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3.7 正多边形
一、单选题
1．（2023九上·奉化期中）正八边形每个内角度数为（　　）
A．120° B．135° C．150° D．160°
2．（2021八上·莆田期中）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转 ，再沿直线前进10米后，又向左转 ，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（　　）米
A．70 B．80 C．90 D．100
3．（2024九下·连云模拟）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·长兴模拟）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·莘县模拟）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（　　）
A．18° B．36° C． D．72°
6．（2023九上·泸州期中）在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
7．（2018·资中模拟）若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（　　）
A．9π B．10π C．12π D．15π
8．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（　　）
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
9．（2024九上·盘龙期末）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020九上·乐清月考）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为 ，则该圆的半径为（　　）cm.
A． B． C．7 D．8
二、填空题
11．（2024·凉州模拟）如图，正六边形内接于，点P在弦上，若的半径为2，则阴影部分的面积是　 　．
12．如图，若正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转α度后得到的图形与原来图形重合，则α的最小值为　 　°．
13．（2019八下·沈阳期中）一个多边形的内角和为1080°，若每个内角都相等，则每个外角的度数是　 　．
14．（2022·长春模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在 上，则∠CFD＝　 　度．
15．（2021·重庆模拟）一个正多边形的内角度数为 ，则这个正多边形的边数为　 　.
16．（2021·玉林）如图、在正六边形 中，连接线 ， ， ， ， ， 与 交于点M， 与 交于点为N， 与 交于点O，分别延长 ， 于点G，设 .有以下结论：① ；② ；③ 的重心、内心及外心均是点M；④四边形 绕点O逆时针旋转 与四边形 重合.则所有正确结论的序号是　 　.
三、计算题
17．（2023九上·文水月考）（1）解方程：．
（2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长．
18．（2023九上·城西月考）如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积．
四、解答题
19．（2025八下·永定期中）若一个正多边形的内角和比外角和多．
（1）求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形每个角的度数．
20．（2020八上·通渭月考）一个正多边形的每一个外角都等于36°，求这个多边形的边数.
21．如图，圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，OM交AB于H，ON交CD于K，OM＞OA．
（1）证明：△AOH≌△COK；
（2）若AB=2，求正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积．
22．（2023·路桥模拟）如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点．
（1）①若，则_______；
②猜想和的数量关系，并证明；
（2）如图2，当经过圆心时，若，，求；
（3）作于点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
5．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
6．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
8．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接正多边形
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理；正多边形的性质
11．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；圆内接正多边形
12．【答案】60
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
14．【答案】36
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
15．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
16．【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质；正多边形的性质
17．【答案】（1）， （2）
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；圆内接正多边形
18．【答案】正△ABC的边长为，边心距为1，周长为，面积为
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；圆内接正多边形
19．【答案】（1）解：设这个多边形的边数为n．
根据题意得：，解得：．
答：这个多边形的边数为8．
（2）解：这个多边形每个角的度数为：，
答：这个多边形每个角的度数为．
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念
20．【答案】解：解：∵一个正多边形的每个外角都等于36°，
∴这个多边形的边数为360°÷36°=10.
【知识点】正多边形的性质
21．【答案】证明：（1）∵圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，
∴△OBC，△OAB都是等边三角形，
∴AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，
在△AOH和△COK中
，
∴△AOH≌△COK（ASA）；
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，
∵△OBC是等边三角形，
∴BG=CG=1，CO=2，
∴OG=，
∵△AOH≌△COK，
∴S△AOH=S△COK，
∴正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：
S△AOB+S△OBC=2SOBC=2××2×=2．
【知识点】圆内接正多边形
22．【答案】（1）①；②
（2）
（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接正多边形
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