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新课预习衔接 二次根式
一．选择题（共5小题）
1．（2024 无锡模拟）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
2．（2024春 普洱期末）下列式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024春 南岸区期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞0 C．x＞0且x≠3 D．x≥0且x≠3
4．（2024春 鄞州区校级期末）将a根号外的因式移到根号内，得（　　）
A． B． C． D．
5．（2024春 建华区校级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 长沙县期中）已知，求　 　．
7．（2024 泗水县一模）若二次根式有意义，则x的取值范围为 　 　．
8．（2024春 忠县期中）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：　 　．
9．（2024 海门区一模）用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是 　 　．
10．（2024 连云区二模）若，则xy＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 娄底期末）阅读材料，回答问题：
观察下列各式
11；
；
．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想：　 　＝　 　；
（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　；
（3）应用：用上述规律计算．
12．（2024 新化县期末）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
（1）判断正负，用“＞”“＜”填空：b+a 　 　0，﹣a+b 　 　0．
（2）化简：．
13．（2024春 永清县校级月考）观察下列各式：
①；
②；
③；
…
（1）第④个式子为：　 　；
（2）依题中规律，第n（n为正整数）个式子为：　 　；
（3）证明（2）中式子成立；
（4）根据上述规律，若，且a，b分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方，直接写出a，b的值．
14．（2024春 江门期末）【实践与探究】
计算：
（1）　 　，　 　，　 　，　 　，　 　，
【归纳与应用】
（2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来；
（3）利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则　 　；
②　 　．
15．（2024春 金乡县期末）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则a+b的值为 　 　；
（2）若x，y为实数，且，求x+y的值；
（3）若实数a满足，求a+99的值．
新课预习衔接 二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 无锡模拟）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；符号意识；运算能力；模型思想．
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，
解得a≥3．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（2024春 普洱期末）下列式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的定义．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．根式的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．根式的根指数是2，并且被开方数3＞0，是二次根式，故本选项符合题意；
C．当的被开方数a＜0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．因为﹣1＜0，所以不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如（a≥0）的式子叫二次根式．
3．（2024春 南岸区期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞0 C．x＞0且x≠3 D．x≥0且x≠3
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”和分式分母不为零进行计算即可得．
【解答】解：由题意得，，
解得x≥0且x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．
4．（2024春 鄞州区校级期末）将a根号外的因式移到根号内，得（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而变形得出答案．
【解答】解：a．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
5．（2024春 建华区校级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】二次根式的定义．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【解答】解：2，
∵是整数，
∴n的最小值是5，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 长沙县期中）已知，求　　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义求出x，y的值即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x＝3，
∴y＝8，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．
7．（2024 泗水县一模）若二次根式有意义，则x的取值范围为 　x≥8　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x﹣8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
8．（2024春 忠县期中）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：　3a+c　．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出b﹣c＞0，c+a＜0，a﹣b＜0，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算．
【解答】解：由图可知，c＜a＜0＜b，
∴b﹣c＞0，c+a＜0，a﹣b＜0，
则
＝|b﹣c|﹣2|c+a|﹣|a﹣b|
＝b﹣c﹣2[﹣（c+a）]﹣（b﹣a）
＝b﹣c+2c+2a﹣b+a
＝3a+c，
故答案为：3a+c．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，熟练掌握二次根式的性质及化简法则是解题的关键．
9．（2024 海门区一模）用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是 　﹣2（答案不唯一）　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：∵“”是错误的，
