t，进而求出M运动的路程，最后求出点P表示的数即可．
【详解】（1）解：∵M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒，且二者相向而行，运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，
∴点C表示的数为，点D表示的数为，
故答案为：；；
（2）解：由题意得，，
∴点P表示的数为．
33．(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时
(2)小时或小时
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键．
（1）设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设经过t小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时，
根据题意，得
解得，
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时．
（2）解：设经过t小时两车相距30千米，
根据题意，得：
当两车未相遇时，，
解得，
当两车相遇后，，
解得，
答：经过2小时或小时两车相距30千米．
34．（1）， （2）， （3）相等 （4）这列火车的长度为米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题注意理解“完全通过”的含义,完全通过:火车所走的路程=隧道长度+火车长度．
（1）火车长度为，根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出代数式即可；
（3）上述问题中火车的平均速度不发生变化；
（4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：（1）设这列火车的长度是x米，从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒，
故答案为：，；
（2）设这列火车的长度是x米，从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒，
故答案为：，；
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等，
故答案为：相等；
（4）列方程为：，
解得，
答：这列火车的长度为米．
35．C
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质将等式两边同时乘6，去分母即可．
【详解】解：，
去分母，得，
故选：C．
36．C
【分析】本题考查了解一元一次方程，方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程整理得：
故选：C．
37．A
【分析】由题意知代数式与是同类项，再根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项求解m、n的值，最后代入解方程即可．
【详解】解：代数式与的和是单项式，
代数式与是同类项，
，
解得，代入方程中，得：
，
解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查合并同类项，涉及单项式的判断以及一元一次方程的求解，属于基础题，熟练掌握同类项的定义是解题关键．
38．C
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
将系数化为1，得
是非负整数解
或，，时，的解都是非负整数
则
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
39．C
【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是把带入中，求出的值，再根据解一元一次方程，求出，即可．
【详解】∵是解为，
∴，
解得：；
∴原方程为：，
解得：，
故选：C．
40．C
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于x的方程的解是正整数，
∴是整数，且
∴或2或4，
∵是二次三项式，
∴，
∴且，
∴所有满足条件的整数a的值为1，4，
∴所有满足条件的整数a的值之积是，
故选：C．
41．B
【分析】本题主要考查了实数得运算，根据题意分为两种情况，①当时，，②当时，，解一元一次方程，符合题意的值即为所求．
【详解】解： 若，
①当时，，
解得：，
②当时，，
解得：（舍去)．
故选：B．
42．B
【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的解，相反数的定义，即可．
【详解】∵，
解得：，
∵的方程与的解互为相反数，
∴方程的解为：，
∴，
解得：．
故选：B．
43．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意．
【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得：
当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：
解得；
②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时，
，
解得；
③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶，
∵
∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有：
，
解得；
④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有，
解得；
⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需
行驶，则有：
解得．
综上所述，两车恰好相距的次数为5次．
故选：A．
44．C
【详解】∵ ，
∴提取公因式，得
，
将方程变形，得
，
提取公因式，得
，
移项，合并同类项，得
，
系数化为1，得
x=.
故选C.
45．4
【分析】此题主要考查了解一元一次方程．先根据新定义运算，得出关于x的方程，再根据解一元一次方程的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得
故答案为：4
46．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，根据题意构建方程，求解得，进而求代数式值．
【详解】解：设☆代表一个有理数为a，
根据题意，，
解得，即☆代表10，
∴；
故答案为：．
47．2
【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和．
【详解】解：解方程得：，
∵x为整数，且k是整数，
∴k的值为0或1或3或，
∴所有k值的和为，
故答案为：2．
48．15或25##25或15
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，分为2只电子蚂蚁相遇前相距25个单位长度和相遇后相距25个单位长度，根据距离除以速度等于时间即可求得答案．
【详解】解：当两只电子蚂蚁相遇前在数轴上相距25个单位长度时，则需要的时间为秒，
当两只电子蚂蚁相遇后在数轴上相距25个单位长度时，则需要的时间为秒，
综上所述，经过15秒或25秒2只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度，
故答案为：15或25.
49．
【分析】本题考查了解一元一次方程、代数式的化简求值，理解新定义，正确列出方程是解题关键．
根据“相伴数对”的定义列出方程，然后解方程即可求出b的值；先根据“相伴数对”的定义得出关于m、n的等式，再化简所求代数式，然后代入求解即可．
【详解】解：由“相伴数对”的定义得：
解得；
由“相伴数对”的定义得：
解得
．
故答案为：，．
50．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键
（1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案；
（2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案；
（3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案；
（4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案．
【详解】（1）
移项，得：，
合并同类项，得：，
（2）
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化成1，得：；
（3）
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化成1，得：；
（4）
整理，得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化成1，得：；
51．(1)是
(2)
(3)，
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，理解“和解方程”的定义是解题关键．
（1）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可；
（2）先解方程，再根据“和解方程”的定义列关于的一元一次方程求解即可；
（3）根据“和解方程”的定义可得方程的解为，进而得到，得到方程，求出的值，再求出的值即可．
【详解】（1）解：方程的解为，
而，
则方程是“和解方程”，
故答案为：是
（2）解：方程的解为，
方程是“和解方程”，
，
解得：；
（3）解：方程是“和解方程”，
方程的解为，
又它的解是，
，
，
将代入方程，可得，
将代入方程，可得：，
将代入，可得，
解得：．
52．(1)70；80；
(2)出发小时或小时，两车相距140千米
【分析】本题考查的是有理数的混合运算的意义，一元一次方程的意义，理解题意是解本题的关键；
（1）由乙车继续行驶，小时后也到达C地可得乙车的速度,再由甲乙两车2小时行驶300千米可得甲车的速度，从而可得答案；
（2）分两种情况讨论，设相遇前两车出发小时相距相距千米，设相遇前两车出发小时相距相距千米，再建立方程求解即可；
【详解】（1）解：由题意可得，乙车小时行驶40千米，
乙车的速度（千米/时），
∴甲车的速度（千米/时）；
故答案为：70；80
（2）设相遇前两车出发小时相距相距千米，则
，
解得：，
设相遇前两车出发小时相距相距千米，则
，
解得：，
答：两车出发小时或小时相距140千米.
53．(1)不是互为“成双方程”，理由见解析：
(2)；
(3)．
【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“成双方程”的定义，是解题的关键．
（1）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，进行判断即可；
（2）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可；
（3）先求出的解，根据“成双方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可．
【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”；
解，得：；
解，得：，
∵，
故方程与方程不是互为“成双方程”；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵方程与方程互为“成双方程”，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵方程与互为“成双方程”，
∴的解为，
∵，
∴，
∴．
54．(1)7，
(2)①3个单位长度；②个单位长度/秒
(3)存在，，
【分析】（1）根据得，计算即可．
（2）①设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可．
②根据①得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可．
（3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
（2）①设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为,
根据题意，得，，，
∴，
∴，
解得，
即玩具火车长3个单位长度，
故答案为：3．
②根据①得，火车完全经过点M需要2秒，
故点A运动路程为３单位长度，
∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒）
故答案为：．
（3）存在，，理由如下：
设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，
∴，
根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，
∴，
∴，
∵常数k使得的值与它们的运动时间无关，
∴，
解得，
故，
故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为．
【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键．
答案第1页，共2页
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