∴x的值可以是﹣2（答案不唯一）．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
10．（2024 连云区二模）若，则xy＝　　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】直接利用二次根式有意义，则根号下部分不小于零，进而解不等式组得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
解得：x，
故y＝1，
则xy1．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 娄底期末）阅读材料，回答问题：
观察下列各式
11；
；
．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想：　1　＝　1　；
（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　11；　；
（3）应用：用上述规律计算．
【考点】二次根式的性质与化简；规律型：数字的变化类．
【专题】二次根式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目所给的例题可知可化为1，计算即可得出答案；
（2）根据题意可知规律为，可化为，计算即可得出答案；
（3）根据题意可化为1+111 +1，根据有理数加法计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得：11；
故答案为：1，1；
（2）根据题意可得：11；
故答案为：11；
（3）
＝1+111 +1
＝10
＝9．
【点评】本题主要考查了数字的变化类规律型及二次根式的性质与化简，根据题意理解题目所给的规律应用二次根式的性质进性计算是解决本题的关键．
12．（2024 新化县期末）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
（1）判断正负，用“＞”“＜”填空：b+a 　＞　0，﹣a+b 　＞　0．
（2）化简：．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴；实数大小比较．
【专题】二次根式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察数轴得出﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，从而进行判断；
（2）先确定a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，然后根据二次根式的性质、绝对值的意义进行化简即可．
【解答】解：（1）由数轴得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，
∴b+a＞0，﹣a+b＞0；
故答案为：＞，＞；
（2）由数轴得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，
∴
＝a+1+2（1﹣b）+（b﹣a）
＝a+1+2﹣2b+b﹣a
＝3﹣b．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，实数的大小比较，观察数轴得出﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|是解题的关键．
13．（2024春 永清县校级月考）观察下列各式：
①；
②；
③；
…
（1）第④个式子为：　　；
（2）依题中规律，第n（n为正整数）个式子为：　　；
（3）证明（2）中式子成立；
（4）根据上述规律，若，且a，b分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方，直接写出a，b的值．
【考点】二次根式的性质与化简；规律型：数字的变化类．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）见解析；
（4）a＝144，b＝100．
【分析】（1）根据给出的式子得出规律写出第④个式子即可；
（2）根据题目中已知式子规律得出第n（n为正整数）个式子即可；
（3）根据二次根式混合运算法则进行证明即可；
（4）根据（3）中得出的规律进行解答即可．
【解答】解：（1）∵①；
②；
③；
∴第④个式子为：．
（2）∵①；
②；
③；
∴第n个式子为：．
（3）∵
，
∴．
（4）解：∵，a，b分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方，
∴根据（3）中规律可知：n＝11，
∴a＝（n+1）2＝（11+1）2＝144，
b＝（n﹣1）2＝（11﹣1）2＝100．
【点评】本题主要考查了数字规律探索，二次根式的性质，解题的关键是根据题目中给出的式子，得出规律．
14．（2024春 江门期末）【实践与探究】
计算：
（1）　3　，　0.5　，　0　，　6　，　　，
【归纳与应用】
（2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来；
（3）利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则　2﹣x　；
②　π﹣3.14　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案．
（2）根据（1）的运算结果即可找出规律．
（3）根据即可求出答案．
【解答】解：（1）3，0.5，0，6，；
（2）；
（3）①∵x＜2，
∴x﹣2＜0，
原式＝2﹣x；
②∵3.14﹣π＜0，
∴原式＝π﹣3.14．
故答案为：（1）3；0.5；0；6；；（3）①2﹣x；②π﹣3.14．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
15．（2024春 金乡县期末）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则a+b的值为 　﹣2　；
（2）若x，y为实数，且，求x+y的值；
（3）若实数a满足，求a+99的值．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）﹣2；
（2）x+y的值为2或8；
（3）a+99＝10000．
【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值．
（2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值；
（3）根据得出a≥100，然后化简得出，求出a的值，然后再求出结果即可．
【解答】解：（1）∵，
且，，
∴a﹣1＝0，3+b＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2；
故答案为：﹣2．
（2）∵，
∴y﹣5≥0且5﹣y≥0，
∴y≥5且y≤5，
∴y＝5，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
当x＝3时，x+y＝3+5＝8；
当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2；
答：x+y的值为2或8；
（3）∵，
∴a﹣100≥0，
∴a≥100，
∴方程可变为，
∴，
∴a﹣100＝992，
解得a＝9901，
∴a+99＝9901+99＝10000．
【点评】本题考查的非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